《计量方法与误差理论ch4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《计量方法与误差理论ch4（153页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二部分 误差理论与数据处理,第四章 经典误差理论本章要点,随机误差的数字特征和精度指标,1,非等精度测量,2,系统误差和粗大误差,3,误差合成与分配,4,第1节 随机误差的性质和特点,多次测量，残差呈现出的规律,一、随机误差的基本特点,正负误差概率基本相等,小误差出现概率大,正负误差可相互抵消,误差不会超过一定界线,第1节 随机误差的性质和特点,理论依据：中心极限定理只要构成随机变量总和的各独立随机变量的数目足够多，而且每个随机变量对总量的影响都足够小，那么，随机变量总和的分布规律为正态分布,二. 随机误差的分布特性,古典误差理论认为：随机误差服从正态分布,第1节 随机误差的性质和特点,三、
2、正态分布及特性测量数据的概率密度函数：,真值,随机误差的概率密度函数：,误差,正态分布只能看作随机误差分布律的极限情况，若决定误差的因素有限，可能服从非正态分布。,第1节 随机误差的性质和特点,正态分布曲线在 处很特殊：拐点！,内，,曲线向下弯曲；,外，,曲线向上弯曲；,第1节 随机误差的性质和特点,更一般的求解公式：拉普拉斯函数（或称概率积分）,式中，,说明了什么？,我们可以有68.27%的把握认为测量值的误差不超出,0.6827,第1节 随机误差的性质和特点,拉普拉斯函数的变形：,思考：若测量值必须具有99%的可信度，其误差应放宽至多大？,第1节 随机误差的性质和特点,例：测量某基准电压U
3、0=10V，多次测量时的标准差为0.020V，若某次测量的结果为10.016V，问对该次测试结果有多大的把握性？若要对测试数据有99%的可信度，问测量数据应该落在哪个范围内？,第1节 随机误差的性质和特点,P=0.95( )，一般精密测量，应用广泛；,P=0.9973( )，用于较重要的科研工作和精密仪器；,P=0.9999( )，用于个别对可靠性要求特别高的科研 和精密测量工作；,第2节 随机误差的数字特性,一、随机变量的数字特征 描述随机变量分布特征的数值：随机变量的数字特征（理想化）,数学期望：位置特征,方差：分散性指标,标准差,随机变量关于其数学期望的偏离程度比其他任何值的偏离程度都小
4、。如果x是测量值，那么Ex就是该被测量值最可信赖的值（或称概然值）,数字特征如何估计？,第2节 随机误差的数字特性,二、数学期望的估计（算术平均值）,要求估计值在参考量附近摆动，作为无偏估计，就要证明估计值的数学期望正好等于未知量（真值）,解决了有限次等精度测量中，如何估计被测量真值的问题,第2节 随机误差的数字特性,三、标准偏差及其估计（标准差或方均根误差）,例：两组测量值,平均值都是20.0000， 但是第II 组更分散,衡量的指标：标准差,第2节 随机误差的数字特性,1、标准差的估计 贝赛尔公式,第2节 随机误差的数字特性,贝赛尔公式,即,贝赛尔公式估算条件：测量次数n比较大,就是 的无
5、偏估计,第2节 随机误差的数字特性,2、标准偏差的其他估算方法,1）别捷尔斯法（Peters）,第2节 随机误差的数字特性,第2节 随机误差的数字特性,贝塞尔公式和别捷尔斯公式均需要求 ，再求 ，复杂！,第2节 随机误差的数字特性,2） 极差法, nxmax - xmin,根据极差得分布函数，可以求出数学期望：,dn可查表得到，与测量次数有关：测量的次数越多，n大的概率高，故dn应大。极差法可简单迅速算出标准差，n10时适用。,第2节 随机误差的数字特性,例：,表1,第2节 随机误差的数字特性,3) 最大误差法,查表,真值未知时,第2节 随机误差的数字特性,例：表1为例,第2节 随机误差的数字
6、特性,3、四种计算方法的优缺点, 别捷尔斯公式最早用于前苏联列宁格勒附近的普尔科夫天文台，它的计算速度较快，但计算精度较低，计算误差为贝氏公式的1.07倍；, 用极差法计算，非常迅速方便，可用来作为校对公式，当n10时可用来计算，此时计算精度高于贝氏公式；, 用最大误差法计算更为简捷，容易掌握，当n10以后， 的减小很慢。此外，由于增加测量次数难以保证测量条件的恒定，从而引入新的误差，因此一般情况下取n=10以内较为适宜。总之，提高测量精度，应采取适当精度的仪器，选取适当的测量次数。,多次测量的算数平均值的标准差：,第4节 多次测量结果的精度指标,例： 用游标卡尺对某一尺寸测量10次，假定已消
