第十章 矩阵位移法,§10－1 概述 基本方法 ——力法、位移法 ——手算 杆件有限元法——矩阵位移法 ――电算 主要内容：离散化——单元分析刚度（物理）关系：杆端力——杆端位移集合——整体分析－几何条件－平衡条件 结构矩阵分析：——力法 ——位移法：简单，通用性强，应用广 矩阵位移法——基本原理与位移法相同 数学工具——矩阵运算,矩阵知识 1、矩阵：m×n个数aij 排成m行、n列的矩形阵列记作,方阵：,行矢量：,列矢量：,2、行列式：n阶方阵A相应的行列式D，记作,若D＝0，A为奇异矩阵,3、矩阵运算 相等：Amn=Bmn，则aij=bij 加减：Cmn＝Amn+Bmn，则cij=aij+bij 数乘：Cmn=k*Amn，则cij=k*aij 乘法：Cmn=Aml*Bln，则,转秩：Bmn=ATmn，则bij=aji(A+B)T=AT+BT(kA)T=kAT(AB)T=BT*AT（反序定律）,4、特殊矩阵,单位矩阵,对角矩阵,对称矩阵：An*n，aij=aji,正定矩阵：特征值都大于零的实对称矩阵充要条件：所有的主子式都大于零即 |Ai|>0,分块矩阵：,正交矩阵：AT=A-1,5、逆矩阵 B=A-1AB=BA=I（单位矩阵）A、B互为逆矩阵矩阵可逆，detA≠0反序定律：(AB)-1=B-1A-1,§10－2 单元刚度矩阵（局部坐标系）,单元分析：杆端力～杆端位移——刚度关系 （10－1）转角位移方程——矩阵形式（轴向变形） 1、编码单元—— e( e = 1,2，…，n)等截面直杆：单元 I、E、A、l。
2、局部坐标系i→j 杆轴正方向（局部编码，箭头）,坐标系：（右手系）,3、杆端力与杆端位移“—”局部坐标标志正负号规则——与坐标系对应（列向量）(10 – 3、4),4、刚度方程——杆端力与杆端位移的刚度关系,,（10－2）,（表8－1）*,(10 – 1)刚度方程,,,刚度矩阵：行数＝杆端力列向量分量数列数＝杆端位移列向量分量数,记忆： 小子块—— 12 -- 6 -- 6 -- 4 （主）12-- 6 -- 6 -- 2 （副）4、5 行、列，除主元素外，均为负值 行——杆端力（X、Y、M） 列——杆端位移（u、v、φ） ——排列顺序：i→j刚度系数 kij （物理意义） ——对应杆端位移δj＝1时，引起对应δi方向的杆端力Fi5、单元刚度矩阵的性质 （1）物理意义 单刚——表示单元杆端力与杆端位移的刚度关系 单元刚度系数——当其所在列对应的杆端位移等于1（其余杆端位移等于0）时，所引起的所在行对应的杆端力（2）重要性质 对称性——kij = kji 奇异性——|K| = 0 第1和2 行(列)与第4 或5行(列)相加，所得一行(列)元素全为零 物理概念：已知杆端位移→杆端力，反之不成。
因为讨论的是自由式单元，存在任意的刚性位移 分块性质,6、特殊单元简支单元,,拉压杆单元,（10－8） 便于坐标转换,（10－6）,弯曲杆单元 （忽略轴向变形）,,,§10－3 单元刚度矩阵的坐标转换整体分析——统一坐标系变形条件、平衡条件——整体坐标系整体坐标系的单元刚度方程,,,坐标变换方法： 1、单元坐标转换矩阵 设α为从 x 轴到 x 轴的夹角，逆时针为正,,,,,,,,,,,转角与平面坐标系的变换无关,力的转换：用X、Y、M表示,,,,,,矩阵形式,,简写：,,单元坐标转换矩阵,,[T]－正交矩阵[T]-1=[T]T即[T][T]T=[T]T[T]=[I],∴逆转换式,,同理可得杆端位移的转换关系,,,2、整体坐标系中的单元刚度矩阵由局部坐标系中的刚度方程,,代入整体坐标系中的杆端力、杆端位移的转换关系,,等式的两边同乘[T]T,,写为：,整体坐标系中的刚度方程：,,,,同阶，相同的性质：,①kij－整体坐标系中△j＝1时在△i方向引起的杆端力②对称性，kij＝kji③奇异性，自由式单元|k|＝0④分块性质,整体坐标系的刚度矩阵：,写成分块形式：,刚度矩阵计算公式 