金融数学第四章

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1、金融数学第四章 资本资产定价模型CAPM 均值方差模型提出了的证券选择问题，解 决了最优地持有有效证券组合，即在同等 收益水平之下风险最小的证券组合 夏普等人在该模型基础上发展了经济含义 任何证券组合收益率与某个共同因素的关 系 资产定价模型（CAPM） 第一节 传统标准CAPM的 定价公式推导 一般所说的CAPM就是传统的标准的 在一定假设条件下成立 不“传统的标准的”CAPM，是对假设条件 的一些放宽 本章主要介绍“传统的”CAPM的假设条件及其说明 根据“版本”不同，假设条件略有差异，但基 本含义相同 本教材列举了9条假设 1投资者仅依据投资收益率的均值和方差 作决策，投资者永不满足 2

2、投资者对预期回报率、标准差和证券之 间的协方差具有相同的理解。 3单期（single period）投资 4资产都无限可分，可以购买一个股份的 任意比例的部分。市销的（Marketed），即 ，可以随意买入卖出 5对卖空没有约束 6存在无风险资产，可以以无风险利率贷 出或借入任意数量的该种资产。利率对所有 投资者相同 7忽略税收和交易成本，信息是免费并可 立即得到 8没有通货膨胀和利率的变化 9单个投资者不能通过其买卖行为影响资 产价格，即完全竞争假设条件的放宽问题 这些假设条件是标准的CAPM的假设 有一些明显与实际情况相违背 本章后面将讨论这些假设的放宽问题 用效用函数的方式等方式讨论更一

3、般形式 的最优证券组合选择的问题 这些定价公式的“模样”基本相同市场有效性假设EMH 假设2是以有效性假设EMH为前提 EMH是指价格已经反映了所有可能得到的信息。 基于某一信息集的交易是否赚取较高的收益，若不 能，则说明价格反映了该信息集的所有信息 3种形式：弱、半强、强有效 弱有效（weak form efficiency）：信息集仅包含价 格或收益的历史记录信息；现在的市场价格反映了 有关该证券的所有历史记录中的信息 半强有效（semi-strong form efficiency）：信息集 包括所有公开的，投资者共知的所有信息；现在的 市场价格不仅反映了该证券过去的信息，而且还反 映了

4、有关该证券的所有公布于众的信息 强有效（strong form efficiency）：信息集包括 任何市场参与者所掌握的一切信息；现在的市 场不仅反映了有关该证券过去的信息和公布于 众的信息，而且还反映任何交易者掌握的私人 信息 强有效表明，即使是内线人（insider）也无法 垄断信息，研究者的成果与基金管理者对市场 的评估均已反映到市场价格中 一些学者用统计检验方法证明，对于半强有效 ，在一些规范成熟的证券市场中成立 证券市场中许多异常现象（anormal phenomenon）说明，市场不符合强有效 在实际证券市场中应用CAPM，还有很大障碍资本市场线CML （capital mark

5、et line） 投资者的最优证券组合是风险资产组合e和无风险资 产P0的线性组合 所有的投资者面对同一个有效前沿进行最优组合选 择，他们的差异体现在无差异曲线上 如果有效前沿是“直的”射线，最优组合有“简单的 ”叙述用点P0和e将最优组合线性表示 用无风险资产和风险资产组合e的线性组合将最优证 券组合表示；线性组合中的系数就是投资的权重 投资者之间，无差异曲线的不同将导致选择的最优组 合中，无风险P与有风险组合e的比例发生变化 愿意“冒险”的投资者，风险资产组合e的比例大 CMLe mE (r )0P0分离定理 separation theorem 如果把投资者持有的风险资产“挑出来”比较

6、相对于总的资产，单个风险证券的权重不相同 仅仅相对于风险资产来说，每种单个的风险资 产在总的风险资产中占的比例，对于每个投资 者来说是相同的，而且与组合e点“同结构” 投资者投资于风险资产的“相对权重”与投资 者个人的 “风险喜好”程度无关 两者是分离的分离定理市场组合Market portfolio 切点e 投资者通过持有e，间接地体现持有风险资 产，而不直接考虑单独风险资产持有情况 定义：证券组合P被称为市场组合，当且 仅当该证券组合P投资于每个风险资产 j 的权重正好等于Wmj Wmj表示风险资产j的市值与风险资产的总 值的比例 用m表示市场组合 切点e就是市场组合（书上有证明过程）两个

7、结论 引理4.1：如果投资者的效用函数u（）是严 格递增和凹函数的时候，投资者一定不会持有 期望收益率rf的证券组合 定理4.1： 如果风险厌恶的投资者都具有严格 递增的效用函数，那么当所有风险资产都是严 格正的供给时，在CAPM假设下，市场证券组 合的风险溢价，一定是严格正的 从而， rfA/C一定成立CML的方程式 CML表示有效证券组合p的收益与风险之间 关系的函数 每个投资者的最优组合选择均取自该直线 表达式中用到了市场组合的收益风险 假定市场组合的收益风险可以计算出来 从图上可以简单推导出该方程资本资产定价模型CAPM 第三章结论：在市场均衡状态下，对任意 证券或组合q，可以用（3.

