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1、第三章 结构地震反应分析 与抗震计算,3.1 概述 3.2 单自由度体系的弹性地震反应分析 3.3 单自由度体系的水平地震作用与反应谱 3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析 3.5 多自由度弹性体系最大地震反应与水平地震作用 3.6 竖向地震作用 3.7 结构平扭耦合地震反应与双向水平地震影响 3.8 结构非弹性地震反应分析 3.9 结构抗震验算,主要内容,3.1 概述,由地震动引起的结构内力、变形、 位移及结构运动速度与加速度等,一、结构地震反应,：由地震动引起的结构位移,地面运动,结构动力特性：自振周期，振型和阻尼,1.结构地震反应,2.结构地震位移反应,：,结构地震反应影响因素,3.1
2、 概述,：能引起结构内力、变形等反应的各种因素,二、地震作用,作用分类,各种荷载：如重力、风载、土压力等,各种非荷载作用：如温度、基础沉降、地震等,等效地震荷载,：工程上，可将地震作用等效为某种形式的荷载作用,作用,直接作用,间接作用,3.1 概述,1. 连续化描述（分布质量）,三、结构动力计算简图及体系自由度,描述结构质量的两种方法,采用集中质量方法确定结构计算简图 （步骤）：,2. 集中化描述（集中质量）,工程上常用,定出结构质量集中位置（质心）,将区域主要质量集中在质心； 将次要质量合并到相邻主要质量的质点上去,集中化描述举例,a、水塔建筑,主要质量：水箱部分 次要质量：塔柱部分,水箱全
3、部质量 部分塔柱质量,集中到水箱质心,单质点体系,b、厂房（大型钢筋混凝土屋面板）,主要质量：屋面部分,厂房各跨质量,集中到各跨屋盖标高处,集中化描述举例,c、多、高层建筑,主要质量：楼盖部分,多质点体系,d、烟囱,结构无主要质量部分,结构分成若干区域,集中到各区域质心,多质点体系,返回目录,惯性力 、阻尼力 、弹性恢复力,3.2 单自由度体系的弹性地震反应分析,一、运动方程,作用在质点上的三种力：,惯性力,阻尼力,由结构内摩擦及结构周围介质（如空气 水等）对结构运动的阻碍造成,弹性恢复力,由结构弹性变形产生,C 阻尼系数,k 体系刚度,力的平衡条件：,令,二、运动方程的解,1.方程的齐次解自
4、由振动,齐次方程：,自由振动：在没有外界激励的情况下结构体系的运动,为共轭复数,，,（2）若,方程的解：,特征方程,特征根,（4）若 ， 、 为负实数,（3）若,，,、,体系不振动 过阻尼状态,体系不振动 临界阻尼状态,体系产生振动 欠阻尼状态,其中,图 各种阻尼下单自由度体系的自由振动,当,临界阻尼系数：,临界阻尼比（简称阻尼比）,（1）若,体系自由振动 无阻尼状态,初始条件:, 初始速度,则,体系自由振动位移时程,初始位移,当 （无阻尼）,固有频率,固有周期,无阻尼单自由度体系 自由振动为简谐振动,自振的振幅将不断衰减，直至消失,有阻尼体系,例题3-1,已知一水塔结构，可简化为单自由度体系
5、（见图）。,，,求该结构的自振周期。,解：直接由式,并采用国际单位可得:,2.方程的特解I简谐强迫振动,地面简谐运动,使体系产生简谐强迫振动,设,，代入运动方程,方程的特解（零初始条件,化简为,振幅放大系数,A 地面运动振幅,B 体系质点的振幅,）：,0.2,0.5,1,2,5,图 单自由度体系简谐地面强迫振动振幅放大系数,达到最大值,共振,2.方程的特解II冲击强迫振动,图 地面冲击运动,地面冲击运动：,对质点冲击力：,质点加速度（0dt）：,dt时刻的速度：,dt时刻的位移：,地面冲击作用后，体系不再受外界任何作用，将做自由振动,根据自由振动位移方程，可得,自由振动初速度为,图 体系自由振
