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1、第八章 轴向拉伸和压缩,8-1 轴向拉伸和压缩的概念和实例,8-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力,8-3 轴向拉伸或压缩时的变形,8-4 材料拉伸时的力学性能,8-5 材料压缩时的力学性能,8-6 轴向拉伸或压缩时的强度计算,8-7 应力集中的概念,8-8 拉伸与压缩的静不定问题,8-9 轴向拉伸或压缩的应变能,8.1 轴向拉伸和压缩的概念和实例,工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合。在这种受力情况下，杆的主要变形形式是轴向伸长或缩短。,屋架结构简图,受轴向外力作用的等截面直杆拉杆和压杆,1.特点：作用在杆件上的外力合力的作用线与杆
2、件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。,杆的受力简图为,工程中经常遇到承受轴向拉伸或压缩的直杆,一些机器和结构中所用的各种紧固螺栓，在紧固时，要对螺栓施加预紧力，螺栓承受轴向拉力，将发生伸长变形。,工程中经常遇到承受轴向拉伸或压缩的直杆，例如：,由汽缸、活塞、连杆所组成的机构中，不仅连接汽缸缸体和汽缸盖的螺栓承受轴向拉力，带动活塞运动的连杆由于两端都是铰链约束，因而也是承受轴向载荷的杆件。,工程实例,8.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力,材料力学中所研究的内力物体内各质点间原来相互作用的力由于物体受外力作用而改变的量。,1 横截面上的内力,根据可变形固体的连续性假设，内力在物体
3、内连续分布。,通常把物体内任一截面两侧相邻部分之间分布内力的合力和合力偶（主矢和主矩）简称为该截面上的内力(实为分布内力系的合成)。,如何确定轴向拉伸（压缩）的内力和内力图？,截面法,FN 轴向力，简称轴力,FN 拉压杆件截面上分布内力系的合力，作用线与杆件的轴线重合，单位: kN,FN 轴力正负号规定及其他注意点,1、同一位置处左右侧截面上的内力分量必须具有相同的正负号,2、轴力以拉（效果）为正，压（效果）为负,符号为正,符号为负,3、如果杆件受到外力多于两个，则杆件的不同部分上的 横截面有不同的轴力,截面法求轴力,绘制轴力图,FN=F,（1）假想地截开指定截面；,（2）用内力代替另一部分对
4、所取分离体的作用力；,（3）根据分离体的平衡求出内力值。,步骤：,横截面mm上的内力FN其作用线与杆的轴线重合(垂直于横截面并通过其形心)轴力。无论取横截面mm的左边或右边为分离体均可。轴力的正负也可以按所对应的纵向变形为伸长或缩短规定:当轴力背离截面产生伸长变形为正；反之，当轴力指向截面产生缩短变形为负（轴力与截面外法线同向为正，反之为负）。,轴力图(FN图)显示横截面上轴力与横截面位置的关系。,例题8-1 试作此杆的轴力图。,等直杆的受力示意图,(a),为求轴力方便，先求出约束力 FR=10 kN,为方便，取横截面11左边为分离体，假设轴力为拉力，得 FN1=10 kN(拉力),解：,为方
5、便取截面33右边为分离体，假设轴力为拉力。,FN2=50 kN(拉力),FN3=-5 kN （压力），同理，FN4=20 kN (拉力),轴力图(FN图)显示了各段杆横截面上的轴力。,思考：为何在F1，F2，F3作用着的B，C，D 截面处轴力图发生突变？能否认为C 截面上的轴力为 55 kN？,例题8- 2,试求直杆在外力作用下I-I II-II III-III截面的轴力,解,取I-I截面左侧为自由体，进行受力分析，轴力预先设为正（拉）：,列平衡方程求 FN1,FN1 = 5kN，正拉负压,同法求II截面上的内力,列平衡方程求 FN2,若取截面的右侧则:,注意:同一位置处左右侧截面上的内力分量
