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1、CHAPTER 4,THE DEFINITE INTEGRAL,一、 原函数与不定积分的概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x),满足,在区间 I 上的一个原函数 .,则称 F (x) 为f (x),定理.,存在原函数 .,初等函数在定义区间上连续,初等函数在定义区间上有原函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 .,原函数都在函数族,( C 为任意常数 ) 内 .,证: 1),又知,故,即,属于函数族,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即,定义 .,在区间 I 上的原函数全体称为,上的不定积分,其中, 积分号;
2、, 被积函数;, 被积表达式., 积分变量;,若,则,( C 为任意常数 ),C 称为积分常数 不可丢 !,例如,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) ,且其上任一点处的切线,斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.,解:,所求曲线过点 ( 1 , 2 ) ,故有,因此所求曲线为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,不定积分的几何意义:,的原函数的图形称为,的图形,的所有积分曲线组成,的平行曲线族.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的积分曲线 .,二、 基本积分表,或,或,利用逆向思维,( k 为常数),机动 目录 上页 下页 返回 结束,或
3、,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、不定积分的性质,推论: 若,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例. 求,解: 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例. 求,解: 原式 =,例. 求,解: 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例 求下列积分:,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例 已知,求 A , B .,解: 等式两边对 x 求导, 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二类换元法,第一类换元法,基本思路,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,可导,则有,一、第一类换元法,定理1.,则有换元,公式,(也
4、称配元法,即, 凑微分法),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求,解: 令,则,故,原式 =,注: 当,时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例. 求,解:,令,则,想到公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例. 求,想到,解:,(直接配元),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似,常用的几种配元形式:,万能凑幂法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例. 求,解: 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例. 求,解: 原式 =,例. 求,解: 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例. 求,解法1,解法2
5、,两法结果一样,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例. 求,解法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法 2,同样可证,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,例,解：,例,小结,常用简化技巧:,(1) 分项积分:,(2) 降低幂次:,(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法,(4) 巧妙换元或配元,万能凑幂法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用积化和差; 分式分项;,利用倍角公式 , 如,思考与练习,1. 下列各题求积方法有何不同?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,经验：,当被积函数为三角函数的奇次方时，我们常分离出其中一个，放在微分因子中。,例,解：,降次总
6、是一种求三角函数积分的有效方法。,经验：,例,解：,例,解：,例,例. 求,解: 令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,例,解：,例,例. 求,解:,说明: 通常求含,的积分时,往往更方便 .,的有理式,用代换,机动 目录 上页 下页 返回 结束,简单无理函数的积分,令,令,被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换,化为有理函数的积分.,例如:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,例. 求,解: 令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例. 求,解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的,最小公倍数 6 ,
7、则有,原式,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例. 求,解: 令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、第二类换元法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第一类换元法解决的问题,难求,易求,若所求积分,易求,则得第二类换元积分法 .,难求，,定理 . 设,是单调可导函数 , 且,具有原函数 ,证:,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则有换元公式,例. 求,解: 令,则, 原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例. 求,解: 令,则, 原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例. 求,解:,令,则, 原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,于是,机动 目录
8、 上页 下页 返回 结束,原式,例. 求,解: 令,则,原式,当 x 0 时, 类似可得同样结果 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对形如以下四种类型的积分采用倒代换法,小结:,1. 第二类换元法常见类型:,令,令,令,或,令,或,令,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 常用基本积分公式的补充,(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由导数公式,积分得:,分部积分公式,或,1) v 容易求得 ;,容易计算 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分部积分法,第四章,例. 求,解: 令,则, 原式,
9、思考: 如何求,提示: 令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,Example,Solution: Let,=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,Example,So,机动 目录 上页 下页 返回 结束,Solution: Let,Method of Solution:,把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三” 的,顺序,前者为 后者为,=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数,Solution: Let,Example,So,Example,So,Let,So,So Original =,说明
10、: 也可设,为三角函数 , 但两次所设类型,必须一致 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,Solution: Let,Example,So,Original =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,Solution: Let,Example,Solution:Let,So,Original,机动 目录 上页 下页 返回 结束,Let,Example,Solution：Let,So, Result=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,Example,Solution：Let,Example,So,可用表格法求 多次分部积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,Solution：Let,思考
11、,1. 下述运算错在哪里? 应如何改正?,得 0 = 1,答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 .,求此积分的正确作法是用换元法 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,Example,(先分部 , 再换元),Let,So,机动 目录 上页 下页 返回 结束,Solution 1：Let,(先换元,再分部),So,机动 目录 上页 下页 返回 结束,Solution 2：Let,Integration of Rational Function,Rational Function :,Improper rational functions,机动 目录 上页 下页 返回 结束,Proper
12、 rational functions,Integration of Rational Function,有理函数,多项式 + 真分 式,分解,其中部分分式的形式为,若干部分分式之和,机动 目录 上页 下页 返回 结束,Example: 将下列真分式分解为部分分式 :,Solution 1,用拼凑法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) 用赋值法,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3) 混合法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原式 =,四种典型部分分式的积分:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,变分子为,再分项积分,Example,Solution,机动 目录 上页 下页
13、返回 结束,说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便 ,因此要注意根据被积函数的结构寻求,简便的方法.,常规 目录 上页 下页 返回 结束,Example,注意本题技巧,按常规方法较繁,Solution,按常规方法解:,第一步 令,比较系数定 a , b , c , d . 得,第二步 化为部分分式 . 即令,比较系数定 A , B , C , D .,第三步 分项积分 .,此解法较繁 !,机动 目录 上页 下页 返回 结束,转化,微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5.2 Differerntial Equation,解分离变量方程,可分离变量方程,分离变量方程的解法:,设 y (x) 是方程的解,两边积分, 得,则有恒等式,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,Example,Integrate in both side,So,So,( C 为任意常数 ),或,说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,Find y let,Solution:,Example. Find y(通解) Let,Solution,
