《高数第二篇线性代数 第2章 随机变量的概率分布与数字特征》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数第二篇线性代数 第2章 随机变量的概率分布与数字特征（63页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 随机变量的概率分布 与数字特征,第一节 离散型随机变量及其概率分布第二节 连续型随机变量及其概率分布第三节 随机变量的数字特征第四节 三种重要分布的渐近关系第五节 大数定律及中心极限定理,一、随机变量的概念,在第一章，我们介绍了随机事件及其概率，可以 看到很多事件都可采取数值标识。如抽检产品时出现 的废品个数；掷骰子出现的点数等。对那些非数值标识的事件，实际上也可人为地加以 数值标识。例如，对新生儿的性别，可用0表示女，1 表示男；对生化检验的结果，可用0表示阴性，1表示 阳性；对生产的产品，可用2表示优质品，1表示次品， 0表示废品等。,因此，随机试验的结果可用一个变量来表示，这种
2、随试验结果不同取不同数值的变量称为随机变量。,二、离散型随机变量及其概率分布,1、定义：按一定概率取有限个或可列个值的 随机变量，称为离散型随机变量。,设X所有可能取值为,（i=1,2,),称为离散型随机变量X的概率函数或分布律。,也可用表格来表示（称为概率分布表或分布列）,2、概率函数(分布律),X,性质：（1）（2）,（i=1,2,）,例 设随机变量X的分布律为 （k=1,2,3,4,5) ,求: (1) P(X=1或X=2） (2),解 （1） P(X=1或X=2）=P（X=1）+P(X=2),=1/15+2/15=1/5,（2） =P(X=1)+P(X=2)+P(X=3),=1/15+
3、2/15+3/15=2/5,三、离散型变量的几种常见分布,1、伯努利概型,试验只有两种可能结果：A 及 ， 把这个试验独立重复n次， 就构成了n重伯努利试验，简称伯努利试验。 设P（A）=p =1p=q（其中0p1)，,例1 某药治某病的治愈率为p，现用此药治该病5例，问治愈3例的概率是多少？,例2 袋中装有白球20个和黑球10个，每次抽一个： （1）作有放回抽取5次，求抽到白球3次的概率； （2）作无放回抽取5次，求抽到白球3次的概率。,解 治5例病人，看成做5次独立的试验。每次试验只有A=治愈 和 =未治愈两个结果。且P(A)=p,则这个试验是5重的伯努利试验,设B=治愈3例=A出现3次,
4、所以,解 （1）有放回抽球，可看成每次试验是独立的， 属于伯努利试验，令A=抽到白球且P（A）=2/3,故,（2）无放回抽球，说明每次试验间不独立，因此 不属伯努利试验，应看成古典概型。,无放回抽5次，可看成一次抽5个球，由古 典公式得,2、二项分布,（1）若随机变量X的概率函数为,（k=0,1,n)，q=1-p,(2)性质,则称X服从二项分布,记为,由于各概率函数值 正好是二项式 展开式中的对应各项,故名二项分布。,例3 设 ，求P（X=4）,P(2X0.5时，不能直接查表 但可以转化为其对立事件的概率计算。,设X代表A出现次数，Y代表 出现次数，则 X+Y=n且,例4 XB（10，0.7)
5、，求,解,（3）二项分布的最可能值：使P（X=k)取最大值的k值。即n重伯努利试验中事件A最可能出现的次数。,例5 有10%的人对某药有肠道反应，为考察此药 的质量，现随机选5人服用此药，试求： （1）其中k(k=0,1,5)个人有反应的概率； （2）不多于2人有反应的概率； （3）有人有反应的概率。,解：随机选5人服药，各人间对药物的反应具有独立 性，且每人服药后有反应的概率均为视为0.1，这相当 于做5次独立重复试验，即p=0.1,n=5的伯努利试验。 因而反应的人数XB（5，0.1),概率分布表如下,(2)不多于2人有反应的概率为,(3)有人有反应的概率为,3、泊松分布(稀有事件模型),
6、在很多实际问题中，n重伯努利试验中的n往往 很大，p很小，则试验结果A出现的次数X，可看成 泊松分布。,正是因为结果A在n次试验中出现的次数非常少，故A可看作稀有事件。,（k=0,1,2.)其中参数,（1）概率函数,（2）性质,服从泊松分布的随机变量在实际中是很多的， 例如三胞胎出生次数，癌症发病人数，放射的粒子 个数，特大洪水发生的年数，抽检大量产品中出现 次品的件数，等等。,（3）泊松定理 在n重伯努利试验中，事件A 在一次试验中出现的概率为p。若 ， np也较小，则令 =np有 （k=0,1,2,),从定理也可看出，事件A发生的次数X若服从参数 为 的泊松分布，则 表示A在大量试验中发生
