电动力学 3第三章 静 磁 场

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1、第三章,大连民族学院理学院 郑建洲,静 磁 场 magetostatic field,3.1矢势及其微分方程 Vector potential and differential equation,本章重点： 1、矢势的引入和它满足的微分方程、静磁场的能量 2、引入磁标势的条件及磁标势满足的方程与静电势方程的比较 3、*了解A-B效应和超导体的电磁性质,本章难点：利用磁标势解决具体问题,1 矢势及其微分方程 Vector potential and differential equation,一、稳恒电流磁场的矢势,1稳恒电流磁场的基本方程,稳恒电流磁场：传导电流（即运动电荷）产生的不随时间变化

2、的磁场。,基本方程,本节仅讨论 情况，即非铁磁的均匀介质。这种情况静电场和磁场可以分离，不发生直接联系。,由此可看出，磁场的特点和电场不同。静电场是无旋的，即引入标势来描述。而磁场是有旋的，一般不能引入一个标势来描述整个空间的磁场，但由于磁场是无源的，可以引入一个矢量来描述它。,基本方程,2矢势的引入及意义,（a）矢势的物理意义：,其中S 是以回路L 为边界的任一闭合曲面,称为磁场的矢势。,根据斯托克斯定理，可得到,由此可看到矢势 的物理意义是：,矢势 沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为 界的任一曲面的磁通量。,（b）磁通量只与曲面L的边界有关，与其具体形状无关,而每点的A无直接物理意义。

3、,、矢势的不唯一性,矢势 可确定磁场 ，但由 并不能唯一地确定 ， 这是因为对任意函数 。,即 和 对应于同一个 ， 的这种任意性是由于的环量才有物理意义的决定的。,二矢势满足的方程及方程的解,由于 ，引入 ，在均匀线性介质内,有 ，将这些代入到 中，即,若 满足库仑规范条件 ，得矢势的微分方程,（1）稳恒电流磁场矢势满足(矢量)泊松方程,（2）与静电场中 形式相同,（3）矢势为无源有旋场中的物理量,其直角分量：,这是大家熟知的Pissons equation,2矢势的形式解,由此可见，矢势 和标势 在静场时满足同一形式的 方程，对此静电势的解。,可得到矢量的特解：,已知电流密度，可从方程直接

4、积分求解，但一般电流分布与磁场相互制约，因此一般情况需要求解矢量泊松方程。,3 的解,这正是毕奥- 萨伐尔定律,线电流时,当全空间中电流 给定时，即可计算磁场 ，对于电流和磁场互相制约的问题，则必须解微分方程的边值问题。,4 的边值关系 *,磁场的边值关系,l,即在两介质分界面上，矢势是连续的。,（b）, 若分界面为柱面，柱坐标系中当, 若分界面为球面，当,特殊情况：,5矢量泊松方程解的唯一性定理,定理：给定V内传导电流 和V边界S上的 或V 内稳恒电流磁场由 和边界条件唯一确定。,三稳恒电流磁场的能量,已知均匀介质中总能量为,1在稳恒场中有, 不是能量密度。,能量分布在磁场内，不仅分布在电流

5、区。,因为能量分布于磁场中，而不仅仅存在于电流分布区域内。另外，能量式中的 是由电流 激发的。, 导出过程,2. 电流分布在外磁场中的相互作用能,最后一项称为相互作用能，记为 ，,可以证明：,作业（131页）：1，3, 5，,设 为外磁场电流分布， 为外磁场的矢势； 为处于外磁场 中的电流分布，它激发的场的矢势为 。总能量：,例1无穷长直导线载电流I，求空间的矢势 和磁场 。,取导线沿z轴，设p点到导线的垂直距离为R，电流元Idz到p点距离为,5、举例讨论用计算,Solution :,因此得到,r,积分结果是无穷大（发散的）。计算两点的矢势差值可以免除发散，若取R0点的矢势值为零，则,亦即,每