8、35）定价 用市场组合m取代（3.35）中的前沿证券P 得到CAPM q的系数证券市场线SMLsecurities market line 将CAPM看成一条直线，就是SML 位于 SML与CML对比： 都是组合p的收益与风险之间关系的函数 SML对任意的证券组合成立 CML仅对前沿证券组合成立 “横坐标”不同：标准差，系数SML的含义 处在SML上的投资组合点，处于均衡状态。如图 中的m、Q点和O点 高于或低于直线SML的点，表示投资组合不是处 于均衡状态。如图中的 O点和点 市场组合m的系数mm1，表示其与整个市 场的波动相同，即，其预期收益率等于市场平 均预期收益率Em SML对证券组合

9、价格有制约作用 市场处于均衡状态时，SML可以决定单个证券或 组合的预期收益率，也可以决定其价格 高于SML的点（图中的O点）表示价格偏 低的证券。（可以买入，需求增加） 其市价低于均衡状况下应有的价格 预期收益率相对于其系统风险而言，必 高于市场的平均预期收益率 价格偏低，对该证券的需求就会“逐渐 ”增加，将使其价格上升 随着价格的上升，预期收益率将下降， 直到下降到均衡状态为止 O点下降到其SML所对应的O点 低于SML的点（图中的Q点）表示价格偏 高的证券。（应该卖出，供给增加） 其市价高于均衡状况下应有的价格 预期收益率相对于其系统风险而言，必 低于于市场的平均预期收益率 价格偏高，对

10、该证券的供给就会“逐渐 ”增加，将使其价格下降 随着价格的下降，预期收益率将上升， 直到上升到均衡状态为止 Q点上升到其SML所对应的Q点BAEOmE (r )0imEQEmOOQQmm =1系数含义 系数表示证券或组合的系统风险 根据系数将证券或组合分为两种 SML上的B点在m点的左边，其系数值 小于1。表明证券B的变动幅度小于整个 市场的变动，称为防卫性证券或证券组 合（defensive securities） SML上的A点在m点的右边，其系数值 大于1。表明A的变动幅度大于整个市场 的变动，称为攻击性证券或证券组合（ Aggressive securities）CAPM的事后形式“特

11、征线” 类似于计量经济中回归的表达式风险的分解 由事后形式，忽略联动性，近似认为误差项不相关 风险由系统和非系统两部分组成（等式右边两项） 公式中X表示投资权重非系统风险趋向于0 非系统风险是方差表达式中第二项 引理4.2：如果每个证券的非系统风险有界，即 则，在高度分散化的情况下，组合p的非系统风险趋 向于0，即 组合p高度分散化是一个极限的过程，应该从“密度”的 观点看待。详细内容第五章 因为能够被避免，所以称为可分散风险 组合风险的近似公式 im作为证券i对组合p的风险做出的“贡献”的度 量 证券的系统风险体现在证券的系数上 im作为对证券i的系统风险的度量 把系数看成对证券i的总风险的

12、一个度量 风险。风险具有线性可加性 是市场真正给予补偿或估值的风险单个证券对组合风险的贡献单个证券对组合风险的贡献用风险和风险价格解释CAPM 在CAPM的表达式中， 风险溢价（补偿） 风险（横坐标） 风险价格（直线斜率） 单位风险溢价度量风险和风险价格的 另外两种方式 CAPM公式变形第二节 CAPM应用和系数估计 运用CAPM公式就需要了解3个数据 1.系数 2.市场风险溢价 3.无风险利率 运用CAPM的难点就在于如何计算或估计 这3个数据系数的估计 没有理由认为证券或证券组合的系数恒定不变 真正的系数的取值是未来的系数 只有当认为未来的情况不会有大的差别时，才将现在 的系数用于未来 先

13、看过去和现在如何，再看将来会发生什么变化 对系数的预测还有很多，这里是几种方法最基本 1）用历史数据估计出的值作为系数的预测值； 2）用历史的值调整后得到的值作为系数预测值 3）用基础系数作为系数的预测值 事后系数的估计 所谓事后系数，是从市场的实际表现，来估计过 去到现在一段时期以来，实际表现的值是多大， 因而它属于一个实证而非预测的范畴 由于用的是历史的数据，所以也称为历史的方法 假定i，i为常数。用资产i的收益率和市场价格 指数收益（市场组合收益率替代物）的历史数据 ，建立线性回归模型，得到i和i的估计值*i ，*i： riti+irmt+it ，t1，2，T 具体估计过程分选取样本和估

14、计两个步骤 分段计算系数 布鲁姆（Blume）历史调整法 布鲁姆1971年提出 将样本期0T分为两段，0T1和T1T 估计第1段和第2段的值i1和i2 用横截面数据12，N2，对11，21， N 1；作最小二乘回归 N在样本期都存在的股票个数 将其作为证券i在下一个时期的系数的预测值 经验表明，比直接用i2预测误差小 查看Blume(1971)基础方法 上市公司的基础因素（例如公司的规模、流动性 等）影响股票风险。基础=fundamental 选择市场变量或者反映公司基本特征的基础变量 。如股利支付率（股利每股盈利）、资本增 长率（资本增长量总资本）、流动性（流动 资产流动负债）、公司规模（总

15、资产）和盈利 变动性（市盈率的标准差） 用基于历史的值对基础变量的横截面数据（公 司i的基础变量X1，Xk的平均值）进行回归 估计X1，Xk ，进而估计值 假定所有公司的对基础变量的反应程度一样 对未来系数的预测 用历史的系数作为预测，承认未来的风险等 于过去的风险 美林公司公布的系数是修正的系数，以5年 中的旧数据为抽样单位 国外一些机构定期公市股票系数 可采用某一机构公布的系数，也可对机构公 布的系数平均 预测未来系数的最简单办法是 用最近一段时间的事后系数估计值作为未来 某个时间段的系数的预测值 用移动取样计算事后估计比较合理 如果认为时间上相邻的系数之间存在 线性关系，可以首先明了这种关系，然 后利用这种关系预测未来的系数 1.计算每个分段时期的系数 2.利用回归分析等工具明确系数之间 的线性关系 3.分析各个时间段