晶体结构

第一章 晶体结构第三节 材料结构基础（二）一、晶体结构二、倒易点阵三、晶带,一、晶体结构 1.空间点阵的概念 晶体: 组成它的原子（或离子、分子、原子团等）有规则排列的固体．,◆点阵：为了描述晶体中原子的排列规则，将每一个原子（原子团等）抽象视为一个几何点（称为阵点），从而得到一个按一定规则排列分布的无数多个阵点组成的空间阵列，称为空间点阵或晶体点阵，简称点阵．,,点阵,2.阵胞与点阵类型 ◆阵胞(晶胞)：在点阵中选择一个由阵点连接而成的几何图形(一般为平行六面体)作为点阵的基本单元来表达晶体结构的周期性，称为阵胞(晶胞)．,阵胞,,点阵,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,点阵,,阵胞,◆阵胞的描述: 平行六面体的阵胞由表示其形状与大小的3个矢量a、b、c来描述 a、b、c称为单位阵胞矢量（点阵基矢）为b、c边夹角 为a、c边夹角 为a、b边夹角,◆点阵常数: 矢量a、b、c 的长度（即阵胞三个棱边的长度a、b、c）+ 矢量间的夹角 、  、 ,◆注意:晶体学上的坐标系均采用右手定则,例如，NaCl点阵常数: a = b = c = 5.62 Å; =  =  = 90º TiO2 (金红石) 点阵常数: a = b = 4.59 Å, c= 2.96 Å, =  =  = 90º,阵胞在空间的重复堆砌 → 空间点阵,◆阵胞与点阵的关系:,a,b,c,o,◆以阵胞任一阵点为坐标原点，以a、b、c分别为三坐标轴单位矢量．由原点向任一阵点（坐标x,y,z)的连接矢量为rxyz，则: rxyz = xa + yb + zc,r133 = a+3b+3c,◆阵胞的选取原则： ①能同时反映出空间点阵的周期性和对称性； ②在满足①的条件下，有尽可能多的直角； ③在满足①和②的条件下，体积最小。