6、动,地震地面运动一般为不规则往复运动,求解方法：,将地面运动分解为很多个脉冲运动,时刻的地面运动脉冲,4.方程的特解III 一般强迫振动,地面运动加速度时程曲线,引起的体系反应为：,叠加：体系在t时刻的地震反应为：,方程通解（单自由度体系）：,体系地震反应（通解）=自由振动（齐次解）+强迫振动（特解）,初位移、初速度引起 迅速衰减，可不考虑,地面运动引起,返回目录,地面运动脉冲引起的单自由度体系反应,杜哈密积分,3.3单自由度体系的水平地震作用与反应谱,一、水平地震作用的定义,单自由度体系的地震作用,单自由度体系运动方程,位移最大,F =,地震作用,求得地震作用后，即可按静力分析方法计算结构的
7、最大位移反应,质点所受最大惯性力，即,单自由度体系的地震最大绝对加速度反应与其自振周期T 的关系，记为,二、地震反应谱,地震加速度反应谱（地震反应谱）：,杜哈密积分,求导,一般结构阻尼比较小,；,得到地震反应谱,地震加速度反应谱的意义,地震（加速度）反应谱可理解为一个确定的地面运动，通过一组阻尼比 相同但自振周期各不相同的单自由度体系，所引起的各体系最大加速度反应 与相应体系自振周期间的关系曲线,T1,T1,T2,T2,T3,T3,T4,T4,T5,T5,=0,影响地震反应谱的因素：,两个影响因素：1.体系阻尼比 2.地震动,1.体系阻尼比,体系阻尼比越大,体系地震加速度反应越小 地震反应谱值
8、越小,图 阻尼比对地震反应谱的影响,2.地震动,不同的地震动将有不同的地震反应谱,地震动特性三要素 : 振幅 、频谱 、持时,地震动振幅 仅对 地震反应谱值 大小 有影响,振幅,振幅越大,地震反应谱值越大,呈线性比例关系,频谱：地面运动各种频率（周期）成分的加速度幅值的对应关系,不同场地条件下的平均反应谱,不同震中距条件下的平均反应谱,地震反应谱峰值 对应的周期也越长,场地越软,震中距越大,地震动主要频率成份越小 （或主要周期成份越长）,地震动频谱对地震反应谱的 形状 有影响,持时,对最大反应或地震反应谱影响不大,G 体系的重量；地震系数；动力系数,二、地震反应谱,设计反应谱：,地震反应谱直接
9、用于结构的抗震设计有一定的困难， 而需专门研究可供结构抗震设计用的反应谱，称之为设计反应谱,地震系数,定义：,可将地震动振幅对地震反应谱的影响分离出来,烈度每增加一度地震 系数大致增加一倍,动力系数,定义,意义：体系最大加速度的放大系数,体系最大加速度,地面最大加速度,是规则化的地震反应谱,为使动力系数能用于结构抗震设计，采取以下措施：,1.取确定的阻尼比,，因大多数实际建筑结构的阻尼比在0.05左右,考虑阻尼比对地震反应谱的影响,2.按场地、震中距将地震动记录分类,3.计算每一类地震动记录动力系数的平均值,考虑地震动频谱的影响因素,考虑类别相同的不同地震动记录地震反应谱的变异性,工程设计采用
10、的动力系数谱曲线, 特征周期，与场地条件和设计地震分组有关, 结构自振周期,衰减指数，取0.9,直线下降段斜率调整系数，取0.02,阻尼调整系数，取1.0,值：,地震影响系数,定义,图 地震影响系数谱曲线,图中,我国建筑抗震采用两阶段设计，各设计阶段的,注：括号中数值分别用于设计基本地震加速度取,和,的地区,阻尼对地震影响系数的影响,当结构阻尼比不等于0.05时，其形状参数作如下调整 ：,1.曲线下降段衰减指数的调整,2.直线下降段斜率的调整,的调整：,3.,表中值应乘以阻尼调整系数,当,取,地震作用计算,由,例题3-2,水塔结构，同例3-1。,，,位于II类场地第二组，基本烈度为7度 （地震
