初等数学研究课件

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1、1.1 数系的扩充,“数系”的历史扩展与逻辑扩展过程不同 “数学史上这一系列事件的发生顺序是耐人寻味的，数学家们并不是按照先整数、分数，然后无理数、复数、代数学和微积分的顺序，而是按照相反的顺序与它们打交道的看来，他们进行逻辑化的工作是极不情愿的” M.Kline 数学确定性的丧失,数学教育研究表明，人们认识负数比起认识无理数要容易些但是，历史有独特的自身发展逻辑 事实上，当人们还普遍怀疑负整数也是一种数时，人们就已经在研究正的有理数与无理数，甚至已经开始使用复数了,“数系”的历史扩展途径“数系”的逻辑扩展途径,新数产生的原因,数是抽象思维的产物真正与实体直接相关的、用日常生活经验可以获得的数

2、，只有自然数其他的数，都需要进行理性思考才能获得 数的概念产生于对实物的计量在漫长的史前时代，人类已经认识了抽象的自然数 随着人类文明的进步，数的概念从实体的测量发展为抽象的存在，如从正方形对角线的测量得到脱离经验的“无理数” 接着是代数运算的需要，因减法、开方运算的需要产生了负数、无理数和复数 到了近代，“数”不再只是单个的量的表示，人们为了追求运算的无矛盾性，接受了理想的“数”，包括复数、四元数、八元数等等,“新数”为何最初不被承认？,不能够测量 并非非有不可 不能够理解 逻辑基础不清楚,“新数”为何最终获得承认？ “因为在数学中和在其他场合一样，成功是最高法庭，任何人都得服从它的裁决.”

3、 D.Hilbert论无限,算法合理性是“新数”获得承认的主要原因 算术到代数的演进加速了数系的形成 广泛的应用促进广泛的承认 “理想数” 的思想,1.2 数系的构造理论,1.2.1自然数的定义,自然数严格的抽象定义是由peano公理给出的，它刻画了自然数的本质属性，并导出了有关自然数的所有运算和性质。 Peano公理陈述如下： （1）0是自然数； （2）每个自然数都有一个后继，a的后继记为a+ ； （3）没有自然数的后继为0； （4）不同的自然数有不同的后继，即若a+= b+，则a= b； （5）（归纳公理）如果0有某个属性，而且若自然数a有该属性则a+也有该属性，那么所有自然数都有该属性。

4、,例 设m N, m0, 那么，必有n N使得n+=m证明 设集合A由所有这样的自然数组成：它是某个自然数的后继. 设S=0A.显然, 0 S. 若x S, 由A的定义有x+ A, 因而x+ S .由归纳公理知, S=N.因此，若m N, m0, 就必有m A, 即存在n N, 使得 n+=m. 该例题表明：每个不为0的自然数必为某个自然数的后继。,加法,定义1 自然数集N上的二元运算“+”称为加法，满足条件： (1)对任何aN ， a+0=a (2)对任何a, bN a+b+=(a+b)+,例 证明 2+3=5 证明： 2+0=2 2+1=2+0+=(2+0)+=2+=3 2+2=2+1+=

5、(2+1)+=3+=4 2+3=2+2+=(2+2)+=4+=5,例 对任何aN ，证明0+a=a+0. 证明：利用数学归纳法证明 当a=0时，结论显然成立。 假使a=n时，结论成立，即0+n=n+0 ，则当a=n+时0+n+=(0+n)+=(n+0)+=n+= n+0结论亦成立。,乘法,定义2 自然数集N上的二元运算“”称为乘法，满足条件： (1)对任何aN ， a0=0 (2)对任何a, bN ab+=(ab)+a,例 证明 a3=a+a+a 证明: a0=0 a1=a0+=(a0)+a=0+a=a+0=a a2=a1+=(a1)+a=a+a a3=a2+=(a2)+a=a+a+a,运算律

6、,定理2 对任何a, b, cN 有 加法交换律 a+b=b+a 加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 加法相消律 若 a+b=a+c, 则 b=c.若 b+a=c+a, 则 b=c. 乘法交换律 ab=ba 乘法结合律 (ab)c=a(bc) 乘法相消律 若 a0, ab=ac, 则 b=c.若 a0, ba=ca, 则 b=c. 乘法对加法分配律 a(b+c)=ab+ac(a+b)c=ac+bc,代数结构,定理3 自然数集关于加法和乘法都是一个可交换的半群，0是其零元，1是其单位元。 0的负元是0，1的逆元是1，除此之外其他自然数都没有负元和逆元。,减法,加法的相消律保证我们可以定义

7、加法的逆运算减法。 定义3 设a，bN，若存在xN，使x+b=a，则称x=a-b. 根据定义，有 (a-b)+b=a; 除零元之外其他自然数都没有负元，这说明在整数集上减法不具有封闭性。,例 证明不存在xN，使得x+2=1成立. 证明：反证法假使存在xN, 满足x+2=1, 则(x+1)+=0+x+1=0 (x+0)+=0x+=0这与0不是任何自然数的后继相矛盾。,除法,乘法的相消律保证我们可以定义乘法的逆运算除法。 定义4 设a，bN, b0, 若存在xN，使xb=a，则称x= . 根据定义，有除单位元之外其他自然数都没有逆元，这说明在自然数集上除法不具有封闭性。,例 证明不存在xN，使得x