6、项相乘后，再二次项展开得,故,取 的旋度，得到,结果与电磁学求解一致。,Solution:,例2*半径为a 的导线圆环载电流为I，求空间的矢势和磁感应强度。,首先求解矢势,由于问题具有轴对称性，可以把观察点选在xz平面上，这样的好处是=0，故 只与r，有关。,即得,其中,y,因此得到：,在图上分析有,作变换： 令,于是有,这样,令 ，则有,考虑一般情况，这里的y方向实际上就是 方向，因,此上式可改为：,令,故磁感应强度的严格表达式为,这里(k) , (k)分别为第一、第二类椭园积分。从而得到,讨论：对于远场，由于Ra，且有,当Ra情况下，上式分母展开为：,若Ra，且,于是得到,于是磁感应强度为

7、,可见，对于一个园电流环，在远处所激发的磁场，相当 于一个磁矩为 的磁偶极子激发的场。,Class is Over!,Thank you! Boys and girls!,第三章第二节,磁 标 势Magnetic scalar potential,大连民族学院理学院 郑建洲,本节所研究的问题是避开由矢势 求磁感应强度 不便的问题。类比于静电场，引入磁标势 。然后讨论 所满足的微分方程，继而讨论静磁问题的唯一性定理。,2. 磁标势,原因：静电力作功与路径无关， 引入的电势是单值的；而静磁场 一般不为零，即静磁场作功与路径有关，即使在能引入的区域标势一般也不是单值的。,一引入磁标势的两个困难,2在

8、电流为零区域引入磁标势可能非单值。,二引入磁标势的条件,语言表述：引入区域为无自由电流分布的单连通域。,讨论： 1）在有电流的区域必须根据情况挖去一部分区域； 2）若空间仅有永久磁铁，则可在全空间引入。,用公式表示,显然只能在 区域引入，且在引入区域中任何回路都不能与电流相链环。,三磁标势满足的方程,1引入磁标势区域磁场满足的场方程,不仅可用于均匀各向同性非铁磁介质，而且也可讨论铁磁介质或非线性介质。,2引入磁标势,与电介质中极化电荷密度的表达式,类比，可以假想磁荷密度为,于是，得到与电介质中的静电场方程类似的形式,类比静电场方程,3 满足的泊松方程,4边值关系,四静电场与静磁场方程的比较,静

9、磁场,静电场,静电势与磁标势的差别：,因为到目前为止实验上还未真正发现以磁单极形式存在的自由磁荷。对静磁场人们认为分子电流具有磁偶极矩，它们由磁荷构成，不能分开。,静电场可在全空间引入，无限制条件；静磁场要求在无自由电流分布的单连通域中才能引入。, 静电场中存在自由电荷，而静磁场无自由磁荷。,注意：在处理同一问题时，磁荷观点与分子电流观点不能同时使用。, 虽然磁场强度与电场强度表面上相对应，但从物理本质上看只有磁感应强度才与电场强度地位相当。描述宏观磁场，磁场强度仅是个辅助量。,当所考虑的区域是单连通的，其中没有传导电流分布时，可引入磁标势 ，通过和静电学问题的唯一性定理同样的推导，可得出静磁

10、问题的唯一性定理：,如果可均匀分区的区域V中没有传导电流分布，只要 在边界S上给出下列条件之一，则V内磁场唯一地确定：,a)磁标势之值 b)磁场强度的法向分量 c) 磁场强度的切向分量,五、静磁问题的唯一性定理,六、磁标势的应用举例,例1 证明的磁性物质表面为等磁势面。,Solution:,角标1代表磁性 物质、角标2为真空,由磁场边界条件：,以及,可得到法向和切向分量为,两式相除，得,因此，在该磁性物质外面，H2与表面垂直（切向分量 与法向分量之比0)，因而表面为等磁势面。,例2求磁化矢量为 的均匀磁化铁球产生的磁场。,铁球内外为两均匀区域，在铁球外没有磁荷分布 ( )，在铁球内由于均匀磁化

