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1、,北 师 大 八 年 级 数 学 ( 下 ) ,课首,第一章 证明(2),你能证明它们吗（2）,2018年9月5日星期三,2,等腰三角形 知 识 回 顾,等腰三角形顶角的平分线、 底边上的中线、底边上的高 互相重合。,顶角,【定义】,【性质定理】,【性质定理的推论】,有两边相等的三角形叫做等腰三角形;,高,(简称:“三线合一”),2018年9月5日星期三,3,如图,在ABC中, AB=AC, 1=2 (已知). BD=CD,ADBC (三线合一).,左边方框中的的格式,以后可以直接运用.,如图,在ABC中, AB=AC, BD=CD (已知). 1=2,ADBC(三线合一).,如图,在ABC中
2、, AB=AC, ADBC(已知). BD=CD, 1=2 (三线合一).,轮换条件1=2, BD=CD,ADBC 可得三线合一的三种不同形式的运用.,”三线合一“的三种语言 及 条件的轮换,高线 ？,中线 ？,角平分线 ?,2018年9月5日星期三,4,本节课学些什么？,等腰三角形还具有哪些重要的性质? 除了用定义来判定三角形是等腰三角形外, 还有一些什么简单的方法来判定三角形是等腰三角形?,这就是本节课的学习的主要内容。,2018年9月5日星期三,5,实践观察猜想证明,画一画,先画一个等腰三角形,然后在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高线)，,你能发现其中一些相等的线段吗？,你
3、能证明你的结论吗？,小结,顶角的平分线、中线、高线都分别只有一条，不能比较； 底角的两条平分线相等； 两条腰上的中线相等； 两条腰上的高线相等。,2018年9月5日星期三,6,“等腰三角形的两底角的平分线相等”的证明,【例1】证明:等腰三角形两底角的平分线相等.,AB=AC(已知), ABC=ACB(等边对等角).,已知:,求证:,BD=CE.,如图, 在ABC中, AB=AC, BD,CE 是ABC角平分线.,证明:,2= (已知),又1= ，,1=2(等式性质).,DCB= EBC（已知）,BC=CB（公共边）,1=2（已证）,BDCCEB（ASA）.,BD=CE(全等三角形的对应边相等)
4、,2018年9月5日星期三,7,“等腰三角形的两腰上中线相等”的证明,证明: 等腰三角形两腰上的中线相等.,BM=CN.,已知:,求证:,如图,在ABC中,AB=AC,BM, CN是ABC两腰上的中线.,证明:,2018年9月5日星期三,8,“等腰三角形两腰上的高相等”的证明,证明: 等腰三角形两腰上的高相等.,证明: AB=AC(已知),ABC=ACB(等边对等角).又 BP,CQ是ABC两腰上的高(已知),BPC= CQB=90o(高的意义).在BPC与CQB中BPC=CQB（已证）, PCB=QBC（已证）,BC=CB（公共边）,BPCCQB（SAS）.BP=CQ(全等三角形的对应边相等
5、),已知: 如图, 在ABC中, AB=AC,BP,CQ是ABC两腰上的高. 求证: BP=CQ.,2018年9月5日星期三,9,等腰三角形中的相等的线段(2),这里是一个由特殊结论归纳出一般结论的一种数学思想方法.,1.已知:如图,在ABC中,(1)如果ABD= , ACE= ,那么BD=CE吗? 如果ABD= , ACE= 呢? 由此你能得到一个什么结论?,(2)如果AD= , AE= , 那么BD=CE吗?,(3)你能证明得到的结论吗？,如果AD= , AE= 呢?,由此你能得到一个什么结论?,过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等.,两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等.,2
6、018年9月5日星期三,10,等腰三角形的 判 定 定 理,你是如何思考的?,2. 前面已经证明了“等边对等角”，反过来，“等角对等边”吗? 即有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?,要证明AB=AC,只要能构造出AB，AC所在的两个三角形全等就可以了.,如：作BC边上的中线；作A的平分线或作BC边上的高.,分析:,有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）.,在ABC中 BC（已知）， AB=AC（等角对等边）.,这又是一个判定两条线段相等的依据之一.,结论,2018年9月5日星期三,11,论证命题的新思维与新方法,小明说, 在一个三角形中，如果两个角不相等, 那么这两个角所对的边也不相等
7、.,即,在ABC中, 如果BC, 那么ABAC.,你认为这个结论成立吗?如果成立,你能证明它吗?,如图,在ABC中,已知BC, 此时,AB与AC要么相等,要么不相等.,假设AB=AC, 那么根据“等角对等边”定理可得B=C, 但已知条件是 BC. “B=C”与“BC”相矛盾， 因此， ABAC.,你能理解他的证明过程吗?,2018年9月5日星期三,12,论证的新方法-反证法,小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明便是的结论一定成立. 这种证明方法称为反证法(reduction to absurdity),你可要结识“反证法”这个新
8、朋友噢!,假设AB=AC, 那么根据“等角对等边” 定理可得B=C . 但已知条件是BC. “B=C”与“BC”相矛盾, 因此,ABAC.,反证法是一种重要的数学证明方法. 在解决某些问题时常常会有出人意料的作用.,2018年9月5日星期三,13,反证法,1.假设:先假设命题的结论不成立; 2.归谬:从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果; 3.结论:由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.,用反证法证明的一般步骤:,2018年9月5日星期三,14,反证法证题范例,求证: 如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且a1+a2+a3+a
9、4+a5=1,那么,这五个数中至少有一个大于或等于1/5.,假设这五个数中没有一个大于或等于1/5, 即都不得小于1/5, 那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1. 这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾. 因此,这五个数中至少有一个大于或等于1/5.,(用反证法来证),证明:,2018年9月5日星期三,15,用反证法证题的一般步骤,1. 假设: 先假设命题的结论不成立; 2. 归谬: 从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果; 3. 结论: 由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.,2018年9月5日星
10、期三,16,牛利刃不费磨刀功,1.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角 已知：ABC 求证：A、B、C中不能有两个角是直角,分析：按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“A、B、C中不能有两个角是直角”不成立，即它的反面“A、B、C中有两个角是直角”成立，然后，从这个假定出发推下去，找出矛盾,证明：假设A、B、C中有两个角是直角，不妨设A=B=90，则 A+B+C=90+90+C180 这与三角形内角和定理矛盾，A=B=90不成立 所以一个三角形中不能有两个角是直角,2.用反证法证明： 在一个三角形中, 至少有一个内角小于或等于600.,2018年9月5日星期三,17,等腰三角形ABC,AB=AC, DEAC, DFAB, CHAB 探索DE、DF、 CH的关系?,D,等腰三角形底边上的点到两腰的距离和等于一腰上的高,E,F,H,D,E,F,H,DE+DF=CH,演示,2018年9月5日星期三,18,方法1：在HC上取一点G，使FD=HG,D,E,F,H,G,DE+DF=CH,2018年9月5日星期三,19,方法2：过D点作DGHF,D,E,F,H,G,DE+DF=CH,方法3：过D点作DGHF,还有好方法吗？,
