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1、1 第二章 控制系统的数学模型复习指南与要点解析要求： 根据系统结构图应用结构图的等效变换和简化或者应用信号流图与梅森 公式求传递函数（方法不同，但同一系统两者结果必须相同）一、控制系统 3 种模型，即时域模型 -微分方程；复域模型传递函数； 频域模型频率特性。其中重点为传递函数。在传递函数中，需要理解传递函数定义（线性定常系统的传递函数是在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比）和性质。零初始条件下：如要求传递函数需拉氏变换，这句话必须的。二、结构图的等效变换和简化- 实际上，也就是消去中间变量求取系 统总传递函数的过程。1等效原则：变换前后变量关系保持等效，简化的前后
2、要保持一致（P45）2结构图基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。 如果结构图彼此交叉，看不出 3 种基本连接方式，就应用移出引出点或比较点先解套，再画简。其中：引出点前移在移动支路中乘以( )G s。 （注意：只须记住此，其他根据倒数关系导出即可）引出点后移在移动支路中乘以1/( )G s。相加点前移在移动支路中乘以1/( )G s。相加点后移在移动支路中乘以( )G s。 注 ：乘以或者除以( )G s，( )G s到底在系统中指什么，关键看引出点或者相加点在谁的前后移动。在谁的前后移动，( )G s就是谁。例 1: 利用结构图化简规则，求系统的传递函数C( s)/ R ( s) R(
3、s) _C(s)G1(s)G2(s)G3(s)H2(s)H1(s)_解法 1: 3( )Gs前面的引出点后移到3( )Gs的后面（注：这句话可不写，但是必须绘制出下面的结构图，表示你如何把结构图解套的）R(s) _C(s)G1(s)G2(s)G3(s)H2(s)H1(s)_1/G3(s)2) 消除反馈连接R(s) _C(s)G1(s)H1(s)_1/G3(s)23232( )( )1( )( )( )G sG sG s G s H s3) 消除反馈连接R(s)C(s)_123232121( )( )( )1( )( )( )( )( )( )G sG sG sG sG sH sG sG s H
4、 s4) 得出传递函数123121232123( )( )( )( )( )1( )( )( )( )( )( )( )( )( )G s Gs GsC sR sGs Gs HsGs Gs HsGs Gs Gs 注 ：可以不写你是怎么做的，但是相应的解套的那步结构图必须绘制出来。 一般，考虑到考试时间限制，化简结构图只须在纸上绘制出2-3 个简化的结构图步骤即可，最后给出传递函数( )( )C sR s。 。 。 。 ）解法 2: 1( )Gs后面的相加点前移到1( )Gs前面，并与原来左数第二个相加点交换位臵，即可解套，自己试一下。 注 ：条条大路通罗马，但是其最终传递函数( )( )C s
5、R s一定相同） 注 ：比较点和引出点相邻，一般不交换位臵，切忌，否则要引 线）三. 应用信号流图与梅森公式求传递函数梅森公式：nkkkPP 11式中， P 总增益； n 前向通道总数； Pk第 k 条前向通道增益；系统特征式，即fedcbaLLLLLL1Li回路增益； La 所有回路增益之和； LbLc 所有两个不接触回路增益乘积之和； LdLeLf 所有三个不接触回路增益乘积之和； k第 k 条前向通道的余因子式， 在计算式中删除与第k 条前向通道接触的回路。 注 ：一般给出的是结构图，若用梅森公式求传递函数，则必须先画出信号流图。注意 2：在应用梅森公式时，一定要注意不要漏项。前向通道总
6、数不要少，各个 回路不要漏。 例 2: 已知系统的方框图如图所示。试求闭环传递函数C(s)/ R( s) ( 提示：应 用信号流图及梅森公式 ) 解 1）：绘制信号流图 注 ：别忘了标注箭头表示信号流向。 2) 应用梅森公式求闭环传递函数: 前向通道增益3211GGGP；342GGP；回路增益221HGL；133212HHGGGL；53GL；43431LG G H H特征式2212313534312521G HG G G H HGG G H HG G H；余因子式（对应各个前项通道的）511G；521G；-经验：一般余因子式不会直接等于1，不然太简单了闭环传递函数124352212313525
7、2()(1)( )( )1GGG GGC sR sG HG G G H HGG G H四、知道开环传递函数的定义，并会求闭环系统的传递函数 1开环传递函数，如图：( )R s( )C s( ) s( )N s( )H s1( )G s2( )G s -1( )Xs2( )X s()Bs- G5-H1H3G3G2G1- H2G4 R(s) C(s) G1G2G3H1G5H3H2G4+ + + + - - - R(s) C(s) + 12( )( )( )( )( )( )( )G s H sB sGs Gs H ss（若+)(sH)(sG( ) s)(sC)(sR-，则( )( )( )( )(
8、 )( )B sGsssGHssH若-R(s)( )G sC(s)E(s)，则)( )(G s H sG s-常见）2四个闭环系统的传递函数- 特点分母相同，即特征方程相同1212( )( )( )( )( )1( )( )( )G s GsC ssR sGs Gs H s（通常说的输出对输入的传递函数） ；212( )( )( )( )1( )( )( )nGsC ssN sGs Gs H s12( )1( )( )1( )( )( )ssR sGs Gs H s212( )( )( )( )( )1( )( )( )nGs H sssN sGs Gs H s 注 ：后面求稳态误差需要第三章