11、 , 而=0，因此磁荷只能分布在铁球表面上，故球内、外磁势都满足Laplaces equation.,Solution:,由于轴对称性，极轴沿 方向，上式解的形式为：,球外磁标势必随距离r增大而减小，即,球内磁标势当r=0时必为有限，即,故有：,由铁球表面边界条件 当r=R0时：,由边界条件得：,设球外为真空，则,当n=1时，有,比较 的系数：,当 时，有,所以,从而得到,铁球内、外的磁场强度为,其中：,把 取在 方向上，即有,可见铁球外的磁场相当于一个磁偶极子所激发的场。,线总是闭合的， 线且不然， 线是从右半球面上的正磁荷发出，终止于左半球面的负磁荷上。在铁球内， 与 反向。说明磁铁内部的

12、 与 是有很大差异的。,进一步讨论：,例题3. 设x0的半空间为真空。有线电流I沿z轴流动。求磁感应强度和磁化电流分布。,设x0， 。它们均满足拉普拉斯方程。,在柱坐标中：,解：将线电流表面及x=0,y0的界面挖去,磁化电流Im在z轴,介质面上无磁化电流。空间磁场由I、Im共同决定。磁场应正比于1/r，与z、 无关。,确定常数：,代入即可得到解。然后利用,得磁化电流,书中例3自学， 作业： 9、10、11*、13*、14*,第三章,第四节 阿哈罗夫-玻姆效应,第五节 超导体的电磁性质,间接,3.4* 阿哈罗夫-玻姆（A-B）效应,1959年阿哈罗夫-玻姆提出在量子力学可适用的微观态中 和 有可

13、观测的物理效应，这一效应被称为A-B效应。,A-B效应表明，在量子物理中磁场的物理效应不能完全用 来描述，矢势可以对电子发生相互作用。但是由于 的任意性，用它描述磁场显然又过多。,带有螺线管电子衍射实验：条纹发生变化,矢势 可以对电子发生相互作用。,A-B效应表明，在量子物理中磁场的物理效应不能完全用B 来描述，矢势A可以对电子发生相互作用,影响电子相位，条纹发生变化。,带有螺线管电子衍射实验发现，能够完全且恰当的描述磁场的物理量是相因子： 。若L为可缩小到一点的无穷小路径，则,因此相因子描述等价于局域磁场的描述。但是当L为不能缩小到一点的路径时，则相因子所包含的物理信息就不能用局域场描述。,

14、3.5* 超导体的电磁性质,一些元素、化合物、合金等，当温度下降到某临界值 以下时，电阻率下降为零的现象称为超导电性。 以下的状态称为超导态，临界磁场为：,一超导电性,在1986年以前，人们所发现的超导材料的临界温度都非常低（大约在35k左右。1986年以来，人们陆续发现了一系列有较高临界温度的超导材料，这些高温超导材料具有非常广阔的应用前景。,二迈斯纳效应,超导体内部（不包括导体的表面层）的磁感应强度 与超导体所经历的历史无关。若物体原来处于超导态，当加上外磁场时，只要磁场强度不超过 ，则 就不能进入超导体。,这一效应表示超导体不能简单的看作通常导体当电导率 时的极限。,通常导体内,对于交变电流 ，因此导体内仍然有电阻损耗。但是对于一般低频交变电流，损耗很小。,为超导电流密度，ns为超导电子密度。,对于稳恒电流：,三超导体的电磁性质方程,1伦敦第一方程,2. 伦敦第二方程,，它表明了超导体磁场与电流互相制约的关系。,可以证明，伦敦两个方程与麦斯韦方程是相容的，并且从两个方程可以导出迈斯纳效应。经上述分析，可以清楚的看到超导体中的电流和磁场只能存在于超导体的表面层内，而不能深入到导体的内部。,3. 超导体作为完全抗磁体 4. 超导环内的磁通量子化 5. 非局域理论 自学,