◆布拉菲的研究表明，按上述三原则选取的阵胞只能有14种，称为14种布拉菲点阵◆按阵胞中阵点位置的不同，14种布拉菲点阵可分为4种点阵类型（P、C、I、F）：,◆简单点阵，P八个顶点上有阵点，每个阵胞占有一个阵点，阵点坐标为000,除八个顶点上有阵点外，两个相对的面心上有阵点，面心上的阵点为两个相邻的平行六面体所共有因此，每个阵胞占有两个阵点阵点坐标为000，1/2 1/2 0,◆底心点阵，C,除8个顶点外，体心上还有一个阵点，因此，每个阵胞含有两个阵点, 其坐标为: 000，1/2 1/2 1/2,◆体心点阵，I,除8个顶点外，每个面心上有一个阵点，每个阵胞上有4个阵点，其坐标分别为: 000，1/2 1/2 0， 1/2 0 1/2， 0 1/2 1/2,◆面心点阵, F,◆按阵胞形状的不同， 14种布拉菲点阵可归纳为7个晶系：,立方晶系 a=b=c ===90° 四方晶系 a=bc ===90° 正交晶系 abc ===90° 三方晶系 a=b=c ==90° 六方晶系 a=bc ==90°, =120° 单斜晶系 abc ==90°,   90° 三斜晶系 abc     90°,3.晶体结构与空间点阵 ◆若将组成晶体的原子（离子、分子等，以下称为结构基元）置于点阵的各个阵点上，则将还原为晶体结构，即：晶体结构 = 空间点阵 + 结构基元．,NaCl结构,+,=,Na+ Cl-,+,◆空间点阵 + 结构基元 = 晶体结构,空间点阵,结构基元,晶体结构,,◆注意：虽然空间点阵只有14种，但由于结构基元的多样性（可能是同种或异种原子、离子，也可能是分子、原子团等），因而每一种点阵因结构基元不同可表示多种晶体结构．,例：Cu和NaCl 同属面心F点阵，因结构基元不同，而晶体结构不同,4.晶向指数与晶面指数 ◆晶体中由原子组成的直线和平面分别称为晶向和晶面．国际上通用密勒（W．H．Miller）的标识方法，来表示晶向和晶面的空间取向，称为密勒指数．,(1) 建立坐标系: 以任一阵点为坐标原点，以晶轴为坐标轴, 并以点阵基矢a、b、c为相应坐标轴单位矢量;,,,,,y,z,x,0,0,0,1,1,1,,B,◆ 晶向指数确定方法：,(4) 将3个坐标值按比例化为最小整数（即互质的整数），并加方括号 [111].,(3) 求出该直线上任意一点的坐标 1,1,1;,(2) 通过坐标原点引一直线，使其平行于待标识的晶向;,a,b,c,◆晶向组: 空间所有相互平行（方向一致）的晶向，其晶向指数相同, 称之为晶向组,◆右图中三个 晶向的晶向指数 均为 [111], 称之为[111]晶向组,◆晶向族: 晶体中方位不同但原子排列状况相同的所有晶向的组合. ◆例: 立方系＜100＞ 晶向族 表示与 [100] 原子排列状况相同的 6个晶向组，即有:,(2) 求出待标识晶面在3个坐标轴上的截距: x = 1, y = 1, z = 1,(3) 取3个截距值的倒数: 1/x = 1, 1/y = 1, 1/z = 1,(4) 将倒数按比例化为最小整数 (即互质的整数), 并加圆括号: (111),,,,y,z,x,A,,,,,,,◆晶面指数确定方法：,(1) 建立坐标系,a,b,c,o,例: 求点阵面 MSR的密勒指数,(2)截距 x=1/4, y=2/3, z=1/2,步骤如下:,(1) 建立坐标系,(3)倒数: 1/x = 4, 1/y =3/2, 1/z =2,(4)将倒数乘公因子2, 化为最小整数,(5)加圆括号: (834),问题：求下列点阵面的密勒指数？,(100),(110),◆晶面组: (hkl) 表示的不仅是一个晶面，而是空间所有相互平行(方位一致)的晶面, 称之为晶面组．,◆晶面族 {hkl}: 晶体中方位不同但原子排列状况相同的所有晶面的组合. ◆例: 立方晶系,,◆右图中四个晶面的原子排列相同, 同属{111}晶面族 ．,◆注意: 立方晶系中, 凡指数相同的晶向与晶面均互相垂直, 如[100]┴(100), [110]┴(110)等．,◆除采用密勒指数标识外，还可采用四轴定向方法标识．即以a1、a2、a3 、 c为坐标轴单位矢量建立四轴坐标系，然后仍按密勒标识方法的步骤确定晶向和晶面指数，但此时获得的晶向指数和晶面指数均由4个数值组成，型如[uvtw] 和(hkil)。

◆六方晶系晶向与晶面指数,◆ 六方系四数值晶向指数[uvtw] 与四数值晶面指数(hkil) 中均只有3个值是独立的，,t = -(u+v) i = -(h+k),5.干涉指数 ◆问题：在（hkl）晶面组（其晶面间距为dhkl）同一空间方位上，设若有晶面间距为 dhkl/n (n为任意整数）的晶面组，应如何标识？,◆图中: A1，A2，A3，…为（010）晶面组（其面间距为d010），在此组晶面中分别插入B1，B2，…晶面，则形成晶面间距为d010/2的A1， B1， A2， B2，…晶面组．应如何标识？,◆答：按照以前晶面指数的确定方法,(1) A1,B1, A2, B2, … 最靠近坐标原点的晶面 B1在3个坐标轴上的截距为: , ½,  (2) 截距的倒数为: 0，2，0 (3) 将倒数除公因子2, 化为最小整数: 0，1，0 (4) 加圆括号可表示为:（010）,◆结论：若仅考虑晶面的空间方位，则A1，B1，A2，B2，…与A1，A2，A3，…一样，均以晶面指数（010）标识 ◆若要考虑二者晶面间距的不同，则分别用 (020) 和 (010) 标识，此即干涉指数．,◆干涉指数：对晶面的空间方位和晶面间距的标识； ◆晶面指数：仅仅标识了晶面的空间方位。

