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1、第四章 光在各向异性介质中的传播,教 师：张旨遥 办公地点：光电楼321室 E-mail: ,本章主要内容,介电张量 单色平面波在晶体中的传播 单轴晶体和双轴晶体的光学性质 晶体光学性质的图形表示 平面波在晶体表面的反射和折射 晶体光学器件 偏振光和偏振器件的矩阵表示 偏振光的干涉 电光效应 声光效应 磁光效应,前言,各向同性：介质的光学性质与方向无关。,各向异性：介质的光学性质（介电常数等）在不同的方向（x，y，z）上有不同的值，或者至少有两个彼此不相等。,例如：石英玻璃和石英光纤等可以看作各向同性介质（isotropic medium）。,介质的各向异性和介质的均匀性是不同的概念。,晶体就
2、是一种典型的均匀的、透明的各向异性介质（anisotropic medium）。,晶体结构的特点：组成晶体的各基元（原子、分子、离子或其集团）在空间排列组合时，表现出一定的空间周期性和对称性。,上述结构特点导致了晶体宏观性质的各向异性，自然，其光学特性也就表现出各向异性。,光的偏振与各向异性的晶体有着密切联系：一束非偏振光入射到晶体上，一般将分解为两束偏振光。,最重要的偏振器件是由晶体制成的。,7.1 介电张量,一、张量的概念,在晶体中，描述光学特性的参量与方向有关，因方向而异，它们是一些张量。 标量（实际上就是零阶张量）：与测量方向无关的量，由给定的某个数值完全确定。例如：物体的质量、体积、
3、温度等。 矢量（实际上就是一阶张量）：与测量方向有关的量，当坐标轴选定后，它由这些轴上的三个分量完全确定，具有确定的数值和方向。 张量（通常指二阶及其以上张量）：使一个矢量与一个（或多个）矢量间相关联的量。,例如：矢量 与矢量 有关，则其一般关系应为,式中 是关联 和 的二阶张量。,在直角坐标系O-xyz中，上式可表示为,如果 是张量，则 的某个坐标分量不仅与 的同一坐标分量有关，还与其另外两个分量有关。,如果矢量 与两个矢量 和 有关，其一般关系式为,式中 是三阶张量。,在直角坐标系O-xyz中，三阶张量可表示为,运算规则为,二、张量的变换,由于张量的分量与坐标有关，所以当坐标系发生变化时，
4、张量的表达式也将发生变化。 假设某张量在原坐标系O-xyz中的表达式为 ，在新坐标系O-xyz中的表达式为 ，则当原坐标系与新坐标系的坐标变换矩阵为 时，有,如果考虑矢量，则新坐标系中的矢量表达式 与原坐标系中的表达式 之间的矩阵变换关系为,三、对称张量,一个二阶张量 ，如果有 ，称为对称张量，它只有六个独立分量。 二阶对称张量存在着一个主轴坐标系，在该主轴坐标系中，张量只有三个对角分量非零，为对角化张量。 当对坐标系进行主轴变换时，二阶对称张量可实现对角化。 张量与矩阵是有区别的，张量代表一种物理量，因此在坐标变换时，改变的只是表示方式，其物理量本身并不变化，而矩阵则只有数学意义。,例如，某
5、一对称张量,经主轴变换后，可表示为,四、各向异性介质的介电张量,与分析各向同性介质的光波传输问题一样，分析各向异性介质中光波的传输依然以麦克斯韦方程组、物质方程和电磁场边界条件为基础。 各向异性介质通常指电学性质上的各向异性（磁各向同性的），即介电常数是各向异性的。,通常情况下，电位移矢量 和电场矢量 具有不同方向。,介电张量,电磁场能量守恒定律的微分表达式为,：玻印廷矢量,：电磁能密度,：电能密度,：磁能密度,假设晶体是均匀的非导体，且磁各向同性，只是电各向异性，则,因此,五、介电张量的对称性,矢量恒等式,考虑麦克斯韦方程组以及玻印廷矢量的定义，有,对比从电磁场能量守恒定律以及从矢量恒等式推
6、导出来的两个等式，可以得到,整理后得到,交换 和 的顺序，上式仍然成立,以上两式相加得到,上式对任意电场成立，唯一的可能是,即介电张量是对称二阶张量。,经过主轴变换后，介电张量可以表示为,：主介电常数,：主折射率,：各向同性介质,在各向异性介质中， 和 平行的条件,当 时（双轴晶体）,电场偏振方向沿任意一主轴，可以保证电位移矢量与电场矢量平行。,当 时（单轴晶体）,电场偏振方向沿任意一主轴，可以保证电位移矢量与电场矢量平行。 电场偏振方向在O-xy平面内，可以保证电位移矢量与电场矢量平行。,7.2 单色平面波在晶体中的传播,一、晶体中的光波结构,在晶体中传播的单色平面波：,：波法线方向（即等相
7、位面的法线方向）的单位矢量，与等相位面或波阵面垂直。,对于单色平面波，时间微分算子和空间微分算子可以做如下替换：,则麦克斯韦方程组可变为,、 、 呈右手螺旋关系。垂直于 、 、 。,可以得出如下结论：,玻印廷矢量：,：能流方向的单位矢量。,垂直于 、 ； 、 、 呈右手螺旋关系。,既然 、 、 和 都垂直于 ，那么 、 、 和 必定在同一个平面内。,通常在各向异性介质中， 和 是不同向的，所以 和 是不同向的，即光波能量传播方向和等相位面传播方向不相同，这是光在各向异性介质中传播的一个重要结论。,和 之间的夹角就是 和 之间的夹角。、 、 、 共面。,二、能量密度,总电磁能量密度：,三、相速度
