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1、,现代设计方法概论 有限元法部分中北大学 张保成,现代设计方法概论课程教案,第2章 有限元法,1、掌握小位移弹性理论基本方程与力学原理 2、掌握平面问题有限元方法。 3、掌握轴对称问题有限元方法。 4、理解等参数单元的概念和特性。,第一节 有限元法的概念与基本思想第二节 弹性力学的基本方程与力学原理第三节 平面问题有限元法第四节 轴对称问题有限元法第五节 等参数单元,本 章 内 容,目 的,现代设计方法概论课程教案,第一节 有限元法的概念与基本思想,现代设计方法概论课程教案,有限元法的基本思路,（1）建立数学模型，包括确定基本变量、导出基本方程、确定求解域和边界条件等。（2）将作为求解域的连续
2、体结构离散为若干个单元，并通过这些单元边界上的节点相互联结成为外形不变的单元组合体。,有限元法的基本思路,二维多连通域的有限元离散模型,有限元法的基本思路,（3）对于二维平面问题而言，每个单元节点处都有x方向和y方向两个位移分量，单元上非节点处的位移通过线性插值给定。 节点位移分已知和未知两类，已知位移的节点都位于位移已确定的边界段上，通过剔除已知节点位移，使有限元求解线性方程组具有惟一解，解之即得所有节点的位移，再利用位移与应变和应力之间的关系，就可求得个单元应力。,第二节 弹性力学的基本方程与力学原理,现代设计方法概论课程教案,2.2 弹性力学基本方程,2.2.1 平衡微分方程,在点 P
3、附近取一微元体，如图所示，,P 点的应力为：,体力分量为：,由微元体的平衡条件建立平衡微分方程。,将上式同除以 dxdydz，化简得：,同理，由：,得到 x、y 方向的平衡微分方程。,另外由三个方向轴的力矩平衡：, 剪应力互等定理,可得到：,最后，得到微元体的平衡微分方程为：,空间问题的平衡微分方程为：,2.2 弹性力学基本方程,2.2.2 几何方程 平面问题的几何方程也就是寻出应变分量与位移分量之间的关系式。 经过弹性体内的任意一点P，沿x轴和y轴的方向取两个微小长度的线段PA=dx和PB=dy。 弹性体受力后，P、A、B分别移动到P、A、B。,2.2 弹性力学基本方程,结构体的位移和应变,
4、2.2 弹性力学基本方程,首先来求出线段PA和 PB的正应变，即x和y，用位移分量来表示。 设P点在x方向的位移分量是u，则A点在x方向的位移分量由于x坐标的改变dx，将是,2.2 弹性力学基本方程,可见线段PA的正应变是（a）,2.2 弹性力学基本方程,同样，设P点在y方向的位移分量是v，则B点在y方向的位移分量由于y坐标的改变量dy，将是,2.2 弹性力学基本方程,则线段PB的正应变是（b）,2.2 弹性力学基本方程,现在来求出线段PA和PB之间的直角的改变，即剪应变xy，用位移分量u和v来表示。 由图可见，这个剪应变是由两部分组成的：一部分是由y方向移分v引起的，即x方向的线段PA的转角
5、；另一部分是由x方向移分u引起的，即y方向线段PB的转角。,2.2 弹性力学基本方程,设P点在y方向的位移分量是v，则A点在y方向的位移分量将是,2.2 弹性力学基本方程,因此线段PA的转角是,2.2 弹性力学基本方程,同样，可得线段PB的转角是,2.2 弹性力学基本方程,可见，PA与PB之间的直角的改变（以减小时为正），也就是应变xy为（c）,2.2 弹性力学基本方程,综合（a）、（b）、（c）三式，得出平面问题中表明应变分量与位移分量之间的关系式，即几何方程为,2.2 弹性力学基本方程,由上列几何方程可见，当物体的位移分量完全确定时（表示成x和y的确定函数时），应变分量即完全确定。 反之，
