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1、2.3数学归纳法,第二课时,汾西一中 刘惠文,：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法,结论一定可靠,结论不一定可靠,考察全体对象,得到一般结论的推理方法,考察部分对象,得到一般结论的推理方法,归纳法分为完全归纳法 和 不完全归纳法,归纳法,证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来证明它们的正确性: (1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立, (2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立,完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。,回顾,（1）第一块骨牌倒下。,（1）当n=1时猜想成立
2、。,（2）若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。,根据（1）和 （2），可知不论有多少块骨牌都能全部倒下。,根据（1）和（2），可知对所有的自然数n，猜想都成立。,利用相似性,规范二步骤,数学归纳法例题,求证,例1:已知数列 计算 ,根据计算的结果,猜想 的表达式,并用数学归纳法进行证明.,例2 用数学归纳法证明,1）第一步应做什么？此时n0= ，左 ，,2）假设n=k时命题成立，即,144,1,当n=2时，左 ，右 。,2(21)2,当n=k时，等式左边共有 项，第(k1)项是 。,k,1427,(K1)3(k1)1,思考？,3）当n=k+1时，命题的形式是,4）此时，左边增加的项是,5
3、)从左到右如何变形？,证明：,（1）当n=1时，左边144，右边1224，等式成立。,（2）假设当n=k时，等式成立，就是,这就是说，当n=k+1时等式也成立。 根据（1）和（2），可知等式对任何nN都成立。,求证：,证明：,例3：,例:是否存在常数a、b,使得等式:对一切正整数n都成立,并证明你的结论.,点拨:对这种类型的题目,一般先利用n的特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立.,解:令n=1,2,并整理得,以下用数学归纳法证明:,(2)假设当n=k时结论正确,即:,则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也正确.,根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确
4、.,(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.,例3.已知x 1，且x0，nN，n2 求证：(1+x)n1+nx,2.假设n=k时，不等式成立，即 (1+x)k1+kx 当n=k+1时，因为x 1 ，所以1+x0，于是 左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2； 右边=1+(k+1)x 因为kx20，所以左边右边，即(1+x)k+11+(k+1)x 这就是说，原不等式当n=k+1时也成立 根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立,证明：1.当n=2时， 左(1x)2=1+2x+x2 x0， 1+2x+x21+2x=右 n=1
5、时不等式成立,小明的爸爸有四个小孩,我是一毛,我是二毛,我是三毛,我是谁？,我不是四毛！我是小明！,三、练习,1、用数学归纳法证:,(n2,nN )过程中,由“n=k”变到“n=k+1”时，左式所需添加的项数为（ ）：,.项,. 项,. 项,. 项,n=1时等式成立。 假设n=k时，命题成立，即,那么，当n=k+1时，有,即n=k+1时，命题成立。 根据问可知，对nN，等式成立。,小组合作交流,这节课你有何收获，能与大家分享、交流你的感受吗？,归纳小结，自我整合, 激升思维,归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法；,数学归纳法的科学性：基础正确；可传递；,数学归纳法证题程序化步骤：两个步骤
6、，三个结论；,数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷,数学归纳法的基本思想：在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运用“有限”的手段来解决“无限”的问题,数学归纳法的核心:在验证命题n=n0正确的基础上,证明命题具有传递性,而第二步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.所以说数学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法，实现了有限到无限的飞跃。,课堂小结,数学归纳法,1、数学归纳法能够解决哪一类问题？ 一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题 2、数学归纳法证明命
7、题的步骤是什么？ 两个步骤和一个结论，缺一不可。如果没有第一步，第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没有可靠性； 3、在第一步中的初始值不一定从1取起，证明时 应根据具体情况而定. 4、数学归纳法证明命题的关键在哪里？ 关键在第二步，即归纳假设要用到，解题目标要明确；主要注意两个“凑”：一是“凑”n=k时的形式（这样才好利用归纳假设），二是“凑”目标式。 5、数学归纳法体现的核心思想是什么？ 递推思想，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题 注意类比思想的运用,课堂小结,1、数学归纳法能够解决哪一类问题？ 一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题 2、数学归纳法证明
