把课堂还给学生——《双曲线的简单几何性质》的教学实践与反思

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1、4 中学数学研究 2012年第2期 把课堂还给学生 双曲线的简单几何性质的教学实践与反思 北京师范大学(珠海)附属高级中学 (广东珠海，519080) 王术江 新课程标准的基本理念之一为：“倡导积极主 动、勇于探索的学习方式”让学生体验数学发现和 创造的历程，发展他们的创新意识本文是在这一理 念的指导下，笔者针对高中数学双曲线的简单几 何性质教学的实践与反思 一、对教学内容的认识 这一节主要研究的是双曲线的简单几何性质， 其中包括：双曲线的范围、双曲线的对称性、双曲线 的顶点、双曲线的渐近线、双曲线的离心率而在前 面学习椭圆的简单几何性质当中就研究了椭圆的范 围、椭圆的对称性、椭圆的顶点、椭的

2、离心率等，所以 本节课可以与椭圆的几何性质进行类比研究，但要 注意到相同性质的不同之处，如范围、离心率的范围 及离心率与曲线的形状等等特别是要侧重于双曲 线有而椭圆没有的几何性质，比如渐近线研究方法 上两者基本相同，都是用方程来研究曲线 双曲线的渐近线这一几何性质是本节课的难 点，如何攻克这一难点呢?笔者听过不少这一节的公 开课，对于这一点的处理虽然手段不尽相同，但基本 上都忽视了同一点，那就是双曲线的渐近线的作用 双曲线的渐近线在我们的高中数学中有何作用呢? 说得直接一些就是确定了无限远处曲线的变化趋 势而这是理解双曲线这一概念的重要方面，这也是 区别于其它曲线(如抛物线)的重要的特征教学中

3、 有没有落实好这一性质，学生有没有理解好这一点， 只要看学生在学习之后解题时所作出的双曲线就可 以知道，如果学生做图如图(2)，那说明他理解很 解还不到位，仅仅是作为一个知识点来学习，并非从 双曲线整体上来认识这一性质，当然也无法通过这 一性质进一步来理解双曲线 俗语说“哪里丢了东西，就从哪里找!”所以本 节课教学上的这一难点的突破就从学生作图开始进 行探究 二、教学实践 首先在教学过程中要复习椭圆的几何性质和双 曲线的定义和方程，这为本节课的教学提供知识基 础和基本方法接下来教师和学生一起探究双曲线 的范围、双曲线的对称性、双曲线的顶点、双曲线的 实轴与虚轴由于学生经历了对椭圆的性质的研究，

4、 以上对双曲线的性质的探究教师不需多言，只由学 生分组讨论研究，并形成结论，值得一提的是要引导 学生用方程(数)研究曲线的性质(形)而后让学生 小练一题，题目如下： ，2 ，2 “求双曲线 一 =1的实轴长、虚轴长、焦点 工U 坐标、顶点坐标；并试着画出双曲线的草图” 上面问题前一部分是巩固新学的知识，重在实 际操作；后一部分(作图)为探究本节重难点部分作 准备由于还没研究渐近线这一性质，因而一定会有 学生的图形是不准确的也不可能完全准确，笔者从 不怕学生出错或做不好，有时学生在解题中出错比 得出正确的结果更珍贵，是很有用的课堂生成教学 资源而本课正是要利用这一珍贵的资源来引导学 生进行探究，

5、下图为课堂上两种具有代表性的学生 好；如果学生做图如图(1)，那说明对这一性质的理 作图 L 一 ? 、 量 _ 图(1) 图(2) _ 一 一5斗一32 0 ：； 一4 l 。 图(3) 图(4) 笔者将这两幅图投影到大屏幕上，先引导学生 观察两图象的区别；而后让学生讨论、猜想哪一个才 2012年第2期 中学数学研究 5 更准确! 以上两问是突破本节课难点引发学生进行深层 次思考的关键一问，如果学生通过讨论、研究能够讲 出区别，作出正确的判断并能说明理由，使大家都认 同，那是再好不过的事实上有大部分同学能够比较 出两者的差别即I l变大时，曲线的变化趋 势；而对于判断哪一个更准确却无从下手，