7、除系统误差和粗大误差，得到数据如下(单位为mm)：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.08 。求算术平均值及其标准差。,解：,第4节 多次测量结果的精度指标,二、算数平均值的置信度,1. 一般表达式,一般写成几倍于 标准差的形式,两种求解方法！,这是一般的式子，和正态分布无联系,即置信概率,第4节 多次测量结果的精度指标,2. 测量次数n较多时（通常n20）,拉普拉斯函数求解法！,第4节 多次测量结果的精度指标,例：测量某量值25次，得,。若要求置信概率,，,，求测量结果。,0.95,0.002mm,查表t=1.96,误差限：,
8、测量结果：,第4节 多次测量结果的精度指标,3. 测量次数n较少时t分布求解,当测量次数n较少时：,不服从正态分布，而是服从自由度n-1的t分布,(伽玛函数),t 分布数字特征：,第4节 多次测量结果的精度指标,当自由度趋向于无穷大时，t分布就是标准的正态分布。实际上在测量次数足够大（n20）,可以近似用正态分布代替。,第4节 多次测量结果的精度指标,利用t分布求解置信度的方法(测量次数较少时)：,第4节 多次测量结果的精度指标,例：测量某量值5次，得,。若要求置信概率,，,，求测量结果。,0.05,0.005mm,查t分布表ta=2.78,误差限：,测量结果：,说明,第4节 多次测量结果的精
9、度指标,t分布在数理统计中称为小子样分布。在精密测量中，测量次数很少有超过20次的，因此，在理论上应按t分布来计算相应的误差限；只有在测量次数较多（n20）的情况时，或其测量量不甚重要时，才可近似应用正态分布的理论来处理。事实上，当n无限增大时，t分布曲线和正态分布曲线基本重合，即按两个分布理论来处理测量数据，所得的结果差异是极小的。,第4节 多次测量结果的精度指标,三、算数平均值的精度指标（常用的有4个）,1、标准差：,2、平均误差T：,3、几率误差R：,4、极限误差：,估计的精度问题,第5节 非等精度测量,一、什么是非等精度测量,测量条件（人员、方法、测量次数、环境条件等）部分或者全部改变
10、，导致测量的精度和可信赖程度不一样。这种测量称为非等精度测量。,客观上，由于条件限制，所有的测量都是非等精度测量。但是条件差别不大的测量，一般都当成等精度处理。,等精度测量特点：具有同一标准差,第5节 非等精度测量,1、多组重复测量，仅测量次数不一样；,思考：单次测量精度是否一样？多次测量精度是否一样？,2、多组重复测量，改变不同组之间单次测量的精度（更一般情形）；,思考：单次测量精度是否一样？多次测量精度是否一样？,第5节 非等精度测量,在一些重要的测量中，往往有意要采用非等精度测量以获取更精确的测量结果。通常有两种情况：,（1）用不同的测量次数进行对比测量：,（2）用不同精度的仪器进行对比
11、测量：互比核对目的。,如何确定不等精度测量的最终结果？,第5节 非等精度测量,用三种方法测量某未知频率如下,求被测频率的数值。,第5节 非等精度测量,二、“权”的概念和加权平均,1. “权”的概念,“权”可以理解为各组测量结果相对的可信赖程度，测量结果越可靠，其“权”越大，即可靠性越大的测量结果在最后结果中所占的比重越大。,例：对于两组重复测量，,第5节 非等精度测量,2. “权”的确定（权与方差的关系）,显然：方差越大，测量结果越不可靠，权应该越小。,以多组重复测量为例，测量次数决定权值，即,第5节 非等精度测量,权与方差成反比！权表示相对可靠程度，是一个无量纲的数，允许给各组的权数同时增大
12、或者减小若干倍，而比例关系不变。,以上推导为单次测量精度相等情况，如何得到更一般的情形？,第5节 非等精度测量,3. 加权平均（一般情况下的推导）,设,则这些误差同时出现的概率为：,利用最大似然估计法：,等价于,仅一个测量列 每次精度不同,第5节 非等精度测量,对EX进行微分，并令其等于0：,第5节 非等精度测量,更一般的加权平均表达式：,对于多组重复测量亦有上述结论：,第5节 非等精度测量,例：用三种方法测量某未知频率如下,求被测频率的数值。,解：,精度如何？,第5节 非等精度测量,三、加权平均的精度参数,1. 根据测量数据的标准差求解（一般情况）,第5节 非等精度测量,例：用普通仪表和高精
13、度仪表测电压如下,求被测量电压的数值及精度（均方差）。,解：,若单次测量精度未知时如何处理？,第5节 非等精度测量,2. 根据“权”求解（不知单次测量精度时）,（问题：转化成单次测量精度相同）,假设进行m组测量，各组测量次数为,单次测量权为1,第5节 非等精度测量,（1）单位权概念,假设进行m组测量，各组测量次数为,P=1 单位权,注：这里的单位权考虑的单次精度相同，仅测量次数不同的情况。 （组内等精度，组间非等精度）,第5节 非等精度测量,定义：值为1的权称为单位权，具有同一方差 的等精度单次测得值的权数为1。即 为具有单位权的测得值方差。,思考：如何根据单位权求加权平均值精度？,单位化权值！,第5节 非等精度测量,（2）单位化权,单位化权的实质：任何一个测量值乘以自身权数的平方根，得到新的量值的权数为1,证明：,令：,取方差：,单位权化以后得到的新值的权数为1！,
