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1、第 7 章 应力状态和强度理论,7-1 概述,一.前面讨论了：,杆件在基本变形情况下横截面上的应力,并根据横截面上的最大应力建立了强度条件,例如：,1.轴向拉伸（压缩）,2.扭转,3.弯曲,上述强度计算中认为：杆件是沿横截面破坏的,实际上,有一些杆件是沿横截面破坏的,例如：,铸铁在拉伸时,低碳钢在扭转时,另一些杆件是沿斜截面破坏的,例如：,铸铁在压缩时,铸铁在扭转时,前面所建立的强度条件不能用于这类构件的强度计算,必须建立新的强度条件，必须研究斜截面上的应力,轴向拉伸（压缩）中，斜截面上的应力：,不同的斜截面上的应力情况是不同的,任意两个斜截面上的应力有必然的联系,二.一点的应力状态,一点的应
2、力状态：,受力杆件内任一点在各个截面上应力状况的集合,称为该点的应力状态。,例如：在轴向拉伸（压缩）时,由于铸铁的抗切能力较弱,铸铁在轴向压缩时的破坏实际上是由max引起的,三、应力状态的表示方法,单元体,边长为无穷小的正六面体,单元体的特点：,1.边长无穷小，相邻面垂直，对面平行；,2.各面上的应力均匀分布；,3.相平行面上的应力相等。,围绕该点截取一单元体，并标出各面上的应力,表示方法：,围绕该点截取一单元体，并标明各面上的应力,表示方法：,主平面切应力为零的平面,主应力主平面上的正应力,围绕该点截取一单元体，并标明各面上的应力,表示方法：,可以证明：,受力构件的任一点可以找到三个相互垂直
3、的主平面,即：受力构件的任一点有三个主应力,主应力单元体受主应力作用的单元体,规定：按代数值大小排列成,单向应力状态,四、应力状态的分类,只有一个主应力不等于零的应力状态,二向应力状态, 有 二个主应力不等于零的应力状态,三向应力状态, 三个主应力都不为零的应力状态,单向应力状态,四、应力状态的分类,简单应力状态,二向应力状态,平面应力状态,三向应力状态,空间应力状态,复杂应力状态,1.单向应力状态,五、应力状态的实例,轴向拉伸杆件内的任一点,锅炉或其它薄壁圆筒形容器壁上的任一点,2.二向应力状态,轴向应力：,环向应力：,在滚珠轴承中，滚珠与外圈接触点 A,3.三向应力状态,7.2 平面应力状
4、态分析,平面应力状态是工程中常见的应力状态，例如：,一、概述,1. 受扭转的轴,2. 受平面弯曲的梁,3. 受蒸汽压力的薄壁圆筒,平面应力状态通常用平面图形表示,二. 应力分析的解析法,（1）斜截面应力,：拉应力为正 ：顺时针转动为正 ：逆时针转动为正,平衡对象用斜截面截取的微元局部,平衡方程, 参加平衡的量应力乘以其作用的面积,2.斜面上的应力微元体的平衡方程,法向的平衡,切向平衡,注：三角公式,讨论：,例 图示一矩形截面简支梁，在跨中有集中力F作用。已知： 求离左支座 处截面上C点在斜截面 上的应力。,解：,7.2 平面应力状态分析,例 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。,2.主应力
5、,1.斜截面应力,注意：20的值与其所在的象限有关，而其所在象限与计算式中分子、分母的正负有关，即：,IV象限。,注意：20的值与其所在的象限有关，而其所在象限与计算式中分子、分母的正负有关，即：,I象限；,II象限；,III象限；,方位角0为：,由,由：,例 讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试样受扭时的破坏原因,解：,试样内任一点处于纯剪切应力状态,纯剪切应力状态为二向应力状态,铸铁试样受扭时的破坏是由拉应力所致，且由外向内逐渐破坏,例用解析法求图示单元体的,(1)指定斜截面上的正应力和剪应力; (2)主应力值及主方向，并画在单元体上； (3)最大剪应力值。,解：,三、平面应力状态分析的