6、还有少部 分认为两个都行 当然对于这样复杂的问题学生当堂答不对或者 想不清楚是再正常不过的(学生事先预习的除外) 但以此问题可以引起学生对这一区别(即双曲线的 渐近线)高度注意，提高学生的兴趣在大多数学生 通过深入思考，都有自己的想法，并且争论不休之 2 2 际，是时候啦!教师要适时地给出双曲线 一 =1 lU 的标准图形当然还没完!笔者在实际操作中运用 几何画板作出的双曲线的图形(如图5)，并拖动 单位点将图形缩小(图6)，特别是学生发现“在l l 无限大时，曲线接近一条直线”，此时学生一片哗 然! xa,2-。-4 , 00 4 、 13 00 2 1 一 ， I一 oI A 一2 -一3

7、4 30 。 一20 一30 L、 图(5) 图(6) 然后，设问双曲线接近的那两条直线的方程是 什么?其实到此时你不问学生也想知道、也在思考那 两条直线的方程是什么!它和双曲线方程有有什么 内在的联系呢! 同上一个问题一样大多数学生要在教师的帮助 下才能找到问题的答案，但教师仍可以让学生进行 讨论，也可能会有思维深刻的学生搞得懂教师可以 改变几何画板所作双曲线图象的实轴长和短轴 长并附以o、b的值引导学生进行观察(如图7、8) 通过以上过程学生可以猜得出那两条直线的斜率与 双曲线方程中的。、b有关事实上大多数学生可以 L 猜得出直线的方程为Y= 到此双曲线的渐近 “ 线这一几何性质已经是呼之

8、欲出了 对于双曲线的渐近线的性质要不要证明呢?笔 者认为可以不要严格证明!重在学生理解这一性质 可以通过两种方式来理解这一性质：一种是通过 =466 ： b=l 7 J _ _ 5 一 -一lI 27： | b=5 80 、 一 。 F 厶 m -川 图(7) 图(8) “形”，就如教材中所描述的那样，通过用几何画板 软件绘图说明；另一种是通过“数”来理解由于前 一种学生已经从前面的作图中观察到了，所以笔者 使用的是第二方式，即通过方程说明问题，过程如 下 ，2 2 双曲线的方程 一 =1可以变形为Y=b “ 【， r一 一1，若只考虑第一象限部分，可进一步变形成 为y= 、 ，当 一+B,-

9、j， 一 ， “ 从而y： =_ 一y= ，即双曲线所接近的 “ “ L 直线为Y= 0 这里有两点要说明： (一)学生在此时可能还没有学习极限的概念， 但不代表没有一点极限的思想，极限的思想也并不 是学习了极限概念就一下子有了，对于思想的教学 是要反复渗透的，本来曲线的渐近线性质就有含有 极限的思想，所以该渗透就不要回避，不要等到上了 大学再去学 (二)对于符号“一”尽可以换个说法如：“当 一+时”可以说成“当 很大很大时”，对于 “ 一0 一 ”完全可以说成“ 一口 接近于 (： ) 事实上，笔者在课堂实践中采用上述方式，运用 适当语言来解释双曲线的渐近线，取得了很好的效 果笔者认为此种做

10、法相比枯燥死板的证明更有意 义 接下来是对双曲线的离心率的学习，这一点同 椭圆的离心率的研究方法相似，除了在理论上证明 (这一点要由学生完成)，图形上的演示，同时还要 揭示离心率与渐近线斜率的关系 到此本节课核心内容已探究完成，接下来便是 6 中学数学研究 2012年第2期 提高文科生数学学习兴趣的策略木 广州市执信中学 (510080) 刘草明 白2007年文科数学与理科数学分卷高考后，文 科生逐年增多，增多的原因之一是文科数学相对理 科数学内容较少，难度较小从而吸引很多畏惧学习 数学的学生转向选学文科，据调查选学文科的学生 中，真正喜欢文科的学生不超过30，近70的学 生是理科学习有困难数

