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1、第2章 机器人学的基础理论 （一）,2.1 刚体的位姿描述 2.2 齐次坐标与齐次变换 2.3 机器人的位姿分析 2.4 机器人正向运动学和逆向运动学,2.1 刚体的位姿描述 2.1.1 刚体的旋转运动,2.1 刚体的位姿描述 2.1.2 旋转矩阵的性质,B相对于A的旋转矩阵Rab：满足6个约束方程：因此3个独立变量决定一个旋转运动。,2.1 刚体的位姿描述 2.1.3 旋转矩阵（算子）相乘法则,相对于固定坐标系进行运动变换时，旋转变换的顺序从右到左； 相对于运动坐标系进行运动变换时，旋转变换的顺序从左到右。 矩阵相乘运算不满足交换率。,2.1 刚体的位姿描述 2.1.4 欧拉角的旋转矩阵,Z
2、YZ欧拉角： 在初始时刻，坐标系A和B重合； 坐标系B首先绕A的Z轴旋转角，形成新的坐标系A； 坐标系B首先绕A的Y轴旋转角，形成新的坐标系A ； 坐标系B首先绕A 的Z轴旋转角，达到B的最终状态。,2.2 齐次坐标与齐次变换 2.2.1 齐次坐标,一、空间任意点的坐标表示 在选定的直角坐标系A中，空间任一点P的位置可以用3 1的位置矢量AP表示，其左上标表示选定的坐标系A，此时有 ,式中：PX、PY、PZ是点P在坐标系A中的三个位置坐标分量，如图1.1所示。,2.2 齐次坐标与齐次变换 2.2.1 齐次坐标,一、空间任意点的坐标表示,2.2 齐次坐标与齐次变换 2.2.1 齐次坐标,二、齐次
3、坐标表示 将一个n维空间的点用n + 1维坐标表示，则该n + 1维坐标即为n维坐标的齐次坐标。 取 w为比例因子： 当取w = 1时，其表示方法称为齐次坐标的规格化形式，即,2.2 齐次坐标与齐次变换 2.2.1 齐次坐标,三、坐标轴的方向表示,w=0：向量 w0：标量,原点o 如何表示？,2.2 齐次坐标与齐次变换 2.2.1 齐次坐标,三、坐标轴的方向表示 例1.1 用齐次坐标表示图1.3中所示的矢量u、v、w的坐标方向。,2.2 齐次坐标与齐次变换 2.2.2 动系的位姿表示,在机器人坐标系中 运动时相对于连杆不动的坐标系称为静坐标系，简称静系； 跟随连杆运动的坐标系称为动坐标系，简称
4、为动系； 动系位置与姿态的描述称为动系的位姿表示，是对动系原点位置及各坐标轴方向的描述。 何为位置？何为姿态？,2.2 齐次坐标与齐次变换 2.2.2 动系的位姿表示,一、连杆的位姿表示 OXYZ为与连杆固接的一个动坐标系 位置：姿态：,N-X O-Y A-Z,2.2 齐次坐标与齐次变换 2.2.2 动系的位姿表示,一、连杆的位姿表示 连杆的位姿可用下述齐次矩阵表示 ：,2.2 齐次坐标与齐次变换 2.2.2 动系的位姿表示,图1.5表示固连于连杆的坐标系B位于OB点，XB = 2，YB = 1， ZB = 0。在XOY平面内，坐标系B相对固定坐标系A有一个30的偏转，试写出表示连杆位姿的坐标
5、系B的4 4矩阵表达式。,2.2 齐次坐标与齐次变换 2.2.2 动系的位姿表示,n o a p,2.2 齐次坐标与齐次变换 2.2.2 动系的位姿表示,二、手部的位姿表示 机器人手部的位置和姿态可以用固连于手部的坐标系B的位姿来表示: 取手部的中心点为原点OB； 关节轴为ZB轴，ZB轴的单位方向矢量a称为接近矢量，指向朝外； 两手指的连线为YB轴，YB轴的单位方向矢量o称为姿态矢量，指向可任意选定；,2.2 齐次坐标与齐次变换 2.2.2 动系的位姿表示,二、手部的位姿表示 关节轴为ZB轴，ZB轴的单位方向矢量a称为接近矢量，指向朝外； 两手指的连线为YB轴，YB轴的单位方向矢量o称为姿态矢
