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1、主讲人：周晓军 教授、博导联系电话：87952516/13306522407Email: 办公地点：浙江大学玉泉校区教1104,机 械 工 程 测 量 学 测试技术基础,第三周授课内容,1. 相关分析及其应用2. 功率谱分析及其应用,我们知道，对于随机信号的描述可通过下述各量来进行：,时域描述方法,矩,概率密度函数,原点矩（如均值、均方值等）,中心矩（如均方差等）,联合矩（如互相关函数、 协方差函数等）,频域描述方法：功率谱、能量谱,相关系数可用于两个信号（如信号x和信号y)相似性（或线性相关性）的一种度量。其数学表达式为：,相关系数,由柯西-许瓦兹不等式,其中,(a) x与y完全线性无关；(
2、b) x与y完全线性相关； (c) x与y存在某种程度的线性关系。,(注意此时x与y却可能还有其它的函数关系),信号的自相关函数,x(t)是各态历经随机过程的一个样本函数，观测时间为T。x(t+)是时移之后的样本函数。这两个样本函数具有相同的均值ux和标准差x。,定义,从另一角度看xy：,则有：,选择参数a使得最小：,代回得：,令相对误差能量：,其中：,应用前述公式：,则有：,得功率有限信号的自相关函数为,进一步推广，可得：,能量有限信号的自相关函数,周期信号的自相关函数,T周期,1）,0,原因：,性质,3）足够大或时，随机变量x(t)与x(t+t)就不存 在内在的联系了，彼此无关，即,可得,
3、4）自相关函数为实偶函数,证明：,因此，由上述这些性质，很容易绘出自相关函数图为：,5）周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数， 其幅值与原周期信号的幅值有关，但丢失了原信号 的相位信息。,假设周期信号,可得其自相关函数为,例:求正弦函数 的自相关函数,解：,周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数，在自相关函数中包含的原信号的幅值信息与频率信，但是却丢失了其初始相位信息。,正弦函数及自相关函数,x0,(x02)/2,初始相位f 的信息丢失了,典型信号的自相关函数,正弦信号,正弦信号+随机噪声,窄带随机信号,宽带随机信号,自相关函数的作用,主要是用来区别信号的类型，由上图可见：,只要信号中含
4、有周期成分，其自相关函数在 很大时都不衰减，并具有明显的周期性； 信号中不包含周期成分则在 稍大时自相关 函数就衰减为零； 宽带随机信号的自相关函数相对于窄带随机信 号的自相关函数衰减快。, 机加工表面粗糙度（用轮廓仪测）成因分析。,自相关函数的应用举例：,金钢石触针,工件,相关分析,电感式传感器,系统构成：,Rx(t),0,0.5,1,t,可能成因：沿工件轴向走刀运动的周期性； 工件切向，则可能是由于主轴回转振动的周期性。, 在水域中探索有无潜艇通过。 潜水艇的发动机在工作时发出周期性信号，而海浪是随机的，如果经过相关分析发现有周期性峰值，就可以知道，可能有潜艇通过。,自相关函数在电子、机械
5、等工程中有一定的使用价值，但是利用它的傅里叶变换（自功率谱，下面的内容）来分析噪声中的周期信号更加实用一些。另外，从前面的分析中我们知道，自相关函数中丢失了相位信息，使其应用受到一定的限制。,信号的互相关函数,定义,功率有限信号的互相关函数为,能量有限信号的互相关函数为,周期信号的互相关函数为,互相关函数图形,1）互相关函数的限制范围为,0,性质,2） 同频相关不同频不相关,例：求下列两正弦信号 的互相关函数。,讨论如下两种情形： ,结论：同频相关，不同频不相关,解：因为信号是周期信号，可以用一个共同周期内的平均值代替其整个历程的平均值，故,(应用三角函数的正交性),保留了幅值频率相位信息,3