11、学学习有困难成因复杂，是 智力因素与非智力因素共同作用的结果所以尽管 文科数学内容比理科数学少，难度小，数学仍然是文 科生最难学的科目如何使大部分文科生不畏惧学 习数学，并且取得最大化的学习效益成为文科数学 教师面临的最大难题，个人认为激发文科生学习数 学的动机与兴趣是解决这一难题的突破口 美国的奥苏泊尔认为，尽管学生有各种各样的 学习动机，但几乎所有的学习动机都是与学生的学 业成就相关联的，因此“成就动机”是学习动机的核 心 有成就的学习活动，学生便对它感兴趣，只有学 生对学习感兴趣才能更好地学习因此们在教育教 学活动中运用各种教育教学手段与措施，经常给学 生以成功的体验，体会成就是我们组织

12、教学活动的 重要任务 一、上好文理分科后第一模块，增强学生的自 信心 (一)选择趣味性强的教学内容 心理学家研究发现，如果学习者的学习结果达 到了目标，会对以后的学习行为产生强化作用如果 学习结果没有达到预期的目标，则会对学习起消退 作用，使有关的学习行为减少或不再出现 文理分科后高二第一模块教学内容建议安排算 法初步、统计、概率这三个部分知识相对独立，与其 它模块关联性较小，难度也较小并且案例丰富，趣 味性强，实用性强比如：统计部分与学生们开展的 研究性学习的数据采集、统计、分析密切相关，有利 于吸引学生而且作业负担轻，学生能轻松完成，测 验成绩也不错学生从中获得学习数学的成就感，从 而增强

13、学好数学的信心 (二)教学形式要多样性，教学内容少而精 为维持学生的学习兴趣，应交替运用各种教学 方式，避免因教学方式单一造成枯燥乏味除了老师 讲解之外，也可以采取学生讲解、小组讨论、分组提 问、限时练习等形式文科班数学课堂讲授的知识、 技能与方法应以少而精为准则，多而杂的教学内容 会影响学生对重点知识的理解和掌握，学生抓不住 重点，就会增加心理负担 二、关注学习新知识的铺垫，降低学习门槛 研究表明，中等难度的学习任务有助于激发学 广州市教育科学“十一五”规划名师专项课题，项目编号：106003 对以上性质进行巩固练习，不作详细说明啦! 三、检测与反思 在之后的检测中，可以看到学生对本节课的学

14、 习效果是非常好的，对双曲线认识也比较深刻如下 面的题目两个班中只有一个学生做错 2 ，2 “过点(3，0)且与双曲线 一 =1只有一个 了 叶 公共点的直线有条” 在本节课教学设计中充分考虑数学的学科特 点，高中学生的心理特点，不同水平、不同兴趣学生 的学习需要，引导学生积极主动地学习，掌握数学的 基础知识和基本技能以及它们所体现的数学思想方 法，发展应用意识和创新意识从而学生的学习活动 不只限于接受、记忆、模仿和练习，学生的学习过程 也成为在教师引导下的“再创造”过程为学生形成 积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的条 件，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过 程中，养成独立思考、积极探索的习惯 参考文献 1中华人民共和国教育部普通高中数学课程标准R北京：人 民教育出版社2002 2章建跃数学教育心理学M北京：北京师范大学出版社， 2006，6 把课堂还给学生双曲线的简单几何性质的教学实践与反思作者： 王术江作者单位： 北京师范大学（珠海）附属高级中学,广东珠海,519080刊名： 中学数学研究英文刊名：年，卷(期)： 2012(2)参考文献(2条)1.中华人民共和国教育部 普通高中数学课程标准 20022.章建跃 数学教育心理学 2006本文链接：http:/