6、量，指向可任意选定； XB轴与YB轴及ZB轴垂直，XB轴的单位方向矢量n称为法向矢量，且n = o a，指向符合右手法则。,2.2 齐次坐标与齐次变换 2.2.2 动系的位姿表示,二、手部的位姿表示,2.2 齐次坐标与齐次变换 2.2.2 动系的位姿表示,三、目标物齐次矩阵表示 (例),图1.8 楔块Q的齐次矩阵表示,1 让楔块绕Z轴旋转90，用Rot(Z，90)表示 2 再沿X轴方向平移4，用Trans(4，0，0)表示，,2.2 齐次坐标与齐次变换 2.2.2 动系的位姿表示,若让楔块绕Z轴旋转90，用Rot(Z，90)表示，再沿X轴方向平移4，用Trans(4，0，0)表示，则楔块成为图
7、1.8(b)所示的情况。,2.2 齐次坐标与齐次变换 2.2.3 齐 次变 换,旋转的齐次变换 如图所示，空间某一点A，坐标为(XA，YA，ZA)，当它绕Z轴旋转角后至A ，坐标为(XA，YA，ZA)。A点和A点的坐标关系为,2.2 齐次坐标与齐次变换 2.2.3 齐 次变 换,旋转的齐次变换Rot(Z，)表示齐次坐标变换时绕Z轴的转动齐次变换矩阵，又称旋转算子，旋转算子左乘表示相对于固定坐标系进行变换，旋转算子的内容为:,绕X轴、Y轴如何？见P36,2.2 齐次坐标与齐次变换 2.2.3 齐 次变 换,旋转的齐次变换 算子左、右乘规则 若相对固定坐标系进行变换，则算子左乘；若相对动坐标系进行
8、变换，则算子右乘。 例1.4 已知坐标系中点U的位置矢量U=7 3 2 1，将此点绕Z轴旋转90，再绕Y轴旋转90，如图1.11所示，求旋转变换后所得的点W。,2.2 齐次坐标与齐次变换 2.2.3 齐 次变 换,1.2.1 旋转的齐次变换 例1.4 已知坐标系中点U的位置矢量U=7 3 2 1，将此点绕Z轴旋转90，再绕Y轴旋转90，如图1.11所示，求旋转变换后所得的点W。,2.2 齐次坐标与齐次变换 2.2.3 齐 次变 换,平移的齐次变换,2.2 齐次坐标与齐次变换 2.2.3 齐 次变 换,复合变换 平移变换和旋转变换可以组合在一个齐次变换中，称为复合变换 例1.7 如图1.8所示的
9、楔块Q，试求楔块经过绕固定坐标系OXYZ的Z轴旋转90，再沿X轴方向平移4后的齐次矩阵表达式及其复合变换矩阵H。,2.2 齐次坐标与齐次变换 2.2.3 齐 次变 换,复合变换 例1.7,=,2.3 机器人的位姿分析 2.3.1 杆件坐标系的建立,一、坐标系号的分配方法:由低到高,各连杆的坐标系Z轴方向与关节轴线重合(对于移动关节，Z轴线沿此关节移动方向),2.3 机器人的位姿分析 2.3.1 杆件坐标系的建立,二、各坐标系的方位的确定 D-H方法: 由Denauit和Hartenbery于1956年提出，它严格定义了每个坐标系的坐标轴，并对连杆和关节定义了4个参数。 转动关节的D-H坐标系,
10、2.3 机器人的位姿分析 2.3.1 杆件坐标系的建立,二、各坐标系的方位的确定 转动关节的D-H坐标系,Zi坐标轴; Xi坐标轴; Yi坐标轴;连杆长度ai; 连杆扭角i; 两连杆距离di; 两杆夹角i,2.3 机器人的位姿分析 2.3.1 杆件坐标系的建立(解释图),2.3 机器人的位姿分析 2.3.1 杆件坐标系的建立,Zi坐标轴:沿着i+1关节的运动轴; Xi坐标轴:沿着Zi和Zi-1的公法线,指向离开Zi-1轴的方向; Yi坐标轴:按右手直角坐标系法则制定; 连杆长度ai; Zi和Zi-1两轴心线的公法线长度; 连杆扭角i: Zi和Zi-1两轴心线的夹角; 两连杆距离di:相邻两杆三
