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1、,教学目的:中值定理 教学重点:罗尔定理 拉格朗日中值定理 教学难点:柯西定理,第一讲 中值定理,主视图,？,中值定理,1、引理（费尔马（Fermat）引理）,费尔马引理,注: 称导数等于零的点为函数的 驻点(或稳定点),证：,证明,回主视图,物理解释:,几何解释:,在曲线AB上的“峰,点”和“谷点”处，,若存在切线，则切,线是水平的.,变速直线运动在,折返点处,瞬时速,度等于零.,解释,回主视图,例如,2、罗尔（Rolle）定理,（3）,使得,罗尔定理,证：,故在,由费尔马引理得,此时对,内的任意一点,证明,例1、函数 在区间 是否满足罗 尔定理的条件?若满足,求出定理结论中的点 ,解：,例
2、题,回主视图, 在区间 是 否满足罗尔定理的条件?若满足,求出定理结论 中的点 ,罗尔定理的代数意义：,的条件，则方程 在区间 内至少有,一个实根,若 满足罗尔定理,练习题,回主视图,将图形旋转得:,罗尔定理的几何意义：,光滑曲线（切线处处存在,标若相等，则在曲线上至少,有一点的切线与轴平行，即,与端点的连线平行(如右图),几何意义,的曲线）段的两端点的纵坐, 在开区间 内可导，,则在开区间 内至少存在一点 ，,(1),使,拉格朗日中值定理,结论的代数意义为方程,在 内至少有一根,则 在 连续，在 可导，,证：,令,即 在 上满足罗尔定理的三个条件,，使得,所以在 内至少存在一点,又,证明,回
3、主视图,注: 此定理对于 的情况也成立.,(2),(3),(3)式也记作,上式表达了函数在一个区间上的增量与函数,拉格朗日中值公式,在此区间上某点的导数值之间的关系，它比,注解,光滑曲线段上至少有一点的切线与端点的连线,图-,拉格朗日中值定理的几何意义：,平行(如图-3),几何意义,例2 证明对任意实数,(4),令 则 在以 为端点的区间上,两边取绝对值得,证:,连续且可导，因而满足拉格朗日定理的条件,由（2）式得,例题,特别，在结论中令 ，知对任意实数 ，有,(5),(4)式和(5)式是常用的三角函数不等式,练习2: 证明对任意实数 ,有,提示：令,练习,注: 中值定理的条件是充分而不必要的
4、，且条件是,不可或缺的.,思考题：不满足中值定理条件的函数,是否能找到,点 使其结论成立？,答案：可能存在，,不满足罗尔定理的条件，,但,思考题,若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其,例如,又例如,结论可能不成立.,例题,两个重要推论:,在I上等于常数,(其中 介于 和 之间),则由拉格朗日公式有,由点 的任意性知在区间上 ,则,证:,推论,证明提示：,再利用推论1即可证明,请课后自己完成,令,推论2 若在区间 I上 ,则在I上有,推论,例3 证明恒等式,证：,则,由推论知,令,由上式知,又,例题,练习3: 证明恒等式,说明:,提示：类似上题证明方法.,常用拉格朗日中值定理证明不等式；,用推
5、论1证明等式；用罗尔定理证明方程存在,实根并估计根的范围,练习题,柯西中值定理: 若函数 、 满足：, 在闭区间 上连续；, 在开区间 内可导，且,则在开区间 内至少存在一点 ，使,(6),柯西定理,证明提示：本定理可用拉格朗日定理,请同学们课后自己完成。,的证法证明，注意利用以下辅助函数：,提示,四、小结：,Rolle 定理,Lagrange 中值定理,Cauchy 中值定理,罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；,注意定理成立的条件；,注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.,小结,解：,中值定理应用,例5 证明方程 在(0,1)内至少有一个实根,证:,由于多项式处处连续、处处可导，,令,注意：本题利用连续函数的零点定理(根的,故f(x)在0,1上满足罗尔定理的三条件. 因而,又,存在定理)很难解答,在 (0,1) 内至少有一点 使 . 即方程在,(0,1)内至 少 有一个实根.,例题,例6 不求函数 的导数，说明方程 有几个实根,并指出它们所在的区间,理的条件,解:,因此 在至少存在一点,例题,例题,可见 位于区间的正中间,例7: 证明 在任意区间 上应用拉格朗日中值定理时所得 位于区间的正中间,显然 满足拉格朗日,解得,得,证：,由,中值定理的所有条件,例题,思考题：,思考题,证：,例8 证明不等式,故,因此,拉格朗日中值定理，得,例题,