6、图解法,由,有,圆的方程,圆心为,半径为,的圆,应力圆,莫尔圆,应力圆上的点与单元体斜截面上的应力一一对应,1.原理,2.应力圆的作法,(1)选取平面直角坐标系 ；,(2)按比例标出D1(x,xy)和D2(y,yx)两点；,(3)用直线连接D1和D2两点，交 轴于C点；,(4)以C为圆心，以CD1或CD2为半径作圆，即得应力圆,证明：由此作出的圆为应力圆,圆心：,半径：,3.应力圆与单元体的对应关系,(1)利用应力圆确定单元体任一斜截面上的应力,将半径逆时针旋转2角,注意：单元体上逆时针转 应力圆上逆时针转2,(2)利用应力圆确定主应力与主平面,(3)利用应力圆确定极值切应力及其作用面,应力圆
7、的几种对应关系,(3)转向对应半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；,(4)二倍角对应半径转过的角度是方向面旋转角度的两倍。,(1)单元体与应力圆对应 单元体的应力分量已知一般来说对应着唯一的应力圆；,(2)点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向上的正应力和切应力；,解：C点应力状态如图b所示，其拉应力和切应力为：,例 图示圆轴中，已知：圆轴直径d=100mm，轴向拉力F=500kN，外力矩Me=7kNm。求C点 =30截面上的应力。,图示斜截面上应力分量为：,解：按一定比例画出应力圆。,例 用图解法求图示 =30斜截面上的应力值。,图示应力状态有：,按一定比例，作出应力圆，并找到斜
8、截面对应的点，量取其坐标可得：,则x、y截面在应力圆上两点为：,例 求图a所示应力状态的主应力及方向。,解：1、应力圆图解法：,因为：,所以：,按一定比例作出应力圆（图b）。,由应力圆通过直接量取，并考虑主应力的大小关系可得：,由此可得：,主应力单元体以及主平面的方位如图c所示：,2、解析法 ：,所以：,例分别用解析法和图解法求图示单元体的,(1)指定斜截面上的正应力和剪应力; (2)主应力值及主方向，并画在单元体上； (3)最大剪应力值。,解：()使用解析法求解,()使用图解法求解,作应力圆，从应力圆上可量出：,例一点处的应力状态如图所示，试用应力圆求主应力。,CL10TU70,低碳钢,铸铁
9、,例 讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析低碳钢、铸铁试件受扭时的破坏现象。,圆筒形薄壁压力容器，内径为 D、壁厚为 t，承受内力p作用,圆球形薄壁容器，壁厚为 t，内径为D，承受内压p作用。,例一点的应力状态如图所示（应力单位 MPa），试作应力圆求主应力及其作用平面。,327，-237,127，-73,7.3 三向应力状态,一、应力圆,已知1、2、3,与3的主平面垂直的斜截面上的应力仅与1和2有关,与1的主平面垂直的斜截面上的应力仅与2和3有关,与2的主平面垂直的斜截面上的应力仅与3和1有关,研究表明：,任意斜截面abc上的应力必位于以上述三个应力圆,为边界所围成的区域内,研究表明：,任意斜截
10、面abc上的应力必位于以上述三个应力圆,为边界所围成的区域内,二、最大切应力,由应力圆可知：,注意区别：,一点的最大切应力,平面应力状态中的最大切应力,例 试求图示应力状态的主应力和最大切应力。,解：,主应力：,最大切应力：,(a),对(b)：,(b),(c),对(a)：,例求图示应力状态的主应力和最大剪应力（应力单位为MPa）。,解：,例 用应力圆求图a所示应力状态的主应力、主平面，最大切应力max及作用面。,解：由图示应力状态可知z=20MPa为一主应力，则与该应力平行的斜截面上的应力与其无关。可由图b所示的平面应力状态来确定另两个主应力。,最后依据三个主应力值可绘出三个应力圆，如图d。,