11、轴心线的两条公法线间的距离; 两杆夹角i :Xi和Xi-1两坐标轴的夹角;,2.3 机器人的位姿分析 2.3.2 杆件坐标系间的变换矩阵,建立D-H坐标系后,可通过两个旋转、两个平移建立相邻连杆i-1和i间的相对关系。 绕Zi-1轴转i角，使Xi-1转到与Xi同一平面内； 沿Zi-1轴平移di，把Xi-1移到与Xi同一直线上； 沿i轴平移ai-1,把连杆i-1的坐标系移到使其原点与连杆i的坐标系原点重合的位置； 绕Xi-1轴转i角，使Zi-1转到与Zi同一直线上； 这四个齐次变换形成的矩阵叫Ai矩阵： Ai,2.3 机器人的位姿分析 2.3.2 杆件坐标系间的变换矩阵,对旋转关节,Ai= Ro
12、t(Z, i)Trans(ai, 0, di)Rot(X, i),2.3 机器人的位姿分析 2.3.2 杆件坐标系间的变换矩阵,对棱柱关节其变换过程，课后作为练习题。,Ai=,2.4 机器人运动学 机器人手部到基坐标系的变换,Ai能描述连杆坐标系之间相对平移和旋转的齐次变换。A1描述第一个连杆对于机身的位姿，A2描述第二个连杆坐标系相对于第一个连杆坐标系的位姿。如果已知一点在最末一个坐标系(如n坐标系)的坐标，要把它表示成前一个坐标系(如n1)的坐标，那么齐次坐标变换矩阵为An，依此类推，可知此点到基础坐标系的齐次坐标变换矩阵为：AA1A2A3An1An,2.4 机器人运动学 2.4.1 斯坦
13、福机器人运动方程,斯坦福机器人由球面坐标臂和手腕组成。 由于各关节轴线彼此正交，可以将各杆件坐标系的 X 轴都安排在同一方向。 暂不计终端操作装置的位移。,STANFORD机器人操作机,机构运动简图,坐标系设置,2.4 机器人运动学 2.4.1 斯坦福机器人运动方程,表1.1 斯坦福机器人的D-H参数,2.4 机器人运动学 2.4.1 斯坦福机器人运动方程,2.4 机器人运动学 2.4.1 斯坦福机器人运动方程,2.4 机器人运动学 2.4.2 机器人逆向运动学逆问题的引出,对于具有n个自由度的操作臂，其运动学方程可以写成:上式左边表示末端连杆相对于基础坐标系的位姿。给定末端连杆的位姿计算相应
14、关节变量的过程叫做运动学逆解。,= A1A2A3A4A5A6,一、多解性,2.4 机器人运动学 2.4.2 机器人逆向运动学逆问题的引出,图1.20 机器人运动学逆解多解性示意图,2.4 机器人运动学 2.4.2 逆向运动学的解,运动学逆解具有多解的原因：解反三角函数方程。对于一个真实的机器人，只有一组解与实际情况对应，为此必须做出判断，以选择合适的解。通常采用剔除多余解的方法： (1) 根据关节运动空间来选择合适的解。 (2) 选择一个最接近的解。 (3) 根据避障要求选择合适的解。 (4) 逐级剔除多余解。,2.4 机器人运动学 2.4.2 逆向运动学的解,二、可解性 能否求得机器人运动学
15、逆解的解析式是机器人的可解性问题。 所有具有转动和移动关节的机器人系统，在一个单一串联链中共有6个自由度(或小于6个自由度)时是可解的。其通解是数值解，不是解析表达式，是利用数值迭代原理求解得到的，其计算量比求解析解大得多。,2.4 机器人运动学 2.4.2 逆向运动学的解,二、可解性 能否求得机器人运动学逆解的解析式是机器人的可解性问题。 所有具有转动和移动关节的机器人系统，在一个单一串联链中共有6个自由度(或小于6个自由度)时是可解的。其通解是数值解，不是解析表达式，是利用数值迭代原理求解得到的，其计算量比求解析解大得多。,2.4 机器人运动学 2.4.3 逆向运动学求解实例,斯坦福机器人逆运动学求解1) 求 1 ： A T6= A2A3A4A5A6 = 1T6 (1.27),T6 = A1A2A3A4A5A6,2.4 机器人运动学 2.4.3逆向运动学求解实例,斯坦福机器人逆运动学求解,式中：,f11(i) = c 1iX + s 1iY； f12(i) = iZ； f13(i) = s 1iX + c 1iY； i = n, o, a。 1T6 = A2A3A4A5A6,
