线性变换与矩阵的关系

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1、线性变换与矩阵的关系学院：数学与计算机科学学院班级： 2011 级数学与应用数学姓名：学号：线性变换与矩阵的关系（西北民族大学数学与应用数学专业，兰州 730124 ）指导教师一、线性变换定义 1 设有两个非空集合V,U，若对于 V 中任一元素，按照一定规则总有U 中一个确定的元素和它对应，则这个对应规则被称为从集合V到集合 U的变换（或映射） ，记作 =T() 或 =T,( V)。设 V，T()= , 则说变换 T 把元素变为，称为在变换 T 下的象，称为在变换T下的源，V称为变换T的源集，象的全体所构成的集合称为象集，记作T(V) 。即T(V)= =T()| V, 显然 T(V) ? U

2、注：变换的概念实际上是函数概念的推广。定义 2 设 Vn,Um分别是实数域 R上的 n 维和 m维线性空间，T是一个从 Vn到 Um得变换，如果变换满足（1） 任给1 ，2Vn，有 T(1+2)=T( 1)+T( 2); （2） 任给 Vn，kR，都有 T(k )=kT( ) 。那么，就称T为从 Vn到 Um的线性变换。说明：1线性变换就是保持线性组合的对应的变换。 2一般用黑体大写字母T,A,B, 代表现象变换，T()或 T代表元在变换下的象。3若 Um=Vn，则 T是一个从线性空间Vn到其自身的线性变换， 称为线性空Vn中的线性变换。下面主要讨论线性空间Vn中的线性变换。二、线性变换的性质

3、设 T是 Vn中的线性变换，则(1)T(0)=0,T(-)=-T( ); (2)若=k11+k22+kmm, 则 T=k1T1+k2T2+kmTm; (3)若1，m线性相关，则 T1Tm亦线性相关；注：讨论对线性无关的情形不一定成立。(4)线性变换 T的象集 T(Vn) 是一个线性空间 Vn的子空间。记 ST=| Vn,T =0称为线性变换 T的核， ST是 Vn的子空间。设 V和 W是数域 F上的向量空间，而： VW是一个线性映射。那么(i) 是满射 Im()=W; (ii)是单射Ker( )=0 定理 1 设 V和 W是数域 F上的向量空间， 而：VW是一个线性映射。那么 V的任意子空间在

4、之下的像是W的一个子空间。而W的任意子空间在之下的原像是V的一个子空间。三、线性变换的运算设L(V) 是向量空间V的全体线性变换的集合，定义L(V)中的加法，数乘与乘法如下：加法：数乘：；乘法：，其中，. 易验证，当A, B是V的线性变换时，A+B，AB以及kA都是V的线性变换 . 四、线性变换的矩阵设V是数域F上的一个n维向量空间,n,21是V的一个基,)(VL. 由于,2, 1,)(niVi因而它们可由基n,21线性表出. 令,12211111)(nnaaa,22221122)(nnaaa (1) nnnnnnaaa2211)(. (1)也可以表示为：Ann),(),(2121 , (2)

5、 其中11a12ana121a22ana2A= 1na2nanna称A为关 于 基n,21的 矩 阵 .A的 第j列 元 为)(j在 基n,21下的坐标 ,2, 1nj因而当取定基之后,在这一基下的矩阵是唯一的 . 设 V是数域 F上一个 n 维向量空间 . 令是 V的一个线性变换 . 取定一个基1,2,n. 考虑 V中任意一个向量.2211nnxxx仍是 V的一个向量 . 设.2211nnyyy自然要问 , 如何计算的坐标nyyy,21. 令,12211111nnaaa,22221122nnaaa(2) ,2211nnnnnnaaaa这里ij,i,j=1,n, 就是j关于基n,1的坐标. 令

6、11a12ana121a22ana2A= 1na2nannan 阶矩阵 A 叫做线性变换关于基n,21的矩阵 .矩阵 A的第 j 列元素就是这样 , 取定 F上 n 维向量空间 V的一个基之后 ,对于 V的每一个线性变换 ,有唯一确定的F上 n 阶矩阵与它对应 . 为了计算关于基n,21的坐标 , 我们把等式 (2) 写成矩阵形式的等式(3) n,21=An,21. 设nnxxx2211=n,21nxxx21因为是线性变换 , 所以(4) nnxxx221=nnxxx2121,将(3) 代入(4) 得n,21A.21nxxx最后等式表明 ,关于n,21的坐标所组成的列是Anxxx21比较等式

7、(1), 我们得到定理 1 令 V是数域 F上一个 n 维向量空间 , 是 V的一个线性变换 , 而关于 V的一个基的矩阵是11a12ana121a22ana2A= 1na2nanna如果V 中 向 量关 于 这 个 基的 坐 标 是nxxx,21, 而的 坐 标 是nyyy,21, 那么(5) 在空间2V内取从原点引出的两个彼此正交的单位向量21,作为2V的基 . 令是将2V的每一向量旋转角的一个旋转 .是2V的一个线性变换 . 我们有.cossin,sincos212211所以关于基21,的矩阵 是cossinsincos设2V,它关于基21,的坐标21, xx是, 而的坐标是21, yy

8、. 那么：21yycossinsincos设A向量空间V的线性变换，如果，则矩阵A称为线性变换A在基下的矩阵 . （1）相似矩阵：对于两个n阶方阵A,B，如果存在一可逆矩阵C，使得，则称方阵A与B相似，记为AB. （2）线性变换的特征值和特征向量：设A是向量空间的一个线性变换，如果存在实数和V中非零向量，使得A=，则称为A的一个特征值，为A的属于特征值的一个特征向量. （3）矩阵的特征值和特征向量：设A为一个m阶实矩阵，如果存在m维非零向量，使得，则称为矩阵A的特征值，为A的属于特征值的特征向量. 下面定义线性变换的运算. 1 、正交变换的性质：设A是欧氏空间的一个线性变换，则下面几个命题等价

