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1、2009智轩考研数学创高分红宝书系列- 线性代数344 序本书吸取了当前全国十二大著名辅导机构出版的和他们内部非出版的考研数学辅导资料共计100 余本书的绝大部分精髓，是一本含金量相当高、专门适应国家命题数学1-4 类和各校自主命题的数学甲乙或AB的考研全面基础延展复习与综合强化提高的全程通用讲义。智轩考研数学金牌之路是 2007 年出台的考研数学辅导书新贵。全套共分三部分，本书是2009 版的第二部分，为线性代数（共六大知识点） ，以同济主编的四版为基础教材，包括：行列式；矩阵；向量；线性方程组；矩阵的特征值和特征向量；二次型等六大知识点。全书以矩阵为主线，以秩、初等矩阵和行简化阶梯形三大核
2、心技术为手段，运用抽象概念形象思维化理念，以独特的结构和模式，开创性、系统性地解决了线性代数的抽象与疑难问题，帮助读者居高临下对付2009 年线数考研，是作者的得意名作。书中采用了作者系统的原创性陈氏秘技和形象记忆掌握法，尤其对三基的延拓层面无与伦比，奉献了读者渴望的评注，蛰伏5 年著成， 2009 版对相关内容作大篇幅修改，2008 版的使用效果和威力首次就受到全国广大学子的高度认可。国家研究生入学选拔性考试己造成本科生的数学学习深度与国家考试的要求存在较大的差距，考生如何弥补这一差距，并快速与国家考试要求接轨，是考生成功的关键，同时也是一个实际性困难。智轩考研数学金牌之路正是针对解决这一困
3、难，参照教育部硕士研究生入学考试大纲2008 和历年真题及其数十名著名考研辅导专家的资料和经验，经过反复研究和提炼，精心打造、独具匠心编纂而成，旨在为莘莘考研学子架设一座成功的桥梁。本书特别强调数学“三基”的全面训练，即基本概念与定义，基本性质与定理，基本运算与结论的夯实与拓展，然后全面分析22 年来的国题，分析其四类命题历年之间的重复规律，进而研究目前尚未考到的知识点中可能出现的题型及其有哪些交叉知识点综合的题型。作者深入而细致研究了教育部历年来主要知名考研命题专家的资料与风格，现已连续辅导了六届数学考研， 积累了独特而卓有成效的经验，2007 年辅导的学员参加2008 年数学考研， 平均成
4、绩达到106 分，最高分 139。作者的辅导思路是：1 首先严格按照考研数学大纲知识点全面抓三基，对教材的三基内容全面延伸，根据大纲的要求，恰到好处地拓宽拓深其外延与内涵，尤其是可能存在的死角与陷阱，帮助读者归纳总结。2 全面研究了22 年来（ 1987-2008 ）四类考研的国题和各校自主命题的数学AB或甲乙的真题，全方位揭密了考试范围、要求、难度、题型、题频及其解题方法和技巧。3 广泛研究了国家命题组、大纲制定组和阅卷组40 多位主要考研数学辅导资深专家（如蔡子华、潘鑫、单立波、铁军、李永乐、叶盛标、陈文灯、赵达夫、蔡燧林、胡金德、张天德、龚冬保、汪诚义、范培华、严守权、刘坤林、谭泽光、俞
5、正光、葛余博、徐兵、王式安、余术、韩云端、曹显兵、黄先开、费允杰、尤承业、李昂、刘西恒、武忠祥、姚孟臣、龚兆仁、陈殿友、胡显佑、陈光曙、于长千、李大华、吴晓平2009智轩考研数学创高分红宝书系列- 线性代数345 等 38 位专家）的考研分析、复习方法和他们出版的有关考研数学的资料共计100 余种，尤其是题型，然后提炼为自己题型例题和题型习题，自成特色体系，奉献给读者。希望读者不遗余力重复三次地记忆、理解、练习和总结。3 对各知识点的应用进行了独家解题方法和技巧总结，以“陈氏线数10 技”奉献给读者。从 2003-2008 年的试题来看，国家4 类试题共用题目比例随年有大幅度提高，尤其是线性代
6、数近两年大纲和所考题目几乎完全相同。高数甲乙或AB 的理科类试卷也竭力模仿国家四类特点命题，没有超出四类大纲的线数题型出现。因此，本书提供的三基与拓展、例题与技巧、练习与模拟，都同时适应六类考生。五星级提示：在正式考试之前一星期内必须把本书的重要结论和10 技全面复习一遍！ ！ ！书中难免存在不足之处，敬请批评指正。陈秋成2009年 4 月2009智轩考研数学创高分红宝书系列- 线性代数346 第二篇线性代数第一章行列式2008 年考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理2008 年考试要求1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质。2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计
7、算行列式。一、三基与拓展1逆序数1.1 定义n个互不相等的正整数任意一种排列为：1 2ni ii，规定由小到大为标准次序， 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序数， 该排列全部逆序数的总合用12ni ii表示，1 2ni ii等于它所有数字中后面小于前面数字的个数之和。例如：(31254)200103;(263451)141118;(12345)000000.1.2 性质一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性（即211） 。证明如下：设排列为111lmnaa abb bcc， 作m次相邻对换后，变成111lmnaa abbbcc， 再作1m次相邻对换后， 变成111lmn
8、aa bbb acc，共经过21m次相邻对换， 而对不同大小的两元素每次相邻对换逆序数要么增加1 ，要么减少 1 ，相当于211，也就是排列必改变改变奇偶性，21m次相邻对换后2121111m，故原命题成立。2n阶行列式的定义及拓展2009智轩考研数学创高分红宝书系列- 线性代数347 121 212121(.)(.)1212,11nnnnnnj jji iinnnjjnjiii njjiiDaaaaaa【例 1】展开三阶行列式：123123123()331231jjjjjjj jjDaaa解: 方法：固定行号 1，2，3；列号可任意排列为123j jj，123j jj所有可能排列相应的逆序数