9、线性系统的时域分析要求： 1） 会分析系统的时域响应( )c t，包括动态性能指标；2） 会用劳斯判据判定系统稳定性并求使得系统稳定的参数条件； 3）会根据给出的系统结构图，求出系统稳态误差，并减小或消除之。一、时域分析方法和思路： 已知系统输入( )r t和系统模型( )s，求时域响应( )c t。例 1：求一阶系统的单位阶跃响应。1）输入)( 1)(ttr，则其拉氏变换为 ssR1)(，则2）11111( )( ) ( )111/TC ss R sTsssTsssT 3）对上式取拉氏反变换，得其响应单位阶跃信号的响应为：/( )1e,0t T sstsc tcct 注 1 ：ssc为稳态分
10、量，它的变化由输入信号的形式（上例中)(1)(ttr）决定； tsc（上例中/et T tsc）为暂态分量，由闭环传递函数的极点（上例中1sT）决定。二、线性系统稳定的充要条件是闭环特征根均需具有负实部或者说( ) s的极点都在在 s 平面左半部分。 - 系统稳定性是 系统本来的固有特性，与外输入信号 无关。（1） 只有当系统的特征根全部具有负实部时，系统达到稳定。 （2） 如果特征根中有一个或一个以上具有正实部，则这表明系统不稳定； （3） 如果特征根中具有 一个或一个以上的零实部根，而其余的特征根均 具有负实部，则脉冲响应函数趋于常数， 或者趋于等幅正弦 ( 余弦 )振荡， 称为临界稳定。
11、 注 2 ： 根据如果( )s极点都在 s 平面左半部分，则暂态分量tsc随时间增大 而衰减为 0；如果( )s极点有一个都在s 平面右半部分，则暂态分量tsc随时间增大而发散。三、二阶系统单位阶跃响应及其欠阻尼情况下指标计算1熟悉二阶系统单位阶跃响应的3 个对应关系，即：不同阻尼比类型不同单位阶跃的时间响应波形图( )c t- 不同系统稳定性2二阶系统欠阻尼单位阶跃响应的指标计算：欠阻尼二阶系统上升时间、峰 值时间、调节时间、超调量计算（公式必须牢记）21p dnt21r dnt21()()%100%e100%()p pc tcc，43,0.02,0.05ss nntt或其中，阻尼角21ar
12、ctan，阻尼振荡频率21dn例 2：2004年考题已知控制系统如图所示，(1) 确 定 使 闭 环 系 统 具 有7.0及+ - R(s) C(s) G1HE(s) + - )6()(1ssksG；ssH)()/(6sradn的k值和值；(2) 计算系统响应阶跃输入时的超调量p和峰值时间pt。解：(1) 22222)6()(nnn ssksksks；23626nnkk, 则360.067k(2) 21/ 2%exp(1)4.6 %；stdp733.0/。例 3 2006 年考题：已知控制系统如图所示，+ -R(s) C(s) GbrGH E(s) + -+ + )6()(ssksG；ssH)
13、(在0)(brsG时，闭环系统响应阶跃输入时的超调量%6 .4p、峰值时间733.0pt秒，确定系统的k值和值；解：(1) 2222( )(6)2nnnksskskss；%4.6 %0.70.7336pnt；则1G2G3G4G)(sR)(sC)(b则) (sR)(sC110ss13)(a四、附加闭环负实零点对系统影响具有闭环负实零点时的二阶系统分析对系统的作用表现为： 1. 仅在过渡过程开始阶段有较大影响； 2. 附加合适的闭环负实零点可使系统响应速度加快，但系统的超调量略有增 大； 3. 负实零点越接近虚轴，作用越强。五、高阶系统的时域分析- 利用闭环主导极点降阶如果在系统所有的闭环极点中，
14、距离虚轴最近的闭环极点周围没有闭环零 点，而其他闭环极点又远离虚轴，且满足1|Re| |5| Re|iss式中，1s为主导极点；is为非主导极点。则距离虚轴最近的闭环极点所对应的响应分量随着时间的推移衰减得最慢，从 而在系统的响应过程中起主导作用。一般闭环主导极点为共轭闭环主导极点或 者一个实闭环主导极点。六、利用劳斯判据判定系统稳定性并求使得系统稳定的参数条件。1根据特征方程：1 110( )0nn nnD sa sasa sa，则线性系统稳定的 充要条件是劳斯表 首列元素均大于零 ；首列系数符号改变次数与分布在s 平面 右半部的极点个数相同。 2劳斯表特殊情况时，系统临界稳定或者不稳定。3
15、 如果系统稳定，则特征方程1 110( )0nn nnD sa sasa sa系数同号且不缺项； 4利用劳斯判据判定系统稳定性 例 4: 已知系统结构图，试用劳斯稳定判据确定使闭环系统稳定的k 的取值范 围。k2(1)(2)s sssR(s)-C(s)解：2( )(1)(2)kss sssk整理，432( )332ksssssk从高到低排列特征方程系数列劳斯表： S41 3 k S33 2 0 S27/3 kS1(14-9 k)/7 0 S0k如果劳斯表中第一列的系数均为正值，因此，1490,14/ 97kk，且0k。所以014/ 9k。七、稳态误差以及减小或者消除稳态误差1. 稳态误差定义：
16、11lim( )lim( )lim( )( )ssetttee tLE sLs R s其中，误差传递函数( )1( ),( )1( )( )1( )( )eE ssH sR sH sG s H s，( )1( ),( )1( )1( )eE ssH sR sG s2终值定理法求稳态误差如果有理函数)(ssE除了在原点有唯一的极点外， 在 s 右半平面及虚轴解析，即)(ssE的极点均位于s 左半平面（包括坐标原点） ，则根据终值定理可求稳态误差。00()lim( )lim( )( )ssssesseesE sss R s 注 ：一般当输入是为阶跃、速度、加速度信号及其组合信号时，且系统稳定 时，可应用终值定理求稳态误差。 3系统型别 - 定义为开环传递函数在s 平面的积分环节个数。11(1) ( )( ), (1)
