《中科大概率统计课件--§2.4 连续型随机变量》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中科大概率统计课件--§2.4 连续型随机变量（44页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一、连续型随机变量的概念与性质,1、 定义 如果对于随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负函数 f (x)，使得对于任意实数 x，有,则称 X 为连续型随机变量，其中函数 f (x) 称为 X 的概率密度函数,简称概率密度、密度函数.,退 出,前一页,后一页,目 录,2.4 连续型随机变量,分布函数F ( x )与密度函数 f ( x )的几何意义,结论 连续型随机变量取任一常数的概率为零,注2: 对于连续型r.v.X , P ( X = a) = 0,事实上,对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；我们所关心的是它在某一区间上取值的问题,注3:,此公式非常重要！,2
2、、概率密度 f ( x )的性质,常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性随机变量的密度函数，或求其中的未知参数.,例 1,设 X 是连续型随机变量，其密度函数为,解： 由密度函数的性质,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,退 出,前一页,后一页,目 录,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,退 出,前一页,后一页,目 录,例 2,某电子元件的寿命 X（单位：小时）是以,为密度函数的连续型随机变量求 5 个同类型的元 件在使用的前 150 小时内恰有 2 个需要更换的概率.,解：设 A= 某元件在使用的前 150 小时内需要更换,4连续型随机变量的概率密度,
3、第二章 随机变量及其分布,退 出,前一页,后一页,目 录,例 2（续）,检验 5 个元件的使用寿命可以看作是在做一个5重Bernoulli试验 设 Y 表示5 个元件中使用寿命不超过150小时 的元 件数，,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,故所求概率为,退 出,前一页,后一页,目 录,例 3,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,退 出,前一页,后一页,目 录,例 3（续）,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,退 出,前一页,后一页,目 录,例 3（续）,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,退 出,前一页,后一页,目 录
4、,例 3（续）,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,退 出,前一页,后一页,目 录,解:(1)由,(3) 的分布函数为,二、一些常用的连续型随机变量,1) 均 匀 分 布,若随机变量 X 的密度函数为,记作 X U a , b,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,退 出,前一页,后一页,目 录,密度函数的验证,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,退 出,前一页,后一页,目 录,说 明, 类似地，我们可以定义,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,退 出,前一页,后一页,目 录,均匀分布的概率背景,X,X,a,b,x,l,l,
5、0,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,退 出,前一页,后一页,目 录,均匀分布的分布函数,a,b,x,F (x),0,1,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,退 出,前一页,后一页,目 录,例2,设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车,如果某乘客到达此站的时间是 7:00 到7:30之间的均匀随机变量试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率,解: 设该乘客于7时 X 分到达此站,令B= 候车时间不超过5分钟 ,2) 指数分布,若 X 的密度函数为,则称 X 服从 参数为的指数分布,记作,X 的分布函数为, 0 为常数,应用场合,用指数分布描述的实例有：,
6、随机服务系统中的服务时间,电话问题中的通话时间,无线电元件的寿命,动物的寿命,指数分布常作为各种 “寿命”分布的近似,若 X (),则,指数分布的“无记忆性”,若 X (),则,所以，又把指数分布称为“永远年轻”的分布,指数分布的“无记忆性”,事实上,x,f (x),0,3) 正态分布,正态分布密度函数的图形性质,x,f (x),0,x,f (x),0, 位置参数,x,f (x),0, 形状参数,标准正态分布,可用正态变量描述的实例非常之多：,各种测量的误差； 人的生理特征；,工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；,海洋波浪的高度； 金属线的抗拉强度；,热噪声电流强度； 学生们的考试成绩；,标准正
7、态分布的计算：,x,0,x,-x,标准正态分布的计算,分布函数,x,例1,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,退 出,前一页,后一页,目 录,一般的正态分布的计算 X N ( , 2),其分布函数,作变量代换,例2,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,退 出,前一页,后一页,目 录,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,退 出,前一页,后一页,目 录,4连续型随机变量的概率密度,第二章 随机变量及其分布,退 出,前一页,后一页,目 录,求 P ( X C=PXC 则C=（ ),2. 设XN(，42),YN(，52), 记 p1=PX-4，p2
8、=PY+5则( )对任意实数，都有p1=p2 对任意实数，都有p1p2,3,课堂练习,f(x),x,0,P(X),P(X),设XN(，2),则随的增大，概率P|X-| （ ）单调增大 单调减少保持不变 增减不定,设 X N（10，0.0004),（2.5）=0.9938，则X落在区间（9.95，10.05）内的概率为( ).,0.9876,6. 3 原理,设 X N ( , 2), 求,解,在一次试验中, X 落入区间( - 3 , +3 ) 的概率为 0.9974, 而超出此区间的可能性很小,7. 设测量的误差 X N(7.5,100)(单位：米),问要进行多少次独立测量，才能使至少有一次误差的绝对值不超过10米的概率大于0.9 ?,解,设 A 表示进行 n 次独立测量至少有一次误差 的绝对值不超过10米,所以至少要进行 4 次独立测量才能满足要求.,
