《中学数学课件 第二章：点、直线、平面和立体的投影(part1)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中学数学课件 第二章：点、直线、平面和立体的投影(part1)（116页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、投影法基础第二章 点、直线、平面 和立体的投影,投影的概念投 影：影子产生条件：光、物体、平面投 影 法：将光线射向物体，并向指定的面投射，并得到图形的方法。, 2-1 投影法的基本知识,投影方法,中心投影法,平行投影法,斜投影法,正投影法,画斜轴测图,画工程图样及正轴测图,投影法的基本知识,一、 中心投影法,物体,投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。,P,P,投射线,投影,投影中心,投影大小随物体位置改变,教学楼（透视图）,正投影,斜投影,投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好,工程图样多数采用正投影法绘制。,P,P,二、平行投影法,平行投影的基本性质 (
2、正投影的基本性质),5. 积聚性,1.从属性,2.平行性,3.定比性,4. 显实性,1.从属性: 直线上的点的投影仍在直线的投影上.,C,B,A,a,c,b,E,f,F,e,大写字母表示空间点，小写字母表示其投影。,2.平行性:,a,c,b,d,D,A,C,B,两平行直线 的投影仍相互平行.,3.类似性：,4.显实性 若线段和平面图形平行于投影面,则其投影反映实长或实形。,A,B,C,D,E,5.积聚性 若线段或平面的图形垂直于投影面，其投影积聚为一点或一直线段。,采用多面投影。,过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,一、点在
3、一个投影面上的投影,a, 2-2 点的投影,解决办法？,两个投影面,正立投影面（简称正面或V面）,水平投影面（简称水平面或H面）,投影轴,OX轴 V面与H面的交线,两个投影面互相垂直,向下翻,不动,二、点的两面投影,X,V,H,A,a,a,点的两面投影规律:, aaOX轴, aax= A到V面的距离,aax= A到H面的距离,X,a,ax,a,o,o,三、点的三面投影,投影面,正立投影面（简称正面或V面）,水平投影面（简称水平面或H面）,侧立投影面（简称侧面或W面）,投影轴,OX轴 V面与H面的交线,OZ轴 V面与W面的交线,OY轴 H面与W面的交线,三个投影面互相垂直,空间点A在三个投影面上
4、的投影,空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,向右翻,向下翻,不动,投影面展开,V与H面的投影都反映A点的X坐标。,W与H面的投影都反映A点的Y坐标,V与W面的投影都反映A点的Z坐标,点的任意两面投影已包含点的三个坐标，故根据点的任意两个投影也可确定点的空间位置。,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,点的投影规律:, aaOX轴, aax= aaz=y=A到V面的距离,aax= aay=z=A到H面的距离,aay= aaz=x=A到W面的距离,aaOZ轴,例：已知点的两个投影，求第三投影。,a,a,ax,az,az,解法一:,通过作
5、45线使aaz=aax,解法二:,用圆规直接量取aaz=aax,特殊位置点的投影,点在投影面上。,点在投影轴上。,四、两点的相对位置和重影点,两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。,判断方法：, x 坐标大的在左, y 坐标大的在前, z 坐标大的在上,B点在A点之前、之右、之下。,重影点：,空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。,A、B为H面的重影点,A、B为哪个投影面的重影点呢？,被挡住的投影加( ),( ), 2-3 直线的投影,两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。, 直线对一个投影面的投影特性,一、直线的
6、投影特性,直线倾斜于投影面 投影比空间线段短ab=AB,直线平行于投影面 投影反映线段实长ab=AB 真实性,直线垂直于投影面 投影重合为一点 ab=0 积聚性,直线投影的基本特性一般情况下，直线的投影仍然为直线，特殊情况为一个点。,投影面平行线,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般位置直线,统称特殊位置直线, 直线在三个投影面中的投影特性,判别方法：,A,B,C,V,H,b,c,c,b,a,a,定比定理,二、直线上的点,例：判断点C是否在线段AB上。,点C 在直线AB上,点C不在直线AB上,
7、例：判断点K是否在线段AB上。,a,b,因k不在a b上，故点K不在AB上。,还可应用定比定理来解答此题,a,b,k,a,b,k,(1) 投影面平行线,(1) 投影面平行线, 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角。, 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。,水平线,侧平线,正平线,投 影 特 性：,与H面的夹角: 与V面的角: 与W面的夹角: ,实长,实长,实长,(2) 投影面垂直线,反映线段实长。且垂直 于相应的投影轴。,(2) 投影面垂直线,铅垂线,正垂线,侧垂线, 另外两个投影，, 在其垂直的投影面上，,投影有积聚性。,投影特性:,(3) 一般位置直线,投影
8、特性：,三个投影都缩短了。即: 都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角，且与三根投影轴都倾斜。,从这张立体图可以分析出求一般位置直线实长的直角三角形法则。,B1,B2,B3,在直角ABB1中,AB1B=90 ，ABB1=，BB1=ab，AB1等于AB两点的Z坐标差，二者都是直角边。,同理，在直角ABB2和ABB3也可以找到两条直角边，从而可求出斜边(实长)长度。,|zA-zB|,1求直线的实长及对水平投影面的夹角角,2 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角,|yA-yB|,|yA-yB|,3求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角,例题1 已知 线段的实长AB，求它的水平投影。,ab,空间两直线