8、与光线速度,相速度是光波等相位面的传播速度，表达式为：,光线速度是单色光波能量的传播速度，其方向为能流密度（玻印廷矢量）的方向，大小等于单位时间内流过垂直于能流方向上的一个单位面积的能量除以能量密度，即,：光线折射率。,单色平面光波的相速度是其光线速度在波阵面法线方向的投影。,可见，在一般情况下，光在各向异性介质中的相速度和光线速度分离，其大小和方向均不相同。,四、波法线菲涅耳方程,矢量恒等式：,则,因此有,如果选取主轴坐标系，则有,因此， 按照三个主轴分量形式可以写为,即,由于 垂直于 ，即 ，因此有,即,通常情况下， 和 不垂直，即 一般不等于零，因此可以得到波法线菲涅耳方程如下,或,从波
9、法线菲涅耳方程可以看出：对于确定的各向异性介质（即 、 、 确定），折射率 和相速度 随传播方向 变化。这种沿不同方向传播的光波具有不同折射率（或相速度）的特性，即是各向异性的表现形式。,波法线菲涅耳方程是 的二次方程，通常有两个独立的实根 和 。因而，对应每一个波法线方向 ，有两个具有不同折射率（不同相速度）的光波。,将 和 分别代入上面方程组，可求出相应的两组比值 和 ，从而定出 和 对应的光波的 和 的方向。,由求得的比值 和 ，根据物质方程的分量关系 ，求出相应的两组比值 和 ，从而定出与 和 分别对应的 和 的方向。 由于 、 、 、 各分量之间的比值都是实数，所以 、 、 、 都是
10、线偏振的。,事实上， 和 还是相互垂直（正交），证明如下：,方括号中第一、三、五项（紫红色）之和为零，第二、四、六项（蓝色）之和为零。,即： ， 和 相互垂直。,由此，可以得到晶体光学的一个重要性质： 一般情况下，对应于晶体中每一个给定的波法线方向 ，只允许有两个特定振动方向的线偏振光传播，它们的 矢量相互垂直（因而振动面相互垂直），具有不同的折射率或相速度。 由于 、 、 、 四个矢量共面，且 ，所以这两个线偏振光有不同的光线方向和光线速度。 通常称这两个线偏振光为相应于给定 方向的两个本征模式。,五、光线菲涅耳方程,重新考虑方程,实际上表示 在垂直于 （即平行于 ）方向上的分量，记为 。,
11、同样选取主轴坐标系，则有,因此， 按照三个主轴分量形式可以写为,即,由于 垂直于 ，即 ，因此有,即,通常情况下， 和 不垂直，即 一般不等于零，因此可以得到光线菲涅耳方程如下,或,类似波法线菲涅耳方程的讨论，可以得到晶体光学的另一个重要性质： 一般情况下，对应于晶体中每一个给定的光线方向 ，只允许有两个特定振动方向的线偏振光传播，它们的 矢量相互垂直（因而振动面相互垂直），具有不同的光线折射率或光线速度。 这两个线偏振光有不同的波法线方向和折射率。 通常称这两个线偏振光为相应于给定 方向的两个本征模式。,六、菲涅耳方程的对偶规则,实际上，在各向异性介质中，对于基本方程有如下对偶规则：,例如：
12、波法线菲涅耳方程与光线菲涅耳方程就满足上述对偶规则。,波法线菲涅耳方程：,光线菲涅耳方程：,7.3 单轴晶体和双轴晶体的光学性质,一、晶体的光学分类,自然界的七大晶系（按空间对称性划分）,单轴晶体： 正单轴晶体：例如：水晶、冰、硫化锌等。 负单轴晶体：例如：KDP（KH2PO4，磷酸二氢钾）、冰洲石、铌酸锂（LiNbO3）等。 晶体中存在一个特殊方向，当光线在晶体内沿着这一特殊方向传播时不发生双折射，该特殊方向就是晶体的光轴（它是一个方向，不特指某条直线）。 单轴晶体中的z方向就是光轴，也是单轴晶体中唯一的光轴。,双轴晶体： ，通常记为 。例如：云母、亚硝酸钠、蓝宝石和石膏等都是双轴晶体。 双
13、轴晶体有两条光轴。 对于各向同性介质来说，可以认为它有无数条光轴。,双折射现象,二、光在各向同性介质中的传播,波法线菲涅耳方程：,各向同性介质的主介电系数满足,并且有,因此，波法线方程有重根,在各向同性介质中，沿任意方向传播的光波折射率都等于主折射率 。,即,也即,因此有,在各向同性介质中，沿任意方向传播的光波，允许有两个传播速度相同的线性不相关的偏振态（两偏振方向正交），相应的振动方向不受限制，并不局限于某一特定方向上。,三、光在单轴晶体中的传播,对于单轴晶体，主介电常数,三个主折射率：,令 ， ，则,：正单轴晶体,：负单轴晶体,主折射率,波法线菲涅耳方程：,波法线分量：,主介电常数：,整理后得到：,方程有两个不相等的实根：,对于任何一个给定的波法线方向 ，单轴晶体中可以有两个不同的折射率。 其中一种光波的折射率与波法线 的方向无关，恒等于 ，这束光波称为寻常光，即o光，与这个光波对应的光线称为o光线，即寻常光线。 另一种光波的折射率随着 与 轴的夹角 而变化，称为非寻常光，即e光，与这个光波对应的光线称为e光线，即非寻常光线。,当 时， 。可见，当 与 轴方向一致时，即光波沿 轴方向传播时，光的传播特性如同在各向同性介质中一样，不会发生双折射。因此， 轴方向就是单轴晶体的光轴方向。 当 时， 。 当 时， 。,
