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1、第二章 解析函数,1. 复变函数的定义2. 映射的概念3. 反函数或逆映射,复变函数的概念,2.1 复变函数的概念、极限与连续性,1. 复变函数的定义,与实变函数定义相类似,定义2.1设E是复平面上的点集, 若对任何z=x+iyE, 都存在一个或几个复数w=u+iv和z对应, 则称在 E上确定了一个复变函数，用w=f (z)表示.,E 称为该函数的定义域.,该函数的值域为：,例1,例2,实部等于实部虚部等于虚部,在几何上， w=f(z)可以看作：,2. 映射的概念,复变函数的几何意义,以下不再区分函数与映射（变换）。,在复变函数中用两个复平面上点集之间的对应关系来表达两对变量 u，v 与 x，
2、y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变函数问题时，可借助于几何直观.,复变函数的几何意义是一个映射（变换）,例3,解,关于实轴对称的一个映射,见图1-11-2,旋转变换(映射),见图2,例4,解,图1-1,图1-2,图2,例5,3. 反函数或逆映射,例 设 z=w2 则称 为z=w2的反函数或逆映射,为多值函数,2支.,定义 设 w =f (z) 的定义集合为E，函数值集合为G，那么,1. 函数的极限2. 相关定理3.函数的连续性,复变函数的极限与连续性,定义2.2 设复变函数w=f(z)在z0的某个去心 邻域内有定义, A是复常数. 若对任意给定的e 0, 存在d 0, 使得对一切满足0|
3、z-z0|d 的z , 都有,成立, 则称当z趋于z0时, f(z)以A为极限，并记做,或,注意: 定义中zz0的方式是任意的.,复变函数的极限,几何意义,几何意义: 当变点z一旦进 入z0 的充分小去 心邻域时,它的象 点f(z)就落入A的 一个预先给定的 邻域中,相关定理,复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：,定理2.1,定理2.2,以上定理用极限定义证!,例1,例2,例3,函数的连续性,定义2.3,例4 证明f (z)=argz在原点及负实轴上不连续。,证明,定理2.3 连续函数的和、差、积、商 (分母不为0) 仍为连续函数;定理2.4 连续函数的复合函数仍为连续函数。,有界性：,2.
4、2 解析函数的概念,一、复变函数的导数,1、 导数的定义,定义2.4 设 是定义在区域D上的,存在，则称 在 点可导, 并把这个极,限值称为 在 点的导数，记做,复变函数, z0是区域D内的定点. 若极限,定义中的极限式可以写为,即当 在 点可导时,此时，对D内任意一点z, 有,也可用,等表示 在z点的导数.,若 在区域 D内每一点都可导, 则称,在区域 D内可导.,处处可导，且,解 因为,所以,连续，但处处不可导.,证明 对复平面内任意点z, 有,故,但是,设 沿着平行于x 轴的,方向趋向于 0, 即,于是,不存在.,设 沿着平行于y 轴的方向趋向于 0, 即,2、 可导与连续的关系,函数f
5、 (z)在z0处可导，则在z0处一定连续, 但 函数f (z)在z0处连续不一定在z0处可导.,事实上,由 f (z)在z0点可导, 必有,反之, 由 知, 不可导.,但是二元实函数 连续,于是根据 知, 函数 连续.,3、求导法则,由于复变函数中导数的定义与一元实函数 导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函 数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而 实函数中的求导法则可推广到复变函数中，且 证明方法相同.,求导公式与法则:,其中,是两个互为反函数的单值函数, 且,二、 解析函数,定义2.5 在区域D内有定义.,(1) 设 , 若存在 的一个邻域，使得,在此邻域内处处可导, 则称 在 处解析
6、,也称 是 的解析点.,(2) 若 在区域D内每一点都解析，则称,在区域D内解析, 或者称 是区域D内的,解析函数.,(3) 设G是一个区域，若闭区域,且 在G内解析，则称 在闭区域 上,解析.,函数 在 处解析和在 处可导意义,不同，前者指的是在 的某一邻域内可导,但后者只要求在 处可导.,函数 在 处解析和在 的某一个邻,域内解析意义相同.,复变函数在区域内解析与在该区域内可导 是等价的.,事实上，复变函数在区域内解析显然在该 区域内可导.,反之, 设函数 在区域D内可导, 则对,任意 存在z的某一个邻域U, 使得U D,由 在D内可导, 可知 在U内可导, 即,在z处解析.,若函数 在
7、处不解析，则称 是,的奇点. 若 是 的奇点, 但在 的某邻域内,除 外, 没有其他的奇点，则称 是函数,的孤立奇点.,由例1和例2知, 函数 是全,平面内的解析函数，但是函数,是处处不解析的连续函数.,根据求导法则，很容易得到下面的结论.,定理2.6 设函数 在区域D内解析, 则,也在D内解析. 当 时, 是,的解析点. 特别地, 多项式P(z)在全平面内解析,有理分式在复平面内除分母为零的点之外解析,分母为零的点是有理分式的孤立奇点.,例3 证明 在 处可导,但处处不解析.,证明: 根据导数的定义,因此 在 处可导，且,当 时, 由 得,故,z分别从平行于x, y轴方向趋于z0时， 分别,
