[数学]第6章_利用MATLAB语言求解科学运算问题

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1、9/4/2018Friday, 2009-4- 24, 19:37:23,数学建模课程模板 东北大学信息学院,第6章 利用MATLAB语言 求解科学运算问题,东北大学信息学院 薛定宇,9/4/2018Friday, 2009-4- 24, 19:37:23,数学建模课程模板 东北大学信息学院,本课程参考书 薛定宇、陈阳泉，高等应用数学问题的MATLAB求解，2004,2008，清华大学出版社 （用于以后求解问题参考） MATLAB语言符号运算局限性： 目前只支持32位MATLAB运行，在64位操作系统上必须安装32位版MATLAB 从MATLAB 2008b开始，符号运算放弃了Maple内核，

2、改用MuPAD作为符号运算引擎，功能变弱了很多，好些问题不能再求解了,9/4/2018Friday, 2009-4- 24, 19:37:23,数学建模课程模板 东北大学信息学院,本章内容提要 （内容多，因学时限制，入门介绍） （详细内容查阅参考教材）,解析解与数值解 ch1 线性代数问题求解 ch4 简单介绍 非线性方程求解 ch6 最优化问题求解 ch6 微分方程求解 ch7 数据插值、处理与拟合 ch8 其他应用,9/4/2018Friday, 2009-4- 24, 19:37:23,数学建模课程模板 东北大学信息学院,6.1 解析解与数值解,由已知公式一步步推导出的解 例如，高等数学

3、计算，复杂问题不能手工求解，需要借助计算机 解析解不存在或不现实，需要数值解 不存在不存在 p，工程应用3.14159即可 高阶矩阵的行列式，计算量,9/4/2018Friday, 2009-4- 24, 19:37:23,数学建模课程模板 东北大学信息学院,6.2 线性代数问题的计算机求解,矩阵分析问题由简单命令即可 行列式 det(A) 特征值 eig(A)，v,d=eig(A) 逆矩阵 inv(A)，伪逆pinv(A) 范数 norm(A,1), norm(A,2), norm(A,inf) 特征多项式系数 poly(A) 函数调用方法 eig(A), eig(sym(A),9/4/20

4、18Friday, 2009-4- 24, 19:37:23,数学建模课程模板 东北大学信息学院,6.2.2 其他线性代数问题求解,线性代数方程求解 解的判定矩阵 三种情况 唯一解 无穷多解 无解，最小二乘解 Lyapunov方程、Riccati方程等 lyap、are等函数可以直接求解 矩阵函数求解,9/4/2018Friday, 2009-4- 24, 19:37:23,数学建模课程模板 东北大学信息学院,6.3 非线性方程求解,非线性方程的解析解 什么时候存在解析解？ 单变量多项式方程 可以转换成单变量多项式方程的多元方程 准解析解 非线性方程的数值解 图解法 任意指定初值进行搜索求解

5、非线性矩阵方程的求解,9/4/2018Friday, 2009-4- 24, 19:37:23,数学建模课程模板 东北大学信息学院,6.3.1 非线性方程的解析解求解,MATLAB的solve函数可以求解方程简单例子：鸡兔同笼问题的直接求解 数学问题MATLAB求解语句,9/4/2018Friday, 2009-4- 24, 19:37:23,数学建模课程模板 东北大学信息学院,复杂例子 数学形式MATLAB求解语句（准解析解）解的检验,9/4/2018Friday, 2009-4- 24, 19:37:23,数学建模课程模板 东北大学信息学院,另一个复杂例子求解检验,9/4/2018Frid

6、ay, 2009-4- 24, 19:37:23,数学建模课程模板 东北大学信息学院,非线性方程的准解析解,考虑非线性方程求解验证问题：该方程只有这一个解吗？,9/4/2018Friday, 2009-4- 24, 19:37:23,数学建模课程模板 东北大学信息学院,6.3.2 一元、二元方程的图解法,图解法只适合求解一元、二元方程 利用隐函数绘制函数ezplot，辅以hold on，可以把联立方程的解画在一个坐标系下 重解前例MATLAB语句,9/4/2018Friday, 2009-4- 24, 19:37:23,数学建模课程模板 东北大学信息学院,6.3.3 一般非线性方程的数值求解,

7、方程的标准型其中， 均是列向量或矩阵，维数相同 求解步骤： 选择变量 ，将非线性方程表示成标准型形式 编写MATLAB程序描述原方程 *.m函数形式、inline函数、匿名函数形式 调用fsolve函数求解方程,9/4/2018Friday, 2009-4- 24, 19:37:23,数学建模课程模板 东北大学信息学院,求解实例，仍考虑前面例子选择变量 ，则向量形式,9/4/2018Friday, 2009-4- 24, 19:37:23,数学建模课程模板 东北大学信息学院,用MATLAB描述 匿名函数描述MATLAB函数描述，生成 myeq.m文件求解、验证,9/4/2018Friday,

8、2009-4- 24, 19:37:23,数学建模课程模板 东北大学信息学院,提高求解精度 停止迭代条件TolXTolFunMaxIter: 最大迭代步数超限，默认500步 设置方法求解、检验寻找其他解：换初值,9/4/2018Friday, 2009-4- 24, 19:37:23,数学建模课程模板 东北大学信息学院,6.3.4 非线性矩阵方程计算机求解,能直接求解矩阵方程 举例，扩展Riccati方程其中求解、检验、其他解,9/4/2018Friday, 2009-4- 24, 19:37:23,数学建模课程模板 东北大学信息学院,想办法找出全部的解,没有解析解方法可以找出 尝试代码, 找

