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1、1,3.3 随机变量的函数及其分布,单个随机变量函数的分布,随机向量函数的分布,2,1、设随机变量 X 的分布已知，随机变量Y=g (X) ，如何由 X 的分布求出 Y 的分布？,2、设二维随机变量 X, Y 的联合分布已知， Z = g ( X, Y ) 如何由X，Y的联合分布求Z的分布 ？,这类问题无论在实践中还是在理论上都是非常重要的.,单个随机变量函数的分布：,随机向量函数的分布：,3,（一）单个随机变量函数的分布,离散型随机变量函数的分布 连续型随机变量函数的分布,设随机变量 X 的分布已知，Y=g (X) (设g 是连续函数），如何由 X 的分布求出 Y 的分布？,5,一、离散型随
2、机变量函数的分布,设随机变量X 的概率分布为：,“X 取某值与 Y 取其对应值是等价的”,6,注：,7,解：,（1） 由已知有,例1：设随机变量X的概率分布为：,-2,-1,0,1,2,3,0.10,0.20,0.25,0.20,0.15,0.10,求：随机变量Y1=2X 以及Y2=X2 的概率分布；,X,P(xi ),8,（2） 显然有：,-2,-1,0,1,2,3,0.10,0.20,0.25,0.20,0.15,0.10,X,P(xi ),9,解：,由于,所以，随机变量函数 只有三个取值-1，0，1。,10,11,二、连续型随机变量函数的分布,问题,分布函数法：,（1）按定义写出 Y 的
3、分布函数。,（2）将Y=g(X)代入上式中的Y ，得：,（4）利用 X 的密度函数,表达,（5）上式两端对 y 求导即得 Y 的概率密度函数,如何由X的密度函数确定Y的密度函数？,（3）解不等式得,12,解：,综上得Y 的概率密度,13,下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接用定理求出随机变量函数的概率密度 .,14,15,解：,于是由定理的第一种情况有：,16,故,注意到 0 x 4 时，,此时,Y=2X+8,17,18,解法一：,例：设随机变量X在区间 服从均匀分布，即概率密度为,19,上式两边对y求导数，即得Y 的概率密度,由此得,20,三、小结,利用分布函数法,1. 离散型随机变量函
4、数的分布,2. 连续型随机变量函数的分布,利用定理的结论,21,22,23,（二）随机向量函数的分布,和的分布 商的分布 积的分布 最大值与最小值的分布 小结,24,当二维随机变量 X, Y 的联合分布已知时，如何求出它们的函数Z = g ( X, Y ) 的分布?,25,已知 X 和Y 为离散型随机变量，,注1,求和范围是一切使 的 i 及 j 的值。,一、和的分布（求Z=X+Y）,并且有,1、离散型随机变量和的分布(联合分布律已知）,26,则规定,由于,所以,这里求和范围是一切 i 的值，,如果对于 i 的某一个值,注2,27,若取,则有,同理，,则规定,这里求和范围是一切 j 的值，,如
5、果对于 j 的某一个值,注3,28,解：,0，1，2，3，4。,由于X 与Y 独立，,所以,具有可能值：,显然，,29,所以， 的概率分布如下：,30,2、连续型随机变量和的分布,设X 和Y 为连续型随机变量 ，X与Y的联合密度为 f (x,y),求 Z=X+Y 的概率密度.,解,这里积分区域 D=(x, y): x+y z,Z=X+Y的分布函数是:,它是直线 x+y =z 及其左下方的半平面.,31,化成累次积分,得,固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令 x=u-y,得,变量代换,交换积分次序,32,由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率密度为:,由X和Y的对称性, fZ
6、 (z)又可写成,以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.,特别地，当 X 和 Y 独立，设 (X,Y) 关于 X , Y 的边缘密度分别为 fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:,卷积公式,34,解：由题意知,35,36,37,例：设随机变量 与 独立，并且都在区间 上服从均,匀分布, 求它们的和 的分布。,解：,及 的概率密度分别是,和,令,38,(1)当 z 2a 时,40,辛普森分布,所以Z 的概率密度为:,41,二、商的分布,42,43,（1）最大值的分布,三、最大值与最小值的分布,问题,设随机变量X与Y 独立，分布函数分别为,44,（2）最小值的分布,45,以上结论可推广到多个独立随机变量的情形：,特别地, 若,设随机变量,相互独立，则,独立且同分布，则,46,48,49,50,四、小结,1. 和的分布,连续型,离散型,若X 与Y 相互独立,51,2.商的分布,3.最大值与最小值的分布,X，Y独立时,作业,3、课后习题三 29,32,
