《机械优化设计课件 第2章 优化设计的数学基础》由会员分享，可在线阅读，更多相关《机械优化设计课件 第2章 优化设计的数学基础（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、机械优化设计,第二章 优化设计的数学基础,第二章 优化设计的数学基础,第一节 多元函数的方向导数和梯度,一个多元函数可用偏导数的概念来研究函数沿各坐标方向的变化率。 二元函数的偏导数：,第二章 优化设计的数学基础,第一节 多元函数的方向导数和梯度,2,1,o,偏导数与方向导数之间的数量关系：,第二章 优化设计的数学基础,第一节 多元函数的方向导数和梯度,多元函数的方向导数：,第二章 优化设计的数学基础,第一节 多元函数的方向导数和梯度,例：,第二章 优化设计的数学基础,第一节 多元函数的方向导数和梯度,梯度：,第二章 优化设计的数学基础,第一节 多元函数的方向导数和梯度,梯度：,梯度的性质：1
2、）梯度是一个向量；2）梯度方向是方向导数最大的方向，即函数值变化最快（函数值变化率最大）的方向 ；3）梯度方向是等值面（线）的法线方向 。,第二章 优化设计的数学基础,第一节 多元函数的方向导数和梯度,多元函数的梯度：,第二章 优化设计的数学基础,第一节 多元函数的方向导数和梯度,例题：,解：函数变化率最大的方向就是 梯度方向，用单位向量 表 示，函数变化率最大的数值就 是梯度的模 。,第二章 优化设计的数学基础,第一节 多元函数的方向导数和梯度,例题：,第二章 优化设计的数学基础,第一节 多元函数的方向导数和梯度,一元函数,第二章 优化设计的数学基础,第二节 多元函数的泰勒展开,二元函数：,
3、二元函数泰勒展开式的矩阵形式：,对称矩阵,第二章 优化设计的数学基础,第二节 多元函数的泰勒展开,多元函数泰勒展开式的矩阵形式：,是函数在该点的梯度,第二章 优化设计的数学基础,第二节 多元函数的泰勒展开,多元函数的海赛矩阵：,第二章 优化设计的数学基础,第二节 多元函数的泰勒展开,例：,第二章 优化设计的数学基础,第二节 多元函数的泰勒展开,二次二维函数用向量和矩阵的表示方法：,第二章 优化设计的数学基础,第二节 多元函数的泰勒展开,二次n维函数用向量和矩阵的表示方法：,第二章 优化设计的数学基础,第二节 多元函数的泰勒展开,几种特殊类型函数的梯度：,第二章 优化设计的数学基础,第二节 多元
4、函数的泰勒展开,二次型：,第二章 优化设计的数学基础,第二节 多元函数的泰勒展开,正定矩阵：,第二章 优化设计的数学基础,第二节 多元函数的泰勒展开,矩阵正定与负定的判定：,正定：矩阵A正定的条件是A的各阶主子式大于零； 负定：矩阵A负定的条件是各阶主子式负、正相间。,第二章 优化设计的数学基础,第二节 多元函数的泰勒展开,必要条件,充分条件,第二章 优化设计的数学基础,第三节 无约束优化问题的极值条件,第二章 优化设计的数学基础,第三节 无约束优化问题的极值条件,例：,第二章 优化设计的数学基础,第三节 无约束优化问题的极值条件,当极值点x*能使f（x*）在整个可行域中为最小值（最大值）时，
5、即在整个可行域中对任一 x都有f（x）f（x*）（或者f（x）f（x*） ）时，则x* 就是全局极小点（全局极大点）。,全局极值点（最优点）：,第二章 优化设计的数学基础,第四节 凸集、凸函数和凸规划,若f（x*）为局部可行域中的极小值（极大值）而不是整个可行域中的最小值（或最大值）时，则称x*为局部极小点（局部极大点）。,局部极值点（相对极值点）：,第二章 优化设计的数学基础,第四节 凸集、凸函数和凸规划,一个下凸的函数，它的极值点只有一个，并且该点既是局部极值点也是全局极值点，我们就称这个函数具有凸性。,函数的凸性（单峰性）：,第二章 优化设计的数学基础,第四节 凸集、凸函数和凸规划,设R
