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1、第二节,二、反函数的求导法则,三、复合函数求导法则,四、初等函数的求导问题,一、四则运算求导法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的求导法则,第二章,思路:,( 构造性定义 ),求导法则,其它基本初等函数求导公式,证明中利用了 两个重要极限,初等函数求导问题,本节内容,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、四则运算求导法则,定理1.,的和、,差、,积、,商 (除分母为 0的点外),都在点 x 可导,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,此法则可推广到任意有限项的情形.,证:,设, 则,故结论成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,(2),证: 设,则有,故结论成立.,推论
2、:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,( C为常数 ),例1.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3),证: 设,则有,故结论成立.,推论:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,( C为常数 ),例2. 求证,证:,类似可证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、反函数的求导法则,定理2.,y 的某邻域内单调可导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注,与,的图像是同一条曲线；,又,故,定理2.,y 的某邻域内单调可导,证,在 x 处给增量,由反函数的单调性知,且由反函数的连续性知,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求,解: 1) 由,则, 则,机动 目录 上页
3、 下页 返回 结束,2) 由,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,又,所以,即,(3) 由,则,小结:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在点 x 可导,三、复合函数求导法则,定理3.,在点,可导,复合函数,且,在点 x 可导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,此法则可推广到多个中间变量的情形.,注,例,在点 x 可导,定理3.,在点,可导,复合函数,且,在点 x 可导,证,在点 u 可导,故,（当 时 ),故有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 求下列导数:,解: (1),(2),(3),说明: 类似可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 设,求,解:,思考: 若
4、,存在 , 如何求,的导数?,练习: 设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 设,解:,记,则,(反双曲正弦),其它反双曲函数的导数见 P94例16.,的反函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1 设,求,解: 方法1 利用导数定义.,方法2 利用求导公式.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考：,设,对任意的,有,且,求,下述解法是否正确？,解,由,两边求导得,故,错误！,题的条件并未有,对任意的,均可导的条件。,正解,由,得,故,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、初等函数的求导问题,1. 常数和基本初等函数的导数,2. 有
5、限次四则运算的求导法则,( C为常数 ),3. 复合函数求导法则,4. 初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.,求,解:,例8.,设,解:,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9.,求,解:,关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10. 设,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11. 设,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注:,幂指函数处理方式,内容小结,求导公式及求导法则,注意: 1),2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .,1.,思考与练习,对吗?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 设,其中,在,因,故,阅读 L.P 51 例1,正确解法:,时, 下列做法是否正确?,在求,处连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 求下列函数的导数,解: (1),(2),或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题 1. 设,解：,2 . 设,解:,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