7、的 平均次数。,例6 已知某厂生产的针剂的废品率为0.01，400支 针剂中，废品至少有5支以上的概率是多少？,解：设400支针剂中废品数为X，检查400支针剂看 成做400次独立重复试验，即n=400;每次试验结果 为废品或正品，抽到废品的概率即p=0.01,则XB（400，0.01），可近似看成泊松分布,例7 某人在一次试验中遇到危险的概率是1%， 如果他在一年里每天都要独立重复做一次这样的 试验，那么他在一年中至少遇到一次危险的概率 是多少？,解：此人做的试验可看成伯努利试验,n=365,每次 试验遇到危险的概率p=0.01,设他在一年中遇到危险的次数为X，则XB(365,0.01),因
8、为n很大，p较小，可近似看成泊松分布,4、两点分布（01分布）,（k=0,1),可以看出，两点分布即为二项 分布中n=1的特殊情况。,例8 一批产品共100件，其中有95件正品，5件废品， 从中任取一件，观察产品质量.若其结果用随机变量 X来描述，求X的概率函数。,解：设抽到正品，X=1；抽到废品，X=0,则X的分布律为,5、几何分布,（k=1,2,),引例 进行重复独立实验，设每次成功的概率为p, 将实验进行到出现一次成功为止，以X表示所需 实验的总次数，求X的分布律。,6、超几何分布,引例 设有N件产品，其中有M件正品，现任取n件，求n件中恰有k件正品的概率。（以X表示n件中的正品数）,k
9、=0,1,2,l,其中l=Min(M,n),四、分布函数,1、定义： 设X是一随机变量，x为任意实数，则称函数 为X的分布函数。,2、性质,F(x)在间断点处右连续，即,F(x)单调不减,3、常用公式,由此看出，已知X的分布函数就可知X在任一范围 内取值的概率，这说明分布函数全面地描述了 随机变量的分布情况。,4、离散型随机变量的分布函数,例 设某药检所从送检的药品中先后抽3件，如果 送检的10件中有2件失效，试列出检得次品数的 概率分布表，并求出分布函数。,（分段函数）,解 检得次品数为随机变量，设为X，则X的可取值为 0，1，2 ，由古典概率计算得,X的分布函数为,当x2时，,=1,（2）
10、,或,或,二、连续型随机变量的几种常见分布,1、正态分布,(1)分布形式,(2)图形与性质,特点是“两头小，中间大，左右对称”.,正态分布的密度曲线是一条 关于 对称的钟形曲线. x轴是f(x)的渐近线,可见 决定了图形的中心位置，称为位置参数； 决定了图形中峰的陡峭程度，称为形状参数.,左图 不变,右图 不变,（3）标准正态分布,标准正态分布函数,重要公式：,若 ，则,XN(0,1),例1 设XN（0,1)，求： （1） ； （2） （3）,解 （1）,查表得0.02275,（2）,=0.02275,（3）,例2 设XN（2，4），求： （1）f(5) (2)P(-4X2),解 由已知得 ，
11、,（1）,（2）,例3 设 ，求,（1）,（2）,解 （1）,（2）,这个结果说明在一次试验中，服从正态分布的随机 变量X落在区间 内的概率相当大，即 X几乎必然落在上述区间内，这就是通常所说的“ ” 原理。,2、均匀分布,XUa,b,这说明X落在子区间的概率只与子区间的长度有关， 与子区间的位置无关。,（1）形式,设（c,c+l)是a,b上的一个子区间，则,（2）分布函数,3、对数正态分布,若 ，则称X服从对数正态分布。,4、韦布尔分布、指数分布,5、 分布,一、均数（数学期望）,引例 设有一批药材是由三个等级的药材组成，现 观察它的等级X。若有放回地抽取10件，其中有5件1等、 3件2等、
12、2件3等，则所取的10件产品的平均等级是多少？,解 X的所有取值为1,2,3，10件产品的平均等级为,将上式改写成,这种把每个等级与相应的频率乘积的和，称为1,2,3 分别以5/10,3/10,2/10为权的加权平均。,我们知道，如果再抽取10件，平均等级就不一定 是1.7等了，可见由于抽样不同，抽样的平均等级也 不同，它是一个随机变量。但是，随着试验（抽取 药材）的次数增大，出现1,2,3等品的频率就会逐渐 稳定在稳定在各自的概率附近。,设 表示第i（i=1,2,3)等药材出现的概率，则整 批药材的平均等级为,我们称这种加权平均值为均数，也叫数学期望。,1、离散型随机变量的均数,设离散型随机变量X的概率函数为,（i=1,2,3,),则规定X的均数,均数是反映随机变量取值的集中 趋势的一个数字特征。,解 ：,2、连续型随机变量的均数,设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，则规定X 的均数为,例2 求在a,b上服从均匀分布的随机变量X的均数 EX。,解 依题意有,由定义得,3、常见分布的均数,（2）若XB（n,p)，则EX=np,（3）若 ，则,（4）若XUa,b，则,（5）若 ，则,