9、的相对位置可分为：,平行两直线,相交两直线,交叉（异面）两直线,三、两直线的相对位置, 平行两直线,投影特性：,空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。,a,b,c,d,c,a,b,d,例1：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,AB/CD,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,对于投影面平行线，只有这两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。若只用两个投影判断，则其中应包括反映实长的投影。,求出侧面投影后可知：,AB与CD不平行。,例2：判断图中两条直线是否平行。,求出侧面投影, 相交两直线,判别方法：,若空间两直
10、线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间同一个点的投影规律。,交点是两直线的共有点,例：过C点作水平线CD与AB相交。,先作正面投影,先作H面投影可以吗？,不可以。,1(2 ),3(4 ), 交叉两直线,投影特性：, 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间一个点的投影规律。, “交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。,、是面的重影点，、是H面的重影点。,为什么？,两直线相交吗？, 两同名投影平行，但字母顺序不同，或不成比例。,例题 判断两直线的相对位置,1d,1c,这种作图方法是根据什么？,结论？,两直线交叉,4、两直线垂直相交（或垂直交叉）,直角的
11、投影特性：,若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。,设 直角边BC/H面 因 BCAB, 同时BCBb 所以 BCABba平面,直线在H面上的投影互相垂直,即 abc为直角,因此 bcab,故 bc ABba平面,又因 BCbc,证明：,a,b,c,a,b,c,例：过C点作直线与AB垂直相交。,e,e,e,e,c,c,例 已知直线AB的两面投影和C点的水平投影,试过C点作一条直线CE垂直于AB,求直线CE的两面投影。,AB是一般位置直线，可作正平线或水平线与之垂直，在相应的投影面上反映出直角。,分析, 小 结 ,点与直线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影特性。点与直线及两
12、直线的相对位置的判断方法及投影特性。定比定理。,重点掌握：, 2- 4 平面的投影,一、平面的表示法,不在同一直线上的三个点,直线及线外一点,两平行直线,两相交直线,平面图形,二、平面的投影特性,实形性,类似性,积聚性, 平面对一个投影面的投影特性, 平面在三投影面体系中的投影特性,平面对于三投影面的位置可分为三类：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,铅垂面,1) 投影面垂直面,a,b,c,a,c,b,c,b,a,1) 投影面垂直面-,类似性,类似性,积聚性,铅垂面,投影特性：,水平投影面
13、上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角、 的大小。,另外两个投影面上的投影有类似性。,为什么？,铅垂面,正垂面,1) 投影面垂直面,1) 投影面垂直面-正垂面,投影特性？,侧垂面,1) 投影面垂直面,1) 投影面垂直面-侧垂面,投影特性？,2） 投影面平行面-水平面,投影特性：1、 abc、 abc积聚为一条线积聚为一条线，具有积聚性2 、 水平投影abc反映 ABC实形,2） 投影面平行面-正平面,投影特性：1、abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性2 、正平面投影abc反映 ABC实形,投影特性：1、 abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性2 、
14、 侧平面投影abc 反映 ABC实形,2） 投影面平行面-侧平面,3) 一般位置平面,投影特性1 、 abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形2 、 不反映、 的真实角度,（1),(2),是,面,是,面,例:已知平面的两个投影,求作其第三投影,并填空。,铅垂,侧垂,三、平面上的直线和点, 平面上取任意直线,a,b,c,b,c,a,d,n,m,例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。,解法一,解法二,根据定理二,根据定理一,有无数解。,例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距 离为10mm。,n,m,n,m,唯一解！, 平面上取点,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。,例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,平面上取点的方法：,首先面上取线,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,k,b,例3：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。,解法一,解法二,例4：已知四边形ABCD的V面投影ab和ad 求abcd。,1,c,1,例题5 已知 ABC给定一平面，试判断点D是否属于该平面。,
