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1、4.1 平面立体的投影及其表面上点、线的投影4.2 平面与平面立体相交4.3 曲面立体的投影及其表面上点、线的投影4.4 平面与曲面立体相交,下一节,下一节,41 平面立体的投影及其表面上点、线的投影,棱柱 棱线互相平行，底面为多边形，底面形状是棱柱的特征面。画正棱柱的投影时，应先画其反映特征的投影，再画其它两个投影。,一、平面立体的投影,直立正六棱柱的投影上、下底面平行于H面，为正六边形，水平投影反映实形，正面投影和侧面投影均积聚成水平线段；六个棱面均垂直于H面，水平投影积聚成直线段与底面投影重合；前后两棱面平行V面，垂直W面，正面投影反映实形，侧面投影积聚成铅直线段；另四个棱面均倾斜于V、
2、H面，正、侧面投影都是类似图形。,41 平面立体的投影及其表面上点、线的投影,一、平面立体的投影,斜置三棱柱投影 其上、下底面垂直V面，正面投影积聚成倾斜线段，其它二投影为类似图形；三个棱面都倾斜于V、H、W面，它们的三个投影都是类似图形；三条棱线在各投影中均平行，其正面投影为棱线实长，水平、侧面投影分别平行于OX轴和OZ轴。水平、侧面投影有不可见的底面和棱线，将其画成虚线。区分可见性的规律及方法如下：1.每个投影的外轮廓线都是可见的；2.外轮廓以内的线，可利用重影点来判别交叉两直线的可见性（如由重影点I、II判别AB、CC1边的水平投影ab、cc1的可见性）；3.非外轮廓线交于同一顶点时，它
3、们的可见性相同（如水平投影中交于点C1和侧面投影中的交于点C的各线）。,下一节,41 平面立体的投影及其表面上点、线的投影,一、平面立体的投影,棱锥 所有棱线都交于锥顶，棱面都是三角形。画棱锥的投影时，一般先画出底面及锥顶的投影，再画棱线的投影。,正三棱锥投影 底面平行于H面，为等边三角形，底边AC垂直W面；三个棱面是同样大小的三角形，均倾斜于H面，棱线SB平行W面。三棱锥的正、侧面投影外轮廓都是三角形。,下一节,41 平面立体的投影及其表面上点、线的投影,一、平面立体的投影,四棱台投影,四棱柱投影,部分四棱台投影,下一节,41 平面立体的投影及其表面上点、线的投影,二、平面体表面上点、线的投
4、影,平面体表面上取点、线的实质就是在平面上取点、线。关键就是要分析这些点、线在哪个平面上，从而在该平面的投影内取点、线的投影。点、线的可见性与它们所在的平面的可见性一致。,下一节,41 平面立体的投影及其表面上点、线的投影,二、平面体表面上点、线的投影,下一节,下一节,42 平面与平面立体相交,平面与立体相交，也称为平面截立体。这个平面称为截平面，截平面与立体表面的交线称为截交线，截交线所围成的平面图形称为截断面。画大小两堤的视图时，应该画出截交线ABCD的投影。ABCD截交线是大堤