8、命题的步骤是什么？ 两个步骤和一个结论，缺一不可 3、数学归纳法证明命题的关键在哪里？ 关键在第二步，即归纳假设要用到，解题目标要明确 4、数学归纳法体现的核心思想是什么？ 递推思想，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题 注意类比思想的运用,由于数学归纳法是证明与正整数有关的命题，数列是以正整数为定义域的特殊函数，而导数又是研究函数的重要工具，正是这一条知识链注定了数学归纳法必然以数列为背景。深入细致的研究近年来的高考试题，就会印证以上事实。纵观近几年与数学归纳法相关的高考试题，不难得出其命题特点： 很少单独命制大题，往往作为解答题中某一小问的形式出现，重在体现它的工具性作用。且常与数列结
9、合去考查，有时还与函数、导数、不等式等内容相关联，以体现“在知识交汇处设计试题”的命题原则。 试题特别注重加强对不完全归纳法的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，初步形成“观察归纳猜想证明”的思维模式，希望引起大家足够的重视。 高考对数学归纳法主要是隐形考查，也就是说这种方法在题目中往往是“藏而不露”，不明着说要用“数归法”，也就是可用“数归法”，也可用其他方法来解决（当然能找到其他解决方法的话）。,布置作业:,见数学书P96A组题T1、T2,技能提升,练习2：,C,B,(n2,nN )过程中,由“n=k”变到“n=k+1”时，不等式左边的变化是（ ）：,(1)用数学归纳法证:
10、,D,练习3：,(n2,nN )过程中,由“n=k”变到“n=k+1”时，不等式左边的变化是（ ）：,练习,(1)用数学归纳法证:,D,(2)用数学归纳法证:,(n2,nN )过程中,由“n=k”变到“n=k+1”时，左式所需添加的项数为（ ）：,.项,. 项,. 项,. 项,谢谢大家,欢迎各位老师提出宝贵意见,例1、是否存在常数a、b,使得等式:对一切正整数n都成立,并证明你的结论.,解:令n=1,2,并整理得,以下用数学归纳法证明:,(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.,(1)数学归纳法证明等式问题：,二、数学归纳法应用举例：,(2)假设当n=k时结论正确,即:,则当n=k+1时,故当
11、n=k+1时,结论也正确.,根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.,例2、已知正数数列an中,前n项和为sn,且用数学归纳法证明:,证:(1)当n=1时,=1,结论成立.,(2)假设当n=k时,结论成立,即,则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也成立.,根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论都成立.,(2)数学归纳法证明整除问题：,例1、用数学归纳法证明:当n为正偶数时,xn-yn能被x+y整除.,证:(1)当n=2时,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被x+y整除,故命题成立.,(2)假设当n=2k时,命题成立,即x2k-y2k能被x+y整除.,则当n=2k+2时,有,
12、都能被x+y整除.,故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即当n=2k+2时命题成立.,由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立.,例2、用数学归纳法证明: 能被8整除.,证:(1)当n=1时,A1=5+2+1=8,命题显然成立.,(2)假设当n=k时,Ak能被8整除,即是8的倍数.,那么:,因为Ak是8的倍数,3k-1+1是偶数即4(3k-1+1)也是 8的倍数,所以Ak+1也是8的倍数,即当n=k+1时,命题成立.,由(1)、(2)知对一切正整数n, An能被8整除.,例3、求证:x3n-1+x3n-2+1能被x2+x+1整除.,证:(1)当n=1时, x3n-1+x3n-2+1= x
13、2+x+1,从而命题成立.,(2)假设当n=k时命题成立,即x3k-1+x3k-2+1能被x2+x+1整除,则当n=k+1时,x3(k+1)-1+x3(k+1)-2+1=x3k+2+x3k+1+1,=x3(x3k-1+x3k-2+1)+x3+1 = x3(x3k-1+x3k-2+1)+(x+1)(x2+x+1),因为x3k-1+x3k-2+1、x2+x+1都能被x2+x+1整除,所以上式右边能被x2+x+1整除.,即当n=k+1时,命题成立.,根据(1)、(2)知,对一切正整数n,命题成立.,例6、平面内有n (n2)条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，问交点的个数 为多少?并证明.
14、,当n=k+1时：第k+1条直线分别与前k条直线各交于 一点，共增加k个点，,由1）、2）可知，对一切nN原命题均成立。,证明：1）n=2时：两条直线交点个数为1,而f(2)= 2(2-1)=1, 命题成立。,k+1条直线交点个数=f(k)+k= k(k-1)+k= k(k-1+2)= k(k+1)= (k+1)(k+1)-1=f(k+1),即当n=k+1时命题仍成立。,2）假设n=k(kN,k2)时，k条直线交点个数为f(k)= k(k-1),(3)数学归纳法证明几何问题：,(4)数学归纳法证明不等式问题：,例1、用数学归纳法证明:,证:(1)当n=2时, 左边= 不等式成立.,(2)假设当
15、n=k(k2)时不等式成立,即有:,则当n=k+1时,我们有:,即当n=k+1时,不等式也成立.,由(1)、(2)原不等式对一切 都成立.,例2、证明不等式:,证:(1)当n=1时,左边=1,右边=2, 不等式显然成立.,(2)假设当n=k时不等式成立,即有:,则当n=k+1时,我们有:,即当n=k+1时,不等式也成立.,根据(1)、(2)可知,原不等式对一切正整数都 成立.,例3、求证:,证:(1)当n=1时,左边= ,右边= ,由于故不等式成立.,(2)假设n=k( )时命题成立,即,则当n=k+1时,即当n=k+1时,命题成立.,由(1)、(2)原不等式对一切 都成立.,例4、已知x 1，且x0，nN，n2 求证：(1+x)n1+nx.,（2）假设n=k时，不等式成立，即 (1+x)k1+kx 当n=k+1时，因为x 1 ，所以1+x0，于是 左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2； 右边=1+(k+1)x 因为kx20，所以左边右边，即(1+x)k+11+(k+1)x 这就是说，原不等式当n=k+1时也成立 根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.,
