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1、狄利克雷问题狄利克雷问题（Dirichlet problem）就是在给定边界条件的区域 D 内求解拉普拉斯方程的问题，即 20, ()()uxf当区域 D 是一个长为 L，宽为 l 的矩形时，即 ,:0, DxylyL此时狄利克雷问题就变成了求解带有若干边界条件的二阶偏微分方程，即 0xyu1212(,0)(, )(, )(, )(uxfLfgyulgy 根据叠加原理，分别求解当 和 时方程的解，其解的加和即为原120g120f方程的解。同时 与 这两种情形是等价的，因此只需要求解其中12f一个问题，并改变相应的变量就可以得到另一个解。因此我们这里求解 的120g情形，即 0xyu12(,0)
2、(, )(, )(,0uxfLfuly根据变量分离法，首先假设函数 可以写作,uxy(,)()XYy代入微分方程可得 ()()xtxy移项整理得2()()0XxYyv（可以证明，当上式中的比例常数为非负数时，方程只有 0 解，与题设不符）于是有 2()()XxvYy对于方程 ，其对应的特征根方程有两个共轭的复根 ，因此其通2()()0Xxv vi解为 012()cosin)XxeCvx将边界条件 代入微分方程可得(0,),uyl(0)Xl所以 10, sinCvl进而有 , vlnl所以 2()sinXxCxl当 时，就得到了特征值 对应的特征函数，即21C2/vl()sinXxl对于方程 ，
3、其对应的特征根方程有两个不同的实根 ，因此其通2()()0Yyv v解为 34()vyvyYCe由于双曲余弦函数 cosh2vye双曲正弦函数 sinh2vye所以函数 可以表示为()Yy()coshinnYyvyvy将 代入上式得nvl()coshsinhnYyyyll所以 1(,0)(uxf(,)sincoshsinhnnuxyxyylll由上式可知，对于每个不同的 n，都有一个 与之对应。而 ，(,)nu1(,0)(uxf，由于 ， 都是给定的函数，所以此处得到的还不是方程的解。2(,)(uxLf1()fx2f构造函数 为一切 的加和，即,)Uy,nuy11(,)(,)sincoshsi
4、nhnnxxxyylll由初始条件 ， 可得1(,0)(uf2,)(uLf11 1()sincosh0insinnfxxaxl l 其中 na21 1()sincoshsihsinnnLfxx bxllll 其中 coshsinhnLbll可以解得 nacoshcshcothinn nnLbaLlbll所以 1(,)sincoshcshcothsinnnnLUxyxaybaylllll 其中 102()sindlnafxl20ilnbfl因为 时的情形为：120f0xyu12(,0)(,), ()(, )(uxLgulyg由于此情形与 时的情形完全等价，所以此情形下的解为12g1(,)sincoshcshcotsinhnnnllVxyyxdxLLL 其中 102()sindLncgy20iLndy所以，方程最终的解为 (,)(,)(,)uxyUVxy