6、）互相关函数非偶函数、亦非奇函数，具有关系,因为：,0,4） 的峰值不在 处，其峰值偏离原点 的位置反映了两信号时移的大小，相关程度最高。,互相关函数的应用 在噪声背景下提取有用信息。,例1：线性定常系统对之施加振动激励x(t)，检测振动信号y(t) ，(含有大量的干扰噪声)对x(t)和y(t)进行相关分析，根据同频相关不同频不相关的理论，只有和激振频率相同的成分才可能是由激振而引起的响应，其它成分均是干扰噪声，这样便可得知激励引起的响应的幅值及相位差的大小，完全消除了干扰噪声的影响。 这种处理方法称为相关滤波。,石油,例：相关分析在输油管测漏中的应用,L,L,例：相关测速,钢带运动速度的非接
7、触测量,钢带,可调延迟,相关器,光电池,冷轧640m/s热轧830m/s,功率谱分析及其应用,1）信号的时域描述反映了信号幅值随时间变化的特征； 2）相关分析从时域为在噪声背景下提取有用信息提供 了手段； 3）信号的频域的描述反映了信号的频率结构和各频率 成分的幅值大小； 4）功率谱密度函数、相干函数、倒谱分析则从频域为 研究平稳随机过程提供了重要方法。,自功率谱密度函数,定义及其物理意义,定义随机信号的自功率谱密度函数（自谱）为：,其逆变换为,记作：,的自功率谱密度函数，简称为自谱或自功率谱。,为什么称为自功率谱呢？,由于：,则二者所蕴含的信息是等价的，自功率谱密度函数必然是偶函数，如上图所
8、示。,单边谱与双边谱,因为经常应用的频率段为f=(0, )，所以功率谱也常用单边的形式来表示之。,巴塞伐尔（Parseval）定理 （能量等式）,定义：信号在时域中的总能量等于其在频域中的 总能量。,由卷积定理,即,令,令,证明：,下面根据Paseval定理推导一下自功率谱密度函数 和幅值谱 或能谱 之间的关系。,由Parseval定理( )：,由功率谱定义：,因此有：,重要公式,可以直接对时域信号x(t)进行傅里叶变换，再利用上述公式求信号的功率谱(但这只是理论上)。,功率谱的估计,上面得到的功率谱与信号的幅值谱间的关系仅是一个理论计算公式，实际上我们不可能对一个无限长的时域信号进行分析，只
9、能分析有限长度的信号。,模拟信号,数字信号,自功率谱的应用（三个方面）, 反映信号的频率结构,反映信号的频率结构，所以 也反映信号的频率结构，但 与 之间是平方的关系，因此频率结构更加明显。,（见下页图）, 反映系统的幅频特性(但丢失了相位信息),若为线性定常系统有：,则有：,两边平方：,亦即：,由此得到：,通过对输入输出自谱的分析便可以得到系统的幅频特性。, 检测信号中有无周期成分,理想的周期信号的尖谱是脉冲函数，但实际信号我们只能对其取有限长度进行分析（截断），截断后的周期信号频谱特点为： 谱线高度有限； 谱线宽度无限小。周期成分以陡峭的有限峰值的形态出现。,故障诊断实例,放大图,互功率谱
10、密度函数,定义,两随机信号的互功率谱密度函数（互谱）为：,其逆变换为 ：,由于互功率谱密度函数是互相关函数的傅里叶变换，因此二者所蕴含的信息是等价的。 它既保留了原来信号的幅值与相位信息，同时也保留了原信号的初始相位信息。,功率谱的估计,互功率谱的应用,模拟信号,数字信号, 求取系统的频率响应函数,单输入、单输出的理想线性系统,或,通过输入的自谱、输入输出的互谱分析，就能得出系统的频率响应特性。保留了幅值频率及相位信息。,互谱排除噪声影响,受外界干扰的系统,中间环节噪声,由于输入和噪声是独立无关的,相干函数,如果相干函数为零，表示输出信号与输入信号不相干；当相干函数为1时，表示输出与输入信号完全相干。若相干函数在01之间，则表明有如下三种可能：(1) 测试中有外界噪声干扰；(2) 输出是输入和其它输入的综合输出；(3) 系统是非线性的。,对于线性系统,几种典型信号的概率密度、自相关和功率谱图,油压脉动与油管振动的相干分析a)信号x(t)的自谱 b)信号y(t)的自谱 c)相干函数,润滑油泵转速为n=781rpm,油泵齿轮的齿数为z=14,(c),压油管压力脉动的基频,(a),(b),f0,3f0,2f0,作业：,The End,Bye -Bye!,