9、：(1) A是正交变换；(2) A保持向量的长度不变，即对于任意的；(3) 如果是V的标准正交基，则也是V的标准正交基 . (4) A在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵. 2、线性变换矩阵的性质： 设V的线性变换A在基下的矩阵为A，向量在基下的坐标为在此基下的坐标为，则 设与是向量空间V的两组基，从基到基的过渡矩阵为C，又设线性变换A的这组两基下的矩阵分别为A, B，则即AB. 3、线性变换的矩阵可以是对角阵的充要条件：设V为m维向量空间，A为V的一个线性变换 . 那么存在V的一组基，使得A在这组基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是A有m个线性无关的特征向量. 4、方阵相似于对角矩阵的充要条件：

10、n阶方阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量 . 五、线性变换在不同基下的矩阵的关系定理 1 设 V是域 F上 n 维线性空间，V上的一个线性变换A在 V的两个基1n与1，n下的矩阵分别为A与 B，从基i到基i 的过渡矩阵 S，则B=S-1AS (1) 证明： 有由已知条件我们有A(1, ,n)=( 1, , n)A (2) A(1, ,n)=( 1, , )B (3) (1, )= ( 1, , n)S (4) 于是 A(1, , ) =A(1, , n)S) =(A( 1, , n)S =(1, , n)A)S=( 1, , n)(AS) =(1, , )S-1)(AS)

11、= ( 1, , )(S-1AS) (5) 比较（3）和（5）式得B=S-1AS 定理 1 表明，同一个线性变换A在 V的不同基下的矩阵是相似的。定理 2 域 F上 n维线性空间 V的同一个线性变换A在 V的所有各个基下的矩阵组成的集合恰好是Mn(F) 的一个相似等价类。证明： 设 A在 V的一个基1, n下的矩阵为 A，用 A表示 Mn(F) 中由 A确定的相似等价类。任取 V的一个基1, n，设 A在此基下的矩阵是B。据定理 1，BA,从而 BA。反之，任取CA，则有可逆矩阵U，使得 C=U-1AU 。令（1, n）=(1, ,n)U (6) （1,n）是 V的一个基，由定理1，A在即基1

12、, n下的矩阵为U-1AU,即 C是 A在基i下的矩阵。有定理 2 知道，同一线性变换 A在 V的所有各个基下的矩阵组成的集合是 Mn(F) 的一个相似等价类。于是Mn(F) 在相似关系下的不变量就反映了线性变换的内在性质，它们与基的选取无关。譬如n 级矩阵的行列式、秩、迹、特征多项式、特征值等都是Mn(F) 的相似不变量，因此我们可以把线性变换 A在某一个基下的矩阵A的行列式、秩、迹、特征多项式、特征值。分别称为线性变换A的行列式、秩、迹、特征多项式、特征值。* 一个线性变换关于两个基的矩阵的关系：设 V是数域 F 上一个 n 维向量空间。是的 V一个线性变换。 假设关于 V的两个基n,21

13、和n,21的矩阵分别是 A 和 B。即n,21=An,21，n,21=Bn,21令 T 是由基n,21到基n,21的过渡矩阵：n,21=Tn,21于是Bn,21=n,21=Tn,21=ATn,21=ATTn1 21,因此（8）ATTB1等式（ 8）说明了一个线性变换关于两个基的矩阵的关系。设 A，B是数域 F上两个 n 阶矩阵。如果存在F 上一个 n 阶可逆矩阵 T使等式（ 8）成立，那么就说B和 A相似，并且记作AB (一) 特征值特征向量的求法1、给定的数值矩阵的特征值特征向量的求法. 解方程求出A的全部特征值，对每个（不同的）特征值，解齐次线性方程组其基础解系便是A对应于特征值的线性无关

14、的特征向量，其任意非零解使是A的对应特征值的特征向量 . 2、求抽象矩阵的特征值，特征向量的方法一般是据定义，假定特征值，特征向量X, 由AX=X代入相关的已知条件，求出, X. 3、相似的判定的基本方法，一般是据相似的传递性，判别两矩阵相似的对角形（假定都相似）是否可以相同。矩阵A的属于特征值的特征向量是不唯一，因为若是A的属于特征值的特征向量，即有，则对任意常数有，说明也是A有属于特征值的特征向量，同样可推出，若都是A的属于同一个特征值的特征向量，则对任意，只要也是A的属于特征值的特征向量 . 向量不可以即是A的属于特征值的特征向量，也是A的属于特征值的特征向量吗，因为，若两式相减有，推出，从而不是特征向量 . A的属于不同的特征的特征向量的线性组合（假定系数都不为0）不是A的特征向量，设是A的分别属于特征值的特征向量，其中为不等于 0 的常数，若是A的特征向量，设对应的特征值为，即故有：由于所以不全为 0线性相关，这与不同的特征值对应的特征向量线性无关相矛盾，因此A的属于不同特征值的特征向量的线性组合在系数全不为0 （从推导过程中知，只要有两个系数不为0 时也成立）时，不会是A的特征向量 . 相似矩阵A、B的特征值有何关系，相似矩阵有相同的特征值，因为AB，即存在可逆方阵C，使从而。也就是说相似矩阵有相同的特