6、必须具有相同的正负号,同法求III截面上的内力,可取右侧计算较为简单。,将内力沿杆件轴线方向变化的规律用曲线表示 内力图,将轴力沿杆件轴线方向变化的规律用曲线表示 轴力图,例题8-3,试画出图示杆件的轴力图。 已知 F1=10kN；F2=20kN；F3=35kN；F4=25kN；,解：1、计算杆件各段的轴力。,A,B,C,D,AB段,BC段,CD段,2、绘制轴力图。,内力图的两种画法,课堂练习（时间 3分钟）,试画出下列直杆的轴力图,你做对了吗？,例题8-4：试作此杆的轴力图。,解：,2 横截面上的应力,杆件的强度不仅与轴力的大小有关，还与杆件的横截面的面积有关。必须用应力来比较和判断杆件的强
7、度。,观察中间部分，拉伸变形后，竖线仍然相互轴线，只是发生了平移,平面假设: 变形前为平面的横截面变形后仍保持平面且垂直于轴线,由上述假设，拉杆的所有纵向纤维的伸长都是相同的,根据胡克定律,横截面上的各点正应力亦相等，且分布均匀,思考- 横截面上有没有切应力？,横截面上的各点正应力亦相等，且分布均匀,有,得到横截面上正应力公式为:,适用条件： A、轴向拉压； B、离杆件受力区域较远处的横截面。,正应力，拉应力为“+”，压应力为“”,FN 轴力 A 横截面面积,* 公式同样适用于杆件横面尺寸沿轴线缓慢变化的变截面直杆。,x 是横截面的位置。,注意：,1） 上述正应力计算公式来自于平截面假设；对于
8、某些特定杆件,例如锲形变截面杆，受拉伸(压缩)时，平截面假设不成立，故原则上不宜用上式计算其横截面上的正应力。,2） 即使是等直杆，在外力作用点附近，横截面上的应力情况复杂，实际上也不能应用上述公式。,3） 圣维南(Saint-Venant)原理：“力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响”。,3. 圣维南原理,圣维南原理: 将原力系用静力等效的新力系来替代，除了对原力系作用附近的应力分布有明显影响外，在离力系作用区域略远处，该影响就非常小。,有限元分析的圣维南原理,例题8- 5,阶梯杆OD, 左端固定，受力如图所示， OC 段的横截面面积是 CD 段横截面面
9、积 A 的两倍,求杆内最大的轴力和最大正应力的大小及其位置。,1、求反力,易知 O处反力 仅有水平方向的分量 FOx,2、画出轴力图,因此 FNmax=3F 在OB段，性质为拉力,3、计算应力,最大应力位于CD段,最大轴力的位置并不一定是最大应力的位置。,例题 8-6,图示结构，试求杆件AB、CB的应力。 已知 F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为1515的方截面杆。,解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）用截面法取节点B为研究对象,45,45,2、计算各杆件的应力。,例题8-7 试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面上的最大工作应力。已知F = 50
10、kN。,段柱横截面上的正应力,所以，最大工作应力为 smax= s2= -1.1 MPa (压应力）,解：段柱横截面上的正应力,(压应力),(压应力),4.斜截面上的应力,拉(压)杆斜截面上的应力,斜截面上的内力：,变形假设：两平行的斜截面在杆受拉(压)而变形后仍相互平行。=两平行的斜截面之间的所有纵向线段伸长变形相同。,斜截面上的总应力：,推论：斜截面上各点处轴向分布内力的集度相同，即斜截面上各点处的总应力pa相等。,式中， 为拉(压)杆横截面上(a =0)的正应力。,斜截面上的正应力(normal stress)和切应力(shearing stress)：,正应力和切应力的正负规定：,思考
11、：1） 写出图示拉杆其斜截面k-k上的正应力sa和切应力ta与横截面上正应力s0的关系。并示出它们在图示分离体的斜截面k-k上的指向。,2）拉杆内不同方位截面上的正应力其最大值出现在什么截面上？绝对值最大的切应力又出现在什么样的截面上？,8.3 轴向拉伸或压缩时的变形,1、纵向变形（轴向变形）,基本情况下(等直杆，两端受轴向力)：,杆件在轴线方向的伸长,纵向应变,直杆在其轴线的外力作用下，纵向发生伸长或缩短变形，而其横向变形相应变细或变粗,由胡克定律,得到轴向拉压变形公式,纵向总变形l （反映绝对变形量）,纵向线应变 （反映变形程度）,公式的适用条件,1）线弹性范围以内，材料符合胡克定律,2）