11、加速度为0.10g),阻尼比,求该结构多遇地震下的水平地震作用,解；查表3-3，,查表3-2，,由图3-12（地震影响系数谱曲线）,此时应考虑阻尼比对地震影响系数形状的调整。,返回目录,3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析,一、多自由度弹性体系的运动方程,图 多自由度体系的变形,在单向水平地面运动作用下，多自由度体系 的变形如图所示。 设该体系各质点的相对水平位移为xi(i=1,2,n), 其中n为体系自由度数， 则各质点所受的水平惯性力为,体系水平惯性力,其中,刚度方程：,多自由度体系无阻尼运动方程,多自由度有阻尼体系运动方程,图 多自由度体系的变形,( 各质点振幅）,二、多自由度体系的自
12、由振动,自由振动方程,不考虑阻尼的影响，体系不受外界作用，令,多自由度自由振动方程,动力特征方程,设方程的解为,关于时间t微分两次得,代入振动方程得：,由于,则须有：,自振频率,体系发生振动，,有非零解，则必有：,多自由度体系的动力特征值方程,其解由小到大排列为,为体系第i阶自由振动圆频率,一个n自由度体系，有n个自振圆频率，即有n种自由振动方式或状态,动力特征方程,例题3-3,计算仅有两个自由度体系的自由振动频率,解：由式,解上方程得：,可得：,多自由度体系以某一阶圆频率,振型,自由振动时，,将有一特定的振幅,与之相应,它们之间应满足动力特征方程,设,与,相应，用分块矩阵表达,则动力特征方程
13、,展开得,解得,（*）,（*）,将（*）代入（*），可用以复验,求解结果的正确性,由此得体系以,频率自由振动的解为,体系在自由振动过程中的形状保持不变,定义：振型,把反映体系自由振动形状的向量,称为振型,称为规则化的振型，也可简称为振型,把,也称为第i 阶振型,令,例题3-4,三层剪切型结构如图所示， 求该结构的自振圆频率和振型,解：该结构为3自由度体系，质量矩阵和刚度矩阵分别为,先由特征值方程求自振圆频率，令,得,或,由上式可解得,从而由,得,由自振周期与自振频率的关系,，可得结构的各阶自振,周期分别为,由,得,代入,校核,则第一阶振型为,同样可求得第二阶和第三阶振型为,为求第一阶振型，将,
14、代入,将各阶振型用图形表示:,第一阶振型,第二阶振型,第三阶振型,振型具有如下特征:,对于串联多质点多自由度体系，其第几阶振型，在振型图 上就有几个节点（振型曲线与体系平衡位置的交点 ),利用振型图的这一特征，可以定性判别所得振型正确与否,模型 第一振型 第二振型 第三振型 第四振型 第五振型 第六振型 第七振型,上海环球金融中心,第一振型 第二振型 第三振型 第四振型 第五振型,振型的正交性,体系动力特征方程改写为,上式对体系任意第i 阶和第j 阶频率和振型均应成立,两边左乘,式(2)两边转置,两边左乘,刚度矩阵和质量矩阵的对称性,(1),(2),(3),（1）、（3）两式相减得：,如,则,
15、(4),（4）式代入（1）式 ，得：,(5),三、地震反应分析的振型分解法,运动方程的求解,由振型的正交性，体系地震位移反应向量,称为 振型正则坐标,唯一对应，是时间的函数,与,代入多自由度体系一般有阻尼运动方程得：,将上式两边左乘,得,（1）,（2）,注意到振型关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性式，并设振型关于 阻尼矩阵也正交，即,则式（2）成为：,由,可得：,令,（3）,计算可得：,分解,n自由度体系的n 维联立运动微分方程,n个独立的关于正则坐标的单自由度体系运动微分方程,与一单自由度体系的运动方程相同,则将式（3）两边同除以,由杜哈密积分，可得式（4）的解为,（4）,其中,阻尼比为i、自斟频率为i的单自由度体系的地震位移反应,多自由度体系地震位移反应的解,多自由度体系的地震反应可通过分解为各阶振型地震反应求解，故称振型分解法,体系的第j 阶振型地震反应,阻尼矩阵的处理,振型关于下列矩阵正交：,
