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1、第三讲 导数与微分,求 导 法 则,基本公式,导 数,高阶导数,高阶微分,导数与微分,复习考试要求,1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。5.了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。,导数,我们再用极限来研究变量变化的快慢程度，这即是微分学中 的重要概念导数。,1. 定义,如果函数 f (x) 在点 x0
2、处的导数存在，那么称函数f (x) 在点 x0 处可导，反之，称为不可导。,1、导数的定义,导函数,注意：,记为,例题.设,存在，且,则,等于,A. 1, B. 0, C. 2, D. 0.5,分析：,导数定义的本质：,左、右导数,2、单侧导数,左导数与右导数:,在讨论分段函数在分段点的可导时，由于在分段点两侧表达式 可能不同，因此一般应从定义出发讨论其左、右导数。,例题. 讨论,在,处的连续性与可导性.,解：,所以,在,处连续,所以,因此,在,处可导。,题目的函数为：,当,时，,所以,因此,从而,在,处可导。,判断可导性的另一种方法：,2. 导数的几何意义,曲线的切线的斜率即为函数的导数。,
3、法线方程为：,= , = =f( ),例 求曲线,在点（2，8）处得切线方程和法线方程。,解 在点（2，8）处的切线斜率为,所以，所求切线方程为,所求法线斜率为,于是所求法线方程为,定理2.1 如果函数y=f（x）在点x0处可导，则它在x0处必定连续。由这个定理可知：若函数f（x）在x0不连续，则f（x）在x0处必定不可导。,3. 可导与连续的关系,由导数定义可知： 可导 必连续,不连续 必不可导,函数连续是函数可导的必要条件,可导一定连续，但是连续不一定可导。,连续一定有极限，但是有极限不一定连续。,例 求是否连续 可导,解：f（x）在x=0处连续。,f-(0)f+(0) f（x）=x在x=
4、0处不可导,例,解,(二) 曲线的切线方程及法线方程,例 9704设函数f（x）满足 ， 则f(0)= 解：,例 0303己知函数f(x)在点x0处可导， 且f(x0)=2，则 等于_,4,(三) 求导公式,函数在任意点 x 处的导数,仍是 x 的函数，称为 f (x)的导函数。,1. 基本导数表,2. 函数和、差、积、商的导数,3. 复合函数和反函数的导数,或,注意：,与,的区别,表示复合函数对自变量,求导,复合函数求导关键在于正确地分解复合函数，正确地运用复合函数求导法则。,表示复合函数对中间变量,求导,例求下列函数的导数,例 设,，求,解,例设,，求,解,，求,例设,4.反函数求导法则
5、如果x=（y）为单调可导函数，则其反函数y=f（x）的导数,例 求导,0602设函数y=e2x+5，则y=y=（e2x+5）=e2x（2x）=2e2x,例：设函数f（cosx）=1+cos3x，求f（x）,解：设cosx=t，则f（t）=1+t3， 即f（x）=1+x3， 所以f （x）=3x2 =3cos2x,利用导数定义求导数的解题步骤：,（1）求增量 y=f（x0+ x）-f（x0）,（2）算比值 x = x0+ (x0) ,（3）取极限lim 0 x = lim 0 x0+ (x0) ,注意：隐函数不一定能写为y=f(x)的形式，如x2+y2=1。故隐函数只是一种方程形式，不可能都具有
6、反函数，因为反函数的存在要求原函数是一一对应函数，,如果方程f(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。 而函数就是指：在某一变化过程中，两个变量x、y，对于某一范围内的x的每一个值，y都有确定的值和它对应，y就是x的函数。这种关系一般用y=f(x)即显函数来表示。 f(x,y)=0即隐函数是相对于显函数来说的。,(1) 隐函数的导数,例 求由方程,所确定的隐函数的导数,解:,方程两端对x求导数，得,例 求椭圆,在点,处的切线方程.,解:,所求切线斜率为,方程两边对x求导,得,利用先取对数再求导的求导方法称为对数求导法。,(2) 对数求导法,两边对x求导数，得,解：
7、两边取对数，得,例 求函数,的导数.,(3) 参变量函数的求导法则,曲线t =1在处的切线斜率为,于是所求的切线方程为 y =x,（四）求导方法,隐函数的导数,(2)对数求导法,方一：解出方程y=f(x)+再求导； 方二：等号两边同时对x求导,先取对数+再求导,对数求导法适用于幂指函数,以及多因子乘积（或商）函数的导数,方二在求导过程中要y=f(x)视为x的函数,即把y视为中间变量。,(五) 高阶导数,1 . 高阶导数概念,为了形式上统一,即有 y（n-1）=yn (n=2，3，4)，二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数。,二阶及二阶以上阶导数统称为高阶导数,例 设y=sin 2x 则y=_,解
8、：y=cos2x(2x)=2 cos2xy=2(-sin2x)(2x)= - 4sin2x,则y=_,例,例30311设函数y=x2+e2x,则y的50阶 导数y（50）=_.,微分,微分 y=Ax+o(x),1. 微分的定义,微分是微积分学中又一基本概念，它和导数有着极其密切的关系。,定义：设函数 y = f (x)在 x0 的某个邻域内有定义,如果 存在一个与 x 无关的量 A 及一个 x 的高阶无穷小o(x) ，使得函数增量 y 可表示为 y=Ax+o(x) ，则称函数 f (x) 在点 x0 处微分存在 , Ax 称为函数在 x0 处的微分，,(微分的实质),若函数 f (x) 在点
9、x0 的微分存在，则称函数在该点可微。,3 . 微分与导数的关系,2 . 微分的几何意义,自变量在点x处有一改变量x时，y是曲线y=f(x)上点的纵坐标改变量NT，而TM是y与dy之差，当x0时，它是x的高阶无穷小量。,MN=x，NM=yNT=MNtan =f(x)x=dy,为了形式上统一，记 dx= x ，则 dy = f (x)dx,任意点 x 处的微分称为函数的微分，记作 dy 或 df (x)即 dy = f (x) x,求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.,可微可导,定理2.2 函数y=f(x)在点x可微的必要充分条件是f(x)在x处可导，而且A(x)=f(x)，即dy=A(x)
10、dx=f(x)dx,等价,4 . 基本微分表和微分运算法则,dy=f(x)dx 求微分dy只要求出导数f(x)再乘以dx， 所以我们前面学过的求导基本公式与求导法则完全适用于微分的计算。,（c为常数）,(a0,a),微分运算法则,5.微分形式不变性 设函数y=f(u)，则不论u是自变量还是中间变量，函数的微分dy总可表示为 dy=f(u)du,解法一：y=4x3sinx+x4cosx dy=ydx=（4x3 sinx+x4cosx）dx 解法二：dy=d（x4sinx） =dx4sinx+x4dsinx =4x3dxsinx+x4cosxdx =（4x3sinx+x4cosx）dx,例：设函数y=arctanx2，求dy.,例 06 22设函数y=x4 sinx，求dy,例.求函数的微分,d(u)=,d(u)=+,d( )= + 2,d(Cu)=,例.求函数的微分,d(u)=+,d( 2 y)= 2 + 2 =2+ 2 ,例. 设,求,分析 ：,是R上的可导函数，但由于乘积因子过多，直接,应用乘积函数求导法则或对数求导法则很麻烦。此时可试用导数定义。,解：方法一,方法二 分析函数的表达式特点及求导点为,令,其中,则,故,（一）洛必达法则,导数的应用,