8、以1和-1为极限，因此 不存在. 又因为,所以 不存在，即,在 时不可导, 从而在复平面内处处不解析.,2.3 复函数可导与解析的充要条件,如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定义域 D内处处可导，则函数 w = f (z) 在 D内解析。,本节从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性，探求 函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的 一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。,问题 如何判断函数的解析性呢？,一. 解析函数的充要条件,定义2.6 对于二元实函数u(x, y)和v(x, y)，方程称为柯西-黎曼方程(简称C
9、-R方程).,定理2.7 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在区域D内有定义，则 f (z)在点 z=x+iy D处可导的充要条件是 （1）u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微； （2）u(x, y) ， v(x, y) 在点 (x, y )满足柯西-黎曼方程,上述条件满足时，有,由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出导数来.,利用该定理可以判断那些函数是不可导的.,定理2.7的证明略。由解析函数的定义2.5及定理2.7，我们可以得到定理2.8.,定理2.8 函数f (z)=u(x, y)+i
10、v(x, y)在区域D内解 析的充要条件是 （1）u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微 （2）u(x, y) 和 v(x, y)在D内满足柯西-黎曼方程,解析函数的判定方法:,(1) 如果能够用求导公式或求导法则验证复 变函数f (z)的导数在区域D内处处存在, 则可直 接断定f (z) 在区域D内解析.,(2) 如果复变函数f (z)=u(x,y)+iv(x,y)中的函 数 u(x,y)和 v(x,y)在区域D内各个一阶偏导数连 续 (因而u(x,y)和v(x,y)在区域D内可微), 并且满 足柯西-黎曼方程, 则由解析函数的充要条件可以断定函数f (z)在区域D解析.（P28 推论
11、2.1）,判定复变函数可导性与解析性的步骤： I) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性； II) 验证C-R方程； III）根据推论2.1或定义2.5判断函数的解析性。,前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.,复变函数f (z)=u(x,y)+iv(x,y)在可导点处的导数为,二. 举例,例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：,解 (1) 设z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 则,(2) f (z)=ex(cosy +isiny) 则 u=excosy, v= exsi
12、ny,仅在点z = 0处满足C-R方程，故,(3) 设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则,解 由w = z Re(z) = x2 + ixy, 得u = x2, v = xy, 所以,当且仅当 x = y = 0时,因而函数仅在z = 0可导, 但在复平面内任何地方都 不解析.,例3 设,其中 a, b, c, d是常数，问它们取何值时, 函数 f (z),在复平面上解析.,解：显然，,在全平面可微，且,容易看出, 当 时, 函数,满足柯西-黎曼方程, 这时函数,在全平面解析.,2.4 初等函数,本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数
13、的性质，并说明它的解析性。,内 容 简 介,1. 指数函数2. 对数函数3. 幂函数4. 三角函数,一. 指数函数,它与实变指数函数有类似的性质：,定义,这个性质是实变指数函数所没有的。,例1,例2,例3,二. 对数函数,(1) 对数的定义,当k=0时， 为Lnz的一单值函数，称为Lnz的主值。,故,特别地,(2) 对数函数的性质,例4,三. 乘幂 与幂函数,乘幂ab,定义,多值,一般为多值,(2)当b=1/n(n正整数)时，乘幂ab与a 的n次根意义一致。,(1)当b=n(正整数)时，乘幂ab与a 的n次幂意义一致。,解,例5,幂函数zb,当b = n (正整数),w=z n 在整个复平面上是单值解析函数,除去b为正整数外，为多值函数， 当b为无理数或复数时，无穷多值。,四. 三角函数,推广到复变数情形,定义,正弦与余弦函数的性质,4）欧拉（Euler）公式对任意复数成立,由正弦和余弦函数的定义得,其它三角函数的定义,思考题,双曲正弦和双曲余弦函数的性质,双曲函数,