◆求晶面指数时, 要将截距的倒数化为互质的整数; ◆求干涉指数时, 要将截距的倒数化为整数, 但不必互质干涉指数和晶面指数的不同：,◆若将(hkl)晶面间距记为dhkl，则晶面间距为dhkl/n 的晶面干涉指数为(nh nk nl)，记为 (HKL) ． ◆例：晶面间距分别为d110/2， d110/3的晶面，其干涉指数分别为 (220) 和(330)．,干涉指数与晶面指数的关系:,◆注意：干涉指数表示的晶面并不一定是晶体中的真实原子面，即干涉指数表示的晶面上不一定有原子分布，干涉指数概念的建立主要为简化布拉格方程，分析衍射c,正点阵,倒易点阵,例如，  -Fe,体心立方点阵, 点阵常数: a = b = c = 2.866 Å; =  =  = 90º,二、倒易点阵,◆我们知道，晶体结构的周期性可用点阵代表，一个点阵可以用规定晶胞的三个矢量a、b、c来规定，这个点阵也被叫做正点阵V = (b×c)·a,什么是倒易点阵呢？,1. 倒易点阵定义：◆倒易点阵由一组倒易矢量a*、b*、c*所规定若正空间点阵基矢为 a、b、c倒空间点阵基矢为 a*、b*、c*定义a·a*=1， a·b*= 0， a·c*= 0 b·a*= 0， b·b*=1， b·c*= 0 c·a*= 0， c·b*= 0， c·c*= 1,a·a*=1， a·b*= 0， a·c*= 0 b·a*= 0， b·b*=1， b·c*= 0 c·a*= 0， c·b*= 0， c·c*= 1 式中，等于1的3式决定了a*、b*、c* 的长度，而另外6式决定了a*、b*、c* 的方向。

亦即:a* ┴ b, a* ┴ c, b* ┴ a, b* ┴ c, c* ┴ a, c* ┴ b,,a* ┴ b, a* ┴ c, b* ┴ a, b* ┴ c, c* ┴ a, c* ┴ b, ∴ a*//(b×c)， a*= K(b×c)b*//(c×a)， b*= K(c×a)c*//(a×b)， c*= K(a×b) 又∵ a*·a = K(b×c)·a = 1 而(b×c)·a 为正点阵晶胞体积V ∴ a*·a = KV = 1 ∴ K = 1/V,∴ a*= K(b×c) = (b×c)/Vb*= K(c×a) = (c×a)/Vc*= K(a×b) = (a×b)/V,这就是倒易点阵的基矢表达式，即教材中（1-43）式2. 倒易点阵晶胞参数和正点阵晶胞参数关系,正点阵晶胞用六个参数a,b,c,α, β, γ表示 倒易点阵也用六个参数来表示，即： a*,b*,c*,α*, β*, γ* 其中a*,b*,c*为倒易晶胞三个棱边的长度  *为b * 、c *边夹角  *为a * 、c *边夹角  *为a * 、b *边夹角,从正点阵参数求取a*、b*、c*a*= (b×c)/V = (bcsinα/V)n n为b×c方向的单位矢量。

∴ a* 之长度a* = bcsinα/V 同理 b* 之长度b* = casinβ/Vc* 之长度c* = absinγ/V注意: 习惯上，点阵常数以Å为单位，故倒易点阵参数a*、b*、c*的单位是Å-12) 从正点阵参数求取α*、 β*、 γ*∵ b* · c* = b* c* cosα*∴ cosα* = b* · c*/ b*c* = (c×a) · (a×b)/V2 b*c* =[(c·a)(a·b)-(c·b)(a·a)]/V2 b*c*= [c a cosβa b cosγ- c b cosα a2]//(c a sinβa b sinγ)= (cosβcosγ-cosα)/sinβsinγ 同理 cosβ*= (cosγcosα -cosβ)/sinγsinα cosγ*= (cosαcosβ -cosγ)/sinαsinβ,a* = bcsinα/Vb* = casinβ/Vc* = absinγ/Vcosα*=(cosβcosγ-cosα)/sinβsinγcosβ*=(cosγcosα-cosβ)/sinγsinα cosγ*=(cosαcosβ-cosγ)/sinαsinβ,。