8、2=1成立. 证明：反证法假使存在xN, 满足x2=1, 则x+x=1显然x0, 可设x=y+, 所以y+y+=1(y+y)+)+=0+(y+y)+=0这与0不是任何自然数的后继相矛盾。,自然数的序关系,定义5 对给定的a, bN, 若存在xN，使得b=a+x, 则称ab, 或 ba. 定理5 关系“”()是自然数集上的全序关系，即满足自反性、反对称性、传递性和强连接性。 定理6 （最小自然数原理） (N, )是良序集，即N的每一个非空子集都有最小数。,定理7 对任何aN, a0 定理8 若a, b, cN, 则 当ab时，a+cb+c 当ab时，acbc 所以，“”() 是自然数集上的大小关

9、系。,定义6 若ab, 且ab, 则称aa. 定理9 “) 也是自然数集上的大小关系。 定理10（阿基米德性质） 对于任意a，bN，a0，总存在nN，使nab.,1.2.2从自然数到整数,定义1 NN上的关系“”规定如下：对于任意(a, b), (c, d) NN, 如果a+db+c, 则称(a, b)(c, d). 定理1：关系“” 是NN上的一个等价关系，即满足自反性、对称性和传递性。 定义2： NN按等价关系“”划分的等价类（以(a,b)表示(a,b)所属的等价类）叫做整数，一切整数组成的集合叫做整数集，记为Z.,定理2 设Z+=(a,0)|aN-0Z- =(0,a)|aN-0则Z= Z

10、+(0,0)Z-, 且Z+, (0,0), Z-两两不相交. 定义3 称Z+为正整数集，称Z-为负整数集。,整数集上的运算,定义4（整数加法） 整数集Z上的二元运算加法“+”规定如下：对于任意(a,b),(c,d) Z, (a, b)+(c, d)=(a+c, b+d) 上述定义是合理的，可以证明Z中的加法运算与等价类代表的选取无关。即若(a1, b1)(a2, b2), (c1, d1)(c2, d2), 则(a1+c1, b1+d1)(a2+c2, b2+d2).,定义5 （整数乘法） 整数集Z上的二元运算加法“”规定如下：对于任意(a,b),(c,d) Z, (a, b)(c, d)=(

11、ac+bd, ad+bc) 上述定义是合理的，可以证明Z中的乘法运算与等价类代表的选取无关。即若(a1, b1)(a2, b2), (c1, d1)(c2, d2), 则(a1c1+b1d1, a1d1+b1c1)(a2c2+b2d2, a2d2+b2c2).,定理3 对任何a, b, cZ 有 加法交换律 a+b=b+a 加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 加法相消律 若 a+b=a+c, 则 b=c.若 b+a=c+a, 则 b=c. 乘法交换律 ab=ba 乘法结合律 (ab)c=a(bc) 乘法相消律 若 a0,0, ab=ac, 则 b=c.若 a0,0, ba=ca, 则

12、b=c. 乘法对加法分配律 a(b+c)=ab+ac(a+b)c=ac+bc,定理4 整数集是一个交换环， (a,a)是其零元， (a+1,a)是其单位元。 (a,b)的负元是(b,a),单位元的逆元是自身，除此之外其他整数都没有逆元。,减法,加法的消去律保证我们可以定义加法的逆运算减法。 定义6 设a，bZ，若存在xZ，使x+b=a，则称x=a-b. 整数都有负元保证了整数集上减法的封闭性。,除法,乘法的相消律保证我们可以定义乘法的逆运算除法。 定义7 设a，bZ, b(0,0), 若存在xZ，使xb=a，则称x= . 除单位元之外其他整数都没有逆元，这说明在整数集上除法不具有封闭性。,整数

13、集上的序关系,定义8 对于任意(a, b), (c, d) Z, 如果a+db+c, 则称(a, b)(c, d) 定理5 关系“” 是整数集上的全序关系，即满足自反性、反对称性、传递性和强连接性。,定理6 若a, b, cZ, 则 当ab时，a+cb+c 当ab, (0,0)c时，acbc 所以，“” 是整数集上的大小关系。,整数集是自然数集的扩张,定理7 整数集Z是自然数集N的一个扩张，即存在一个N到Z上的一个一一映射f，使得 （1）对于任意a, b N, 都有f(a+b)=f(a)+f(b)f(ab)=f(a)f(b) （2）对于任意a, b N, 若ab, 则f(a)f(b). 证明：

14、构造f: NZ如下f(a)=(a,0)即可满足定理要求。,因此，以后我们可以对a与(a,0)不加区别地使用，从而有Z+=N-0.因为(0,a)是(a,0)的负元，所以我们也用-a表示(0,a).,1.2.3从整数到有理数,记Z0= Z+Z-. 定义1 ZZ0上的关系“”规定如下：对于任意(a, b), (c, d) ZZ0, 如果adbc, 则称(a, b)(c, d). 定理1：关系“” 是ZZ上的一个等价关系，即满足自反性、对称性和传递性。 定义2： ZZ按等价关系“”划分的等价类（以(a,b)表示(a,b)所属的等价类）叫做有理数，一切有理数组成的集合叫做有理数集，记为Q.,有理数集上的运算,定义3（有理数加法）有理数集Q上的二元运算加法“+”规定如下：对于任意(a,b),(c,d) Q, (a, b)+(c, d)=(ad+bc, bd) 上述定义是合理的，可以证明Q中的加法运算与等价类代表的选取无关。即若(a1, b1)(a2, b2), (c1, d1)(c2, d2), 则(a1d1+b1c1, b1d1)(a2d2+b2c2, b2d2).,