9、到16个矩阵满足要求,9/4/2018Friday, 2009-4- 24, 19:37:23,数学建模课程模板 东北大学信息学院,6.3.5 求解方法比较、总结,图解法 局限性：一元二元，精度低 优点：显示出感兴趣区域全部实根 准解析解方法 局限性：多项式类方程、不能选择初值 优点：全部根包括复根、精度高 一般数值解法 局限性：实根、依赖于初值 优点：任意非线性方程、精度适中、矩阵方程,9/4/2018Friday, 2009-4- 24, 19:37:23,数学建模课程模板 东北大学信息学院,6.4 最优化问题求解,无约束最优化问题 有约束最优化问题 特殊问题 线性规划 二次型规划 一般问

10、题 进化算法及其全局最优解法 整数规划、混合整数规划、0-1规划 动态规划与最短路径求解,9/4/2018Friday, 2009-4- 24, 19:37:23,数学建模课程模板 东北大学信息学院,6.4.1 无约束最优化问题求解,数学形式 ，最大值问题的变换 物理意义介绍 目标函数描述 匿名函数、M函数MATLAB求解,9/4/2018Friday, 2009-4- 24, 19:37:23,数学建模课程模板 东北大学信息学院,无约束最优化求解举例求解步骤 变换成标准型，引入 ，则描述目标函数求解,9/4/2018Friday, 2009-4- 24, 19:37:23,数学建模课程模板

11、东北大学信息学院,图形验证中间过程,9/4/2018Friday, 2009-4- 24, 19:37:23,数学建模课程模板 东北大学信息学院,带有变量边界约束的最优化问题,数学描述问题求解方法 可以按照有约束最优化问题求解 利用免费工具箱求解http:/ 2009-4- 24, 19:37:23,数学建模课程模板 东北大学信息学院,最优化问题求解其他考虑,全局最优解和局部最优解 几何解释 如何避免 初值考虑、多初值 并行算法，如遗传算法 最优化加速算法 最优区域过于平缓 考虑采用利用梯度信息,9/4/2018Friday, 2009-4- 24, 19:37:23,数学建模课程模板 东北大

12、学信息学院,6.4.2 有约束最优化问题的求解,有约束最优化问题的数学形式约束条件，不等式的处理 特殊形式 线性规划问题 二次型规划形式 一般最优化问题,9/4/2018Friday, 2009-4- 24, 19:37:23,数学建模课程模板 东北大学信息学院,线性规划问题,一般数学形式MATLAB求解,9/4/2018Friday, 2009-4- 24, 19:37:23,数学建模课程模板 东北大学信息学院,线性规划问题举例提取矩阵、向量，对号入座求解,9/4/2018Friday, 2009-4- 24, 19:37:23,数学建模课程模板 东北大学信息学院,双下标线性规划问题举例线性

13、规划不能直接求解双下标问题 引入变换，变成单下标问题，如,9/4/2018Friday, 2009-4- 24, 19:37:23,数学建模课程模板 东北大学信息学院,变换后的问题求解,9/4/2018Friday, 2009-4- 24, 19:37:23,数学建模课程模板 东北大学信息学院,二次型规划问题求解,数学标准型MATLAB求解函数注意事项 注意1/2系数,9/4/2018Friday, 2009-4- 24, 19:37:23,数学建模课程模板 东北大学信息学院,一般有约束非线性规划问题求解,数学形式MATLAB求解,9/4/2018Friday, 2009-4- 24, 19:

14、37:23,数学建模课程模板 东北大学信息学院,非线性规划举例非线性约束条件的MATLAB描述目标函数,9/4/2018Friday, 2009-4- 24, 19:37:23,数学建模课程模板 东北大学信息学院,求解另一种求解方法,9/4/2018Friday, 2009-4- 24, 19:37:23,数学建模课程模板 东北大学信息学院,实际最优化问题举例,数学形式多个变量需要优化，不能直接求解 引入决策变量进行替换，生成 x 向量,9/4/2018Friday, 2009-4- 24, 19:37:23,数学建模课程模板 东北大学信息学院,变换后的最优化问题标准型非线性规划 线性等式不等

15、式约束、非线性等式约束,9/4/2018Friday, 2009-4- 24, 19:37:23,数学建模课程模板 东北大学信息学院,非线性约束问题求解,9/4/2018Friday, 2009-4- 24, 19:37:23,数学建模课程模板 东北大学信息学院,6.4.3 进化算法及全局最优解法,为什么要引入进化算法？ 传统方法过于依赖初值，容易产生局部最优解 一元函数举例,9/4/2018Friday, 2009-4- 24, 19:37:23,数学建模课程模板 东北大学信息学院,常用进化算法 遗传算法 PSO粒子群优化算法 蚁群算法 遗传算法的基本思路 基于生物界优胜劣汰、适者生存法则寻优 同时从多点开始并行搜索全局最优点 用数学方法实现了交叉、遗传、变异等 常用概率方法进化，每次的结果不同,9/4/2018Friday, 2009-4- 24, 19:37:23,数学建模课程模板 东北大学信息学院,遗传算法最优化工具箱(GAOT)下载 http:/www.ise.ncsu.edu/mirage/GAToolBox/gaot/ 主函数调用遗传算法与直接搜索工具箱（GADS）,两个遗传算法工具箱可以使用,9/4/2018Friday, 2009-4- 24, 19:37:23,