6、是一个点集（或区域），若连接其中任意两点x1和x2的直线都属于R，则称这种集合R是一个凸集。,凸集：,第二章 优化设计的数学基础,第四节 凸集、凸函数和凸规划,凸集的性质：,第二章 优化设计的数学基础,第四节 凸集、凸函数和凸规划,具有凸性（表现为单峰性）或只有唯一的局部最优值，即全局最优值的函数，称为凸函数或单峰函数。,凸函数：,第二章 优化设计的数学基础,第四节 凸集、凸函数和凸规划,1若f (x)为定义在凸集R上的一个凸函数，且是一个正数（0），则f (x)也必是定义在凸集R上的凸函数。2定义在凸集R上的两个凸函数f 1 (x)和f 2 (x) ，其和 f (x) = f 1 (x) +
7、 f 2 (x) 也一定是该凸集上的一个凸函数。3若f 1 (x) 、f 2 (x)是定义在凸集R上的两个凸函数，和为两个任意正数，则函数f 1 (x) +f 2 (x) 仍是R上的凸函数。4若定义在凸集R上的一个凸函数f (x)有两个最小点x1和x2则这两点处的函数值f (x1) 和f (x2) 必相等，否则，其中较大的点就不是f (x)的最小点了。5若x1和x2是定义在凸集R上的一个凸函数f (x)的两个最小点，则其连接线段上的一切点必为f (x)的最小点。,凸函数的性质：,第二章 优化设计的数学基础,第四节 凸集、凸函数和凸规划,凸性条件：,第二章 优化设计的数学基础,第四节 凸集、凸函
8、数和凸规划,例：,例：,第二章 优化设计的数学基础,第四节 凸集、凸函数和凸规划,凹函数：,凸函数,下凸有极小值,上凸有极大值,凹函数,第二章 优化设计的数学基础,第四节 凸集、凸函数和凸规划,凸规划：,目标函数与约束条件均为凸函数的优化问题称为凸规划。,凸规划的性质,第二章 优化设计的数学基础,第四节 凸集、凸函数和凸规划,等式约束优化问题的数学模型：,消元法降维法拉格朗日乘子法升维法,解 法,第二章 优化设计的数学基础,第五节 等式约束优化问题的极值条件,消元法：,（二维）,（一维）,二元函数（一个等式约束）：,第二章 优化设计的数学基础,第五节 等式约束优化问题的极值条件,n元函数（l个
9、等式约束条件）：,（ n-l 维无约束优化问题 ）,消元法,第二章 优化设计的数学基础,第五节 等式约束优化问题的极值条件,n元函数（l个等式约束条件）：,拉格朗日乘子法,极值必要条件,第二章 优化设计的数学基础,第五节 等式约束优化问题的极值条件,极值必要条件,几何意义：在等式约束的极值点上，目标函数的负梯度等于各约束函数梯度的线性组合。,第二章 优化设计的数学基础,第五节 等式约束优化问题的极值条件,例：,第二章 优化设计的数学基础,第五节 等式约束优化问题的极值条件,求解不等式约束优化问题的基本思想：将不等式约束条件变成等式约束条件。 具体做法：引入松弛变量。,第二章 优化设计的数学基础
10、,第六节 不等式约束优化问题的极值条件,拉格朗日函数：,第二章 优化设计的数学基础,第六节 不等式约束优化问题的极值条件,拉格朗日函数：,极值条件,一元函数,第二章 优化设计的数学基础,第六节 不等式约束优化问题的极值条件,极值条件,一元函数,第二章 优化设计的数学基础,第六节 不等式约束优化问题的极值条件,起作用约束的下标集合：,一元函数,第二章 优化设计的数学基础,第六节 不等式约束优化问题的极值条件,极值条件,库恩塔克条件,第二章 优化设计的数学基础,第六节 不等式约束优化问题的极值条件,库恩塔克条件,第二章 优化设计的数学基础,第六节 不等式约束优化问题的极值条件,库恩塔克条件,几何意
11、义：在约束极小值点x*处，函数f(x)的负梯度一定可以表示成所有起作用约束在改点的梯度（法向量）的非负线性组合。,第二章 优化设计的数学基础,第六节 不等式约束优化问题的极值条件,库恩塔克条件的几何意义（二维）：,第二章 优化设计的数学基础,第六节 不等式约束优化问题的极值条件,库恩塔克条件的几何意义（二维）：,第二章 优化设计的数学基础,第六节 不等式约束优化问题的极值条件,库恩塔克条件的几何意义（二维）：,结论：,第二章 优化设计的数学基础,第六节 不等式约束优化问题的极值条件,同时具有等式和不等式约束的优化问题：,库恩塔克条件：,第二章 优化设计的数学基础,第六节 不等式约束优化问题的极值条件,库恩塔克条件举例：,第二章 优化设计的数学基础,第六节 不等式约束优化问题的极值条件,库恩塔克条件举例：,第二章 优化设计的数学基础,第六节 不等式约束优化问题的极值条件,
