[工学]机械控制原理02

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1、控制原理,控制原理,2. 系统的数学模型,本章主要教学内容,END,2.1 物理系统建模,2.1.1 系统数学模型的定义 2.1.2 建立数学模型的基础 2.1.3 提取数学模型的步骤,本节主要内容,Back,系统框图,恒温箱自动控制系统,2.1.1 系统数学模型的定义,Back,系统框图,1. 系统构成的要点,Back,t u2 u ua n v u t,系统是否能正常地工作，取决各个物理量之间相互作用与相互制约的关系。,存在物理量的变换; 存在能量传递和形式的转换; 由动态到最后的平衡状态-稳定运动.,由若干个元件相互配合起来就构成一个完整的控制系统。,2. 数学模型定义,解析法依据系统及

2、元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。实验法人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。,3. 建立数学模型的方法,描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程，也称为动力学方程或系统微分方程。,Back,4. 数学模型的形式,时间域： 微分方程差分方程状态方程复数域： 传递函数结构图(方框图)频率域： 频率特性,Back,2.1.2 建立数学模型的基础,微分方程（连续系统）,机械运动： 牛顿定理、能量守恒定理 电学： 欧姆定理、基尔霍夫定律 热学： 传热定理、热平衡定律,数学模型的准确性和简化,差分方程 （离

3、散系统）,线性与非线性 分布性与集中性 参数时变性,机械运动的实质： 牛顿定理、能量守恒定理,阻尼 B,质量 M,弹簧 K,1. 机械运动系统的三要素,(1) 机械平移系统,1）微分方程的系数取决于系统的结构参数 2）阶次等于独立储能元件的数量,(2) 机械旋转系统,Back,2. 电气系统三元件,电学：欧姆定理、基尔霍夫定律。,RLC 串联网络电路,3. 相似物理系统,Back,2.1.3 提取数学模型的步骤,划分环节写出每一环节(元件) 运动方程式消去中间变量写成标准形式,1. 划分环节,(2) 由运动方程式 (一个或几个元件的独立运动方程）,(1)按功能(测量、放大、执行),2. 写出每

4、一环节(元件) 运动方程式,找出联系输出量与输入量的内部关系，并确定反映这种内在联系的物理规律。 数学上的简化处理，（如非线性函数的线性化，考虑忽略一些次要因素）。,例1 2级减速齿轮传动系统,折算转动惯量 折算力矩 折算阻尼系数,Back,例2 2级RC无源网络,Back,2.2 非线性系统模型的线性化,Back,2.2.1 常见非线性模型,1. 常见非线性情况,2. 单摆(非线性),是未知函数 的非线性函数， 所以是非线性模型。,线性微分方程中各阶导数前的系数不能是未知函数或变量的非线性函数.,3. 液面系统(非线性),是未知函数h的非线性函数，所以是非线性模型。,2. 线性化问题的提出,

5、有条件存在,只在一定的工作范围内具有线性特性.,可以应用叠加原理，以及应用线性系统理论对系统进行分析和设计。,线性系统缺点：,线性系统优点：,Back,2.2.3 线性化方法,以该微小偏差替代微分方程中的变量，则微分方程中各变量就不是它们的绝对变化值，而是它们对额定工作点的偏差。,假设：在控制系统整个调节过程中，所有变量与其稳态值之间只会产生足够微小的偏差。,非线性方程 局部线性增量方程,(1)微小偏差法(增量法),2. 增量方程,将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点，这时，系统所有的初始条件均为零。,注：导数根据其定义是一线性映射

6、，满足叠加原理。,增量方程的数学含义,3. 多变量函数泰勒级数法,4. 单变量函数泰勒级数法,函数y=f(x)在其平衡点(x0,y0)附近的泰勒级数展开式为：,略去含有高于一次的增量x=x-x0的项，则：,注： 非线性系统的线性化模型，称为增量方程。 y=f(x0)称为系统的静态方程,例1 单摆模型(线性化),Back,例2 液面系统线性化,常数！,Back,Back,2.3 拉氏变换及其反变换,2.3.1 拉氏变换的定义 2.3.2 拉氏变换的计算 2.3.3 拉氏变换求解方程,本节主要内容,2.3.1 拉氏变换的定义,设函数f(t)满足：(1) f(t)实函数；(2) 当t0时 ，f(t)

7、=0；(3) 当t0时，f(t)的积分 在s的某一域内收敛,拉氏反变换的定义,其中L1为拉氏反变换的符号。,Back,高等函数初等函数,指数函数三角函数单位脉冲函数单位阶跃函数单位速度函数单位加速度函数幂函数,2.3.2 拉氏变换的计算,1. 计算举例,Back,指数函数的拉氏变换,Back,三角函数的拉氏变换,Back,幂函数的拉氏变换,Back,单位阶跃函数的拉氏变换,Back,单位速度函数的拉氏变换,Back,单位脉冲函数的拉氏变换,Back,单位加速度函数的拉氏变换,Back,2. 拉氏变换的主要运算定理,线性定理 微分定理 积分定理 位移定理 延时定理 卷积定理 初值定理 终值定理,

8、Back,线性定理,比例定理,叠加定理,Back,微分定理,Back,多重微分,原函数的高阶导数 像函数中s的高次代数式,Back,积分定理,Back,多重积分,Back,位移定理,Back,延时定理,Back,变量置换法,(变量置换),Back,终值定理,Back,初值定理,Back,卷积定理,Back,3. 拉氏反变换方法,条件:分母多项式能分解成因式.,部分分式法的求取拉氏反变换,2.3.3 拉氏变换求解线性微分方程,将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程； 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式; 应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。,微分方程式的解,正弦函数 Bsin(t+)