6、当应变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定，因为刚体位移是位移函数的常数项，不出现在微分形式的应变分量中。,2.2.2 几何方程,几何方程,设任一点 P 的位移为：u 、v 、w ，考察 P 点邻近线段 dx 、dy 、dz 的伸缩变形及夹角的改变。,类似于平面情形的分析推导，有,2.2.3 物理方程,物理方程, 材料的本构关系：,建立材料的应力与应变关系。,讨论前题：,弹性小变形。,1. 物理方程的一般形式,材料的应力与应变关系一般由实验得到，最早的实验由虎克（Hooke,R.）的金属丝拉伸实验。,一般情况下，材料的应力与应变呈某一函数关系，可表示为：,当式中的自变量： x、y、z、 yz
7、 、 zx 、 xy 为小量时，可对其按Taylor级数展开，并略去二阶以上小量，如第一式，有,2. 各向同性体广义虎克（Hooke）定律的各种形式,（1）一般形式（基本形式）, 空间问题物理方程的基本形式,2.2.4. 空间问题基本方程总结,空间问题的基本未知量：, 6个应力分量；, 6个形变分量；, 3个位移分量；, 共有15个基本未知量。,空间问题的基本未知量：, 6个应力分量；, 6个形变分量；, 3个位移分量；, 共有15个基本未知量。,空间问题的基本方程：,（1）平衡微分方程,用张量表示：,（包含3个方程）,2.2.4. 空间问题基本方程总结,（2）几何方程,张量表示：,（i ，j
8、 = 1，2，3）,（几何方程包含6个方程）,（3）物理方程,（3）物理方程,张量表示：,式中：E 为材料的弹性模量； 为泊松比。,（物理方程包含6个方程）,（4）边界条件,应力边界条件：,位移边界条件：,位移单值条件、应力有限条件。,第三节 弹性力学平面有限元法,本节以三角形单元作为典型，讨论如何建立单元位移函数，以及如何建立有限元求解方程的问题。,2.3 单元刚度矩阵和结构整体刚度矩阵,将一个二维域离散成有限个三角形单元，如图所示.二维域离散 在边界上以若干段直线近似原来的曲线边界，随着单元增多，这种拟合将趋于精确。,2.3.1 单元位移函数,首先，建立xy坐标系，以三角形单元为研究对象，
9、其节点编码为i，j，m，并规定以逆时针方向编码为正向，每个节点可以有2个位移分量（ui，vi；uj，vj；um，vm），也称为具有2个节点自由度，如下图所示。,2.3.1 单元位移函数,3节点三角形单元,2.3.1 单元位移函数,每个节点的位移分量还可以向量（列矩阵）形式表示，即每个单元共有6个节点位移，即6个节点自由度，统一写成矩阵形式为,（1）广义坐标,单元的位移函数用于描述单元上任一点的位移。 可以考虑采用多项式作为近似位移函数，多项式函数运算简便，且随其项数的增多，理论上可以逼近任何精确函数。 3节点三角形单元近似位移函数一般选取一次多项式，即将单元上任意点（x，y）的位移近似描述为该
10、点坐标x和y的线性函数,（1）广义坐标,式中 16广义坐标。 整理为矩阵形式，即有,（1）广义坐标,代入节点i、j和m的坐标（xi，yi）、（xj，yj）和（xm，ym），可得到节点i、j和m在x、y方向的位移为,（1）广义坐标,由于三个节点i、j和m的位置坐标（xi，yi）、（xj，yj）和（xm，ym）在单元划分工作完成后为已知常量，则上式成为求解广义坐标16的线性方程组，两方程组的系数行列式均为A是三角形单元的面积。,（1）广义坐标,运用Gramer法则解这个线性方程组，就可以得到由节点位移ui、uj和um表示的广义坐标13为,（1）广义坐标,其中为系数行列式D按第一行展开的代数余子式，
11、式中符号（i，j，m）表示下标轮换，用来概括按第二、三行展开求取a j 、bj、 c j和am 、bm、 cm的通用途径，即（ij，jm，mi）。,（1）广义坐标,同理，利用3个节点y方向的位移，可求得广义坐标从此便以节点位移和节点坐标来代替了。,（2）形函数,将求得的广义坐标16代入中，可将位移函数表示成节点位移的函数，即,（2）形函数,其中Ni，Nj，Nm称为单元的形函数，是坐标x和y的线性函数。 任意点（x，y）的位移函数可表示为矩阵形式，即,N称为形函数矩阵，q e为单元节点位移列阵。,2.3.2 单元位移形函数矩阵,形函数N具有如下性质。 在节点上，形函数值为即有 Ni（xi，yi）