11、作用面与2平行而与1成45角，如图e所示。,最大剪应力对应于B点的纵坐标，即,解析法：,圆筒形薄壁压力容器，内径为 D、壁厚为 t，承受内力p作用,7.4 平面应变状态分析,一、平面应变的概念,一点的应变状态受力构件内一点在各个方向应变,平面应变状态构件内某点仅发生在同一平面内,实验应力分析方法：,的应变状态,(1) 用电阻应变仪测出构件表面某点几个方向线应变,(2) 对该点进行应变状态分析,(3) 根据胡克定律求出该点的应力状态,构件自由表面上的点的变形一般处于平面应变状态,情况的集合,规定：,正应变 (线应变)：伸长为正，缩短为负,切应变 (角应变)：使直角增大为正，减小为负,问题：,已知
12、：O点的x、y、 xy,求：O点的 、 ,2.图解法,分析方法：,规定： 逆时针为正，顺时针为负,1.解析法,二、平面应变分析的解析法,应用叠加原理,1.线应变,应用叠加原理,应用叠加原理,2.切应变,x轴的转角 (顺时针方向),应用叠加原理,2.切应变,y轴的转角 (顺时针方向),即： 方向的应变为, 方向的应力为,可见：,三、平面应变分析的图解法,四、主应变,主应变一点的两个相互垂直方向的切应变为零时,沿这两个方向的线应变,（即：一点的极值线应变）,四、主应变,大小：,方向：,主应变的方向是相互垂直的,对于各向同性材料，主应变的方向与主应力的方向相同,五、极值切应变,大小：,方向：,与主应
13、变方向成45,六、由任意三个方向线应变求主应变, 方向的应变为,即：一点的应变可由x、y、xy描述,在实验应力分析中，通常测出构件表面某点沿三个,先确定出x、y、xy ，再求出该点的主应变及方向,不同方向的线应变,在实验应力分析中，通常测出构件表面某点沿三个,例如：直角应变花,不同方向的线应变,( =0， =45， =90 ),各种应变计：,已知，ex= 345106， e45= 208106 , ey= 149106。 试求主应变的数值和方向。,例 题,解:,7.5 广义胡克定律,一、广义胡克定律,1.单向应力状态,或,2.纯剪切应力状态,或,3.复杂应力状态,(1)主应力情况,3.复杂应力
14、状态,(1)主应力情况,3.复杂应力状态,(1)主应力情况,用主应力和主应变表示的广义胡克定律,3.复杂应力状态,(2)一般应力情况,对于各向同性材料：,线应变只与正应力有关,切应变只与切应力有关,广义胡克定律,3.复杂应力状态,(1)平面应力状态,(2)平面应变状态,两种平面状态：,3.复杂应力状态,对于平面应力状态,或,二、E、G 之间的关系,对于纯剪切应力状态,一方面：,(1),另一方面：,(2),由(1)和(2)：,三、体积应变,体积应变,变形后：,变形前：,单位体积的体积改变,略去高阶微量,体积应变,三、体积应变,体积应变,变形后：,变形前：,单位体积的体积改变,利用广义胡克定律,体
15、积模量,平均正应力,体积应变只与三个正应力之和有关,体积胡克定律,三、体积应变,式中,例如图刚性槽内放置边长为1的立方体。若上部压力为q，求立方体的应力。,解：用广义虎克定律求解,q,已知,例 已知一受力构件自由表面上某点处的两主应变值为1=24010-6，3=16010-6。材料的弹性模量E =210GPa，泊松比 =0.3。求该点处的主应力值数，并求另一应变2的数值和方向。,解：因主应力和主应变相对应，则由题意可得：,即为平面应力状态，有,联立两式可解得：,主应变2为：,其方向必与1和3垂直，沿构件表面的法线方向。,例 讨论图示各应力状态下的体积应变。,因为：,所以：,因为：,所以：,可见：,可见，图c和d所示应力状态下无体积应变。,因为：,所以：,因为：,所以：,边长a =0.1m的铜立方块，无间隙地放入体积较大、变形可忽略的钢凹槽中。,例,已知：弹性模量E=100GPa，泊松比 =0.34，F=300kN。,试求：铜块的主应力、体应变及最大切应力。,联解可得：,利用空间应力状态下最大切应力的计算式可得：,则铜块的主应力为：,