其中c=cosα,s=sinα,,,——对称、奇异,（10 – 23）,平面桁架杆件——轴力杆端力、杆端位移向量,坐标转换矩阵,拉压杆单元单刚（整体坐标系）,简支单元单刚（整体坐标系与局部坐标系相同）,【例】连续梁 连续梁的整体刚度矩阵 整体刚度方程：{F}＝[K] {Δ}其中：{F}——结点力向量{Δ}——结点位移向量则：[K]——整体刚度矩阵 ——结构的结点力与结点位移的刚度关系 二跨连续梁： 结点位移向量{Δ}={Δ1 Δ2 Δ3}T 结点力向量 { F }={ F1 F2 F3 }T,龙：图10－8,§10－4 结构（原始）刚度矩阵,位移法：加约束——按主动位移考虑：每个结点位移对Fi的贡献——迭加 刚度方程,整体刚 度矩阵,位移法建立方程：连续梁 简支单元——单刚,龙：图10－9,单元集成法（直接刚度法）每个单元对{F}的贡献——单元杆端位移所需要的力,令i1＝0,叠加——单元集成：,[K]①贡献矩阵,令i2＝0,[K]②贡献矩阵,2、定位向量法定位向量 {λ}e确定位移局部编码与整体编码的对应关系局部码：单元杆端 i→j整体码：对应结点编码 m→n{λ}e——单元杆端位移对应结点位移总码组成的向量【例】对号入座——根据单元定位向量将单刚元素kij对应放入总刚λi行、λj列位置【例】定位向量法引入支座条件——位移为零的结点位移分量，编码为零。
对应总码为零的单刚元素不置入整体刚度矩阵单刚元素，定位向量，对号入座，同号相加【例】,连续梁－整体刚度矩阵的性质整体刚度系数Kij当Δj＝1时（其它位移为零）所产生的对应Δi方向的结点力对称性：Kij＝Kji非奇异：定位向量法，考虑支座约束——刚度矩阵可逆稀疏矩阵与带状矩阵：连续梁——简支单元,整体分析——建立结构的刚度方程即结构结点力～结点位移的刚度关系 { F }＝[ K ]{Δ} 其中：{ F } ——结构结点荷载{Δ} ——结构结点位移[ K ] ——结构刚度矩阵,一般结构（图10－6） {F}——结构结点荷载列向量,{Δ}——结构结点位移列向量,几何条件——变形协调： 杆端位移＝相应的结点位移,刚度方程——分块形式,分块展开： 引入支座条件的结构刚度方程： 消除了刚体位移，总刚[K]非奇异，可解未知位移 可求支座反力,(10－32),(10－33),位移法 典型方程 可解位移{Δ} ——各杆 杆端位移{Δ}e 单元刚度方程 ——求杆端力(整体) 坐标转换 ——局部坐标系的杆端力,(10－29、34),(10－32),关键 ——总刚,,整体分析 ——集成总刚（§10－5支承条件引入） ——定位向量法 单元定位向量{λ}e,其中： NΔi表示杆端i对应的整体结点编码； nδi 表示杆端位移δi所对应的整体结点位移编码 支座结点相应的约束位移方向的编码为 0 。
1、编码 结点号：0、1、2、0（支座结点编码为0） 单元号：①、②、… 坐标系： 整体坐标系XOY 局部坐标系xoy α12、α23、α34 [T]e 单元定位向量{λ}e,2、单刚：局部→整体坐标系,集成总刚——定位向量法： 对号入座， 同号相加3、集成总刚——结点平衡条件： ΣX=0，ΣY=0，ΣM=0 结点1、2（原图2、3）：,1,2,1,ΣX=0， ΣY=0， ΣM=0,变形连续:,同理：,合并二式，其中刚度矩阵即为对号入座结果：,总刚性质： （1）对称性； （2）非奇异——引入支承条件，消除刚性位移 （原始结构刚度矩阵——奇异，因为有刚性位移）,总刚——结构刚度矩阵组成规律： 直接刚度法：按定位向量，对号入座，同号相加； 主子块——主对角线上的子块； 副子块——其余的子块 相关单元——同交于一个结点的杆件； 相关结点——由杆件直接相联的两个结点； 组成规律： 主子块Kii——是由相关单元的主子块叠加而成； 副子块Kij： 