12、=1，Ni（xj，yj）=Ni（xm，ym）=0，也就是说，在i节点上Ni=1，在 j，m节点上Ni=0。,2.3.2 单元位移形函数矩阵,在单元中任一点上，各形函数之和应等于1，即作为说明，设想使单元发生例如x方向的刚体位移u。，则在单元内（包括节点）到处都应有相同位移u。，即 ui = uj = um = u。 又由,2.3.2 单元位移形函数矩阵,因此必然要求单元各节点位移形函数之和等于1的性质称为规一性。,2.3.2 单元位移形函数矩阵,单元形函数是线性的，则单元内部及单元的边界上位移也就是线性的，可由已知节点位移值惟一地确定。 由于相邻单元公共节点的节点位移是相等的，因此保证了相邻单
13、元在公共边界上位移的连续性。,2.3.3 应变矩阵和应力矩阵,确定了单元位移后，可以利用几何方程和物理方程求得单元的应变和应力。 为此，将单元位移代入几何方程式中，得到单元应变为,2.3.3 应变矩阵和应力矩阵,式中 L平面问题的微分算子矩阵； B应变矩阵，B的分块子矩阵是,2.3.3 应变矩阵和应力矩阵,对Ni求导可得代入Bi式中，得到,2.3.3 应变矩阵和应力矩阵,3节点单元的应变矩阵是式中：bi，bj，bm，ci，cj，cm都是常量，因此B是常量矩阵。 当单元的节点位移q e确定后，由B转换求得的单元应变都是常量，单元各点具有同样的x、y及xy值，3节点三角形单元也称为常应变单元。,2
14、.3.3 应变矩阵和应力矩阵,因此，在应变梯度较大（即应力梯度较大）的部位，单元划分应适当密集，否则将不能反映应变的真实变化而导致较大的误差。 单元应力可以根据物理方程求得，即在前面物理方程中代入式，可以得到,2.3.3 应变矩阵和应力矩阵,其中S称为应力矩阵。 将弹性矩阵D及矩阵B代入上式，可以得到计算平面应力问题的单元应力矩阵。,2.3.3 应变矩阵和应力矩阵,S的分块矩阵为与应变矩阵B相同，应力矩阵S也是常量阵，即3节点单元中各点的应力是相同的。,单元刚度矩阵及其特性 单元刚度矩阵（单刚）,2.3.4 单元刚度矩阵,单刚的力学意义 对角元素 的力学意义为：使单元第i个自由度（位移分量）产
15、生单位位移而其它位移分量均为零时需要在该自由度上所施加的力。 非对角元素 的力学意义为：使单元第j个自由度（位移分量）产生单位位移而其它位移分量均为零时第i个自由度上所产生的力。,(1,2),(3,4),(5,6),自由度 编号,不动,1方向单位位移,这里（1方向） 要加多大的力,(1,2),(3,4),(5,6),1方向单位位移,不动,这里（5方向） 要加多大的力,单刚的特性 单元刚度矩阵与位移模式有关 单元刚度矩阵与单元形状、大小和方位有关 单元刚度矩阵与单元的位置无关 单元刚度矩阵是对称矩阵刚度矩阵是奇异矩阵,不存在逆矩阵,通过对弹性体离散化总位能中的单元刚度矩阵和结点等效载荷列阵实行尺寸扩充变换，增加其阶数和行数，就可形成一个简洁非离散形式的总位能表达式，而且总位能p值保持不变。平面三角形三结点单元的刚度矩阵为6阶矩阵，结点等效载荷列阵为6行列阵，这与单元三结点共有23=6个位移相对应，也就是说，单元刚度矩阵的阶数和结点等效载荷列阵的行数要与单元结点位移数相等。,2.3.5 结构整体刚度矩阵,结构整体刚度矩阵,同样，具有n个离散结点的平面弹性体的总刚度矩阵是一个2n阶的矩阵。因此，其单元刚度矩阵和结点等效载荷列阵分别要扩充为2n阶和2n行。以图所示的有5个结点和3个单元的弹性平板受集中力p作用情况为例，说明尺寸扩充的具体做法。,