9、,指数函数 Aeat,微分方程式的各系数,起始条件,外部条件,a、,A、B、,应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式中，因此，不需要根据初始条件求积分常数的值就可得到微分方程的全解。 如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏变换可以简单地用sn代替dn/dtn得到。,Back,2.4 系统的传递函数,(注:本节是本章乃至本课程的重点.),Back,2.4.1 传递函数的定义,式中, Xi(s)系统输入量的拉氏变换, Xo(s)系统输出量的拉氏变换。,在零初始条件 (输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即t 0 时，输出量及其各阶导数也均为0 )下，

10、线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。,Back,1. 举例1: 复杂机械系统,举例2:,整理后：,质量m的力平衡方程为,设初始条件为零，且,可得该系统的传递函数：,初始条件为零时微分方程拉氏变换,系统的传递函数:,2 系统传递函数的一般形式,Back,3. 特征方程及放大系数,N(s)=0 系统的特征方程 特征根特征方程决定着系统的动态特性。N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。,(从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。K 系统处于静态时，输出与输入的比值。),4 零点和极点,M(s)=b0(s-z1)(s-z2)(s-zm)=0的根s=zi(i=1,

11、2, , m)，称为传递函数的零点。 N(s)=a0(s-p1)(s-p2)(s-pn)=0的根s=pj(j=1, 2, , n)，称为传递函数的极点。,！系统传递函数的极点就是系统的特征根。 ！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。,5 零点、极点分布图,将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形。零点用“O”表示 极点用“”表示,6 结论,传递函数是复数s域中的系统数学模型。其参数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入形式无关。,传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性，即以系统外部的输入输出特性来描述系统的内部特性。若输入给定，则系统输出特性完全由传递函数G(s

12、)决定。,Back,注意,传递函数只适用于线性定常系统; 只适合于单输入单输出系统的描述; 无法描述系统内部中间变量的变化情况; 传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律; 传递函数中的各项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等，完全取决于系统结构参数。,Back,2.4.2 典型环节的传递函数,设系统有 b 个实零点; d个实极点; c 对复零点; e对复极点; v 个零极点,1. 典型环节的产生,去掉微、积分环节，再令s0,环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理装置或元件. 一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成. 同一元件在不同系统中作用不同,输入输出的物理量不同

13、,可起到不同环节的作用.,说明,2 放大环节/比例环节,例1 齿轮传动,齿轮传动副如图所示, xi 、 xo分别为输入、输出轴的转速, z1、z2 分别为输入和输出齿轮的齿数。,当不考虑齿轮的弹性变形及传动间隙时，该传动副应满足如下关系,即,例2 共发射极晶体管放大器,3. 惯性环节,说明: 惯性环节存在储能元件和耗能元件 输出落后于输入量,不立即复现突变的输入,例1 弹性弹簧,弹簧能量的贮存和释放受制于阻尼器的耗能,电容能量的贮存受制于电阻的耗能,以上两例表明： 只要系统中含有储能元件和耗能元件,系统就会具有惯性特性。 不同的物理系统可以具有相同的传递函数。,例2 图2.2.6为一弹簧-阻尼

14、系统。xi为输入位移，xo为输出位移。该系统的动力学方程为：,对上式两边进行拉氏变换：,可得系统传递函数,式中T=c/k 。,4. 积分环节,如当输入量为常值A时,输出量须经过时间T才能达到输入量在t = 0时的值A。,说明,积分环节具有明显的滞后作用,例1 如图有效面积为A的柱塞缸输入流量为q,输出为位移x ,其运动方程,例2 积分运算放大器,5. 微分环节,(理想微分),运动方程式：,传递函数：,例1 测速发电机,!无负载时,例2 RC微分网络,图2.2.8为微分运算电路，ui为输入电压，uo为输出电压。由运算放大器的虚地概念可得系统的微分方程,则系统传递函数,由于i1与i的等式只是近似的

15、,所以该微分关系也只是近似的.,6. 二阶振荡环节,传递函数:,式中,n为无阻尼固有频率;T为振荡环节的时间常数, T=1/n; 为阻尼比.,微分方程：,当01, 输出为一振荡过程, 此时二阶环节为振荡环节; 当1时,输出为一单调指数上升曲线, 最后达到常数输出. 此时, 二阶环节为两个一阶惯性环节的组合.,说明,振荡环节是二阶环节，但二阶环节不一定是振荡环节。,对二阶环节作阶跃输入时, 输出有两种情况:,振荡环节存在不同形式的储能元件,振荡过程就是元件间能量转换的过程.,例1 图2.2.18所示为一作旋转的扭转惯量-阻尼-弹簧系统。 在转动惯量为J的转子上带有叶片与弹簧, 其弹簧扭转刚度与粘性系数分别为k与c。当输入外扭矩M时,转子转角作为输出, 系统的动力学方程为:,得传递函数为:,式中,当01, 输出为一振荡过程, 此时系统为振荡环节.,例2 图2.2.19所示为电感L、电阻R与电容C的串、并联线路,ui为输入电压,uo为输出电压。电路的动力学方程为：,若取,LRC电路与惯量-阻尼-弹簧的机械系统相似.,消去中间变量,得:,其传递函数为,7 延时环节,运动方程式：,传递函数：,环节的时间常数,超越函数近似处理,