当i、j为相关结点时，为联结杆件的相应副子块； 当i、j非相关结点时，为 0例10－1】 【解】 （1）编码 结点码、单元码； 坐标—整体、局部αi 定位向量{λ}i ; （2）单刚 （局部坐标系） 整体坐标系（10－23） （3）总刚——定位向量法，集成总刚 对号入座 同号相加,(1) 1 2 3 4 5 6,(1) 1 2 3 4 5 6,(2) 0 0 0 1 2 3 (3) 0 0 0 4 5 6,0 0 0 0 0 0 1 4 2 5 3 6 (2)(3),[k]②=[k]③=[T]T[k][T} =90°,c=0、s=1,行变换,列变换,,,,,,整体坐标系 单刚： 当α＝90o， c=0,s=1 （10－23）： 换行、换列 1←→2 4←→5（加负号） *若α＝－90o （不变号）,,,1 2 3 4 5 6,1 2 3 4 5 6,1、结点荷载作用{FD}[K]{△}={FD} —— 位移法基本方程 [K]――定位向量法（引入支座条件）确定，[k]-1存在 {△}――全部未知位移 {FD}――对应全部未知位移的已知结点力解{△}=[K]-1{FD}，几何不变体系：作用{ FD }有唯一解{△},§10－6 非结点荷载的处理,2、非结点荷载作用——分两步，按叠加法处理（图10 – 9） （1）附加约束——阻止所有结点位移——产生固端力 ——附加约束反力 = 结点连接的各杆端固端力的代数和 （2）取消附加约束，反号附加约束反力作用于结点上 ——原非结点荷载的等效结点荷载 等效——两种情况（图10 – 9a、c）的结点位移相等。
位移法基本体系： （图10–9b）荷载单独作用（{△}=0）→{FF}结点约束力（固端力合力） （图10–9c）结点荷载{F} 作用（杆上荷载＝0）→{F}=[K]{△} 位移法基本方程：{F}+{FF}={0}[K]{△}+{FP}={0}[K]{△}= {FE} {FE}= -{FF} ——等效结点荷载→{△},3、综合结点荷载——同时作用结点荷载和非结点荷载方程：[K]{△}={F}总结点荷载： {F}={FD}+{FE} （10–42）其中：{FD}——直接结点荷载列阵{FE}——等效结点荷载列阵等效结点荷载 {FE}= - {FF} 等效原则：——两种荷载在基本体系产生相同的结点约束力——两种荷载对基本体系产生相同的结点位移4、单元集成法求结构的等效结点荷载,（1）单元固端约束力（局部坐标）——表8－1,（4）结构等效结点荷载{FE}由（整体坐标）{FE}e→{λ}→对号入座→{FE} （与集成总刚类似）,（2）单元固端力（整体坐标）,（3）单元等效结点荷载{F},(10－38),(10－39),5、杆端内力 ——固端力+(综合结点荷载)杆端力 结点位移{△}→{△}e （1）单元杆端力（整体坐标系）（2）单元杆端力（局部坐标系） （3）或,§10－7 矩阵位移法的计算步骤及示例,矩阵位移法计算平面刚架 （计算机计算――程序化） 1. 编码、整理原始数据（1）确定结点与单元（2）整体与局部坐标系 总体编码——结点位移编码 局部编码——1、2端 （由局部坐标确定）（3）原始数据：各单元 E、Ai、Ii、li及单元定位向量{λ}，αi（[ T ]）,【例10－2】,2、单刚 （4）形成单刚 [k]e（局部坐标系）， （5）形成单刚 [k]e（整体坐标系），一般单元[k]e与[T]的表示式相同，可得整体坐标单刚[k]e的统一表示式：（10－23） （见【例10－1】）3、集成总刚 （6）定位向量法：对号入座，同号相加 （见【例10－1】）,,4．综合结点荷载 综合结点荷载 {F}={FD}+{FE} ①{FD}――直接结点荷载 ②{FE}――等效结点荷载 （7）局部坐标系单元固端力（8）整体坐标系单元固端力（9）单元等效结点荷载。
10）{FF}e→{λ}e对号入座→{FE},。