9、如下：1 23123123123123123()123()(123 )0()(132 )1()(213 )1()(231)2()(312 )21123 11111321111213 1111231 1111312111132j jjjjjjjjjjjjjjjjjjjj123()(321)31 1111jjj1 23123123()331230112231122331123321221331223311321321322311122331123321221331223311321321322311122331221(1)(1)(1)(1)(1)(1)j jjjjj jjjDaaaaaaaaaaa
10、aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa331132132112332122133132231aaaaaaaaaaaaa2.1 n阶行列式展项的特点n阶行列式展开后，共有!n项，每一项中唯一包含且必须包含每一行和每一列中的一个元素，不能重复和也不能缺少，理解这一特点可以很快计算出结论只有少数几项的行列式。2.2 符号意义121 212121(.)(.)1212,11nnnnnnj jji iinnnjjnjiii njjiiDaaaaaa中，3331,2,jajn代表第 3 行的全部元素；55ia51,2,in表第 5 列的全部元素；余类推。不要错误理解为一个元素；2
11、.3 行列式 -determinant,故常常把nD写成detija。行-row, 一般用12rr表示第一行2009智轩考研数学创高分红宝书系列- 线性代数348 与第二行对换，余类推。列-column, 用27cc表示第二列与第七列对换，余类推。2.4 当行列式的元素是x的函数，对行列式一阶微分时（以三阶为例），有下列关系：123123123123123123123231132123123()3123()3123()3231132123det111jjjijjjjj jjj jjjjjj jjj jjjjjjjjjjj j jjddaxaxax ax dxdxdax ax ax dxax a
12、xaxax axaxax axax111213111213111213212223212223212223313233313233313233axaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxax【例 2】求极限230123sin2 lim 1111sincos1101xxxxxx Lxx解：应用罗毕达法则2232300123100123000123123sin2sin2cos10002 limlim4 0001111111111sincos1 cossin0 1sincos1100101101000101xxxxxxxxxxxxxxx L
13、xxxxxx3n阶行列式的 5 大性质性质 1：转置（行与列顺次互换）其值不变。性质 2：互换任意两行（列）其值变号。性质 3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符号外。性质 4：任意行列式可按某行（列）分解为两个行列式之和。性质 5：把行列式某行（列）倍后再加到另一行（列） ，其值不变。2009智轩考研数学创高分红宝书系列- 线性代数349 行列式的五大性质全部可通过其定义证明；而以后对行列式的运算主要是利用这五个性质。评 注对性质 4 的重要拓展：设n阶同型矩阵，;ijijijijAaBbABab，而行列式只是就某一列分解，所以，AB应当是2n个行列式之和，即ABAB。以我们经常遇到三阶行
14、列式的特征值问题举例如下：111213111213212223212223313233313233131211232221333231111(112 )121211111321233133200000000000000000000000000aaaaaaEAaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa111211121112132122212221222331323132313233122212212220000aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa111213222311131112321122332122233233313321223132331231122331112131
15、232122233132331naaa aaaaaa EAaaaaaa aaaaaa aaaaaaTrAaaaaaaAaaa根 据 韦 达 定 理 ， 马 上 可 以 得 到 两 个 重 要 公 式 ：其中，111表示取被展开的行列式中的各列的第一子列，余类推。特别地，如特征值行列式中，有两行或两列对应成比例，上述公式可以简化为：EA3 323232112233 1ii iaaaatrA123,0trA评 注 韦达定理得一般形式为：121021201110;1;nnn nnnnnnnnniiijiijinnnaaaa xaxaxaxxx x aaa4行列式元素的余子式展开和k阶子式的余子式展开
16、定理4.1 余子式的概念2009智轩考研数学创高分红宝书系列- 线性代数350 元素的余子式 ： 把行列式中某元素ija所在的行与列全部划掉， 剩余的元素组成的新行列式，称为该元素的余子式，用ijM表示。如果再考虑余子式的符号，则称该元素的代数余子式，用ijA表示。11ijijijijijijAMMAk阶子式的余子式 ：把行列式中任意指定k行与k列的交叉元素组成的子行列式（称k阶子式）所在的行与列全部划掉， 剩余的元素组成的新行列式，叫k阶子式的余子式， 也用iN表示。如果再考虑余子式的符号，则称k阶子式的代数余子式，用iA表示。12121kkiiijjjiiAN其中：12,kiii为iM所在的行的具体序号；12,kjjj为iM所在的列的具体序号。4.2 行列式按某一行或一列元素的代数余子式展开定理111,0,1, j0, jnijkjikikjnijikjkjk iik ia AD ikk ja AD k按 第行 展 开其 中 ：按 第行 展 开其 中 ：评 注 元素的代数余子式与该元素