12、在计算杆件的伸长时，l 长度内其FN、A、l 均应为常数，若为变截面杆或阶梯杆，则应进行分段计算或积分计算。,胡克定律,试验表明，对于工程中常用材料制成的杆件，在弹性范围内加载时（构件只发生弹性变形），若所取单元体只承受单方向正应力或只承受切应力，则正应力与线应变以及切应力与切应变之间存在线性关系。,E-材料的杨氏弹性模量,G-材料的切变模量,Robert Hooke,引进比例常数E，且注意到F = FN，有,胡克定律(Hookes law),适用于拉(压)杆。,式中：E 称为弹性模量(modulus of elasticity)，由实验测定，其量纲为ML-1T-2，单位为Pa；EA 杆的拉伸
13、(压缩)刚度。,胡克定律(Hookes law),工程中常用材料制成的拉(压)杆，当应力不超过材料的某一特征值(“比例极限”)时，若两端受力,胡克定律的另一表达形式：,单轴应力状态下的胡克定律,低碳钢(Q235)：,横向也会发生变形,横向应变,通过试验发现，当材料在弹性范围内时，拉压杆的纵向应变和横向应变存在如下的比例关系,泊松比,泊松比 m 、弹性模量 E 、切变模量G 都是材料的弹性常数，可以通过实验测得。对于各向同性材料，可以证明三者之间存在着下面的关系,2、 横向变形,小结,一 纵向变形,二 横向变形,都是材料的弹性常数。钢材的E约为200GPa，约为0.250.33,E为弹性摸量,E
14、A为抗拉刚度,泊松比,横向应变,2.横截面B, C及端面D的纵向位移与各段杆的纵向总变形是什么关系？,思考：等直杆受力如图，已知杆的横截面面积A和材料的 弹性模量E。,1.列出各段杆的纵向总变形lAB，lBC，lCD以及整个杆纵向变形的表达式。,位移：,变形：,位移：,变形：,例8-9,例题8-10,如图所示阶梯形直杆，已知该杆AB段横截面面积A1=800mm2，BC段横截面面积A2=240mm2，杆件材料的弹性模量E=200GPa，求该杆的总伸长量。,1）求出轴力，并画出轴力图,2）求伸长量,mm,伸长,缩短,缩短,一、 实验的基本情况,要对杆件进行强度、刚度分析，除了要进行应力和变形计算以
15、外，还必须了解组成杆件材料的力学性能。,材料的力学性能是指: 材料在外力作用下表现出来的变形、破坏等方面的特性。它主要通过实验来测定。实验均是在常温下，宜缓慢平稳的方式进行加载的，也称为常温静载试验。,8.4 材料拉伸时的力学性能,1. 拉伸试验的目的,A、测定低碳钢拉伸的力学性能。,B、测定灰口铸铁的抗拉强度。,2. 试验仪器,A、液压式万能试验机,C、观察低碳钢拉伸过程中的各种现象，并绘制拉伸曲线。,B、游标卡尺,3. 液压式万能试验机,万能试验机,4.试件和实验条件,试件和实验条件,常温、静载,1）拉伸试验的试件,国家标准GB639786金属拉伸试验试样,试件中段用于测量拉伸变形，此段长
16、度称为“标距”L0，两端较粗部分是夹持部分，为装入试验机夹头用。,长试件：,短试件：,1. 低碳钢拉伸试验的过程,（1）在画线器上对试件画上标距，并在其内分若干等分格。,（2）量试件直径。,（3）估计所需要的最大载荷，选择测力度盘。,（4）调整试验机，装卡试件。,（5）加载，观察试件拉伸时的四个阶段，记录数据，绘制F -DL曲线。,（6）关闭送油阀，关闭油泵电机,打开回油阀，取下试件。,（7）测量断后数据，分析整理数据。,低碳钢的拉伸,二、低碳钢拉伸时的力学性能,2. s-e 曲线图,由测量得到的F -DL曲线可以转换为s-e 曲线。,纵坐标试样的抗力F(通常称为荷载),横坐标试样工作段的伸长量,3. 低碳钢Q235拉伸曲线的四个阶段,对低碳钢Q235试件进行拉伸试验，通过s-e 曲线，整个试验过程可以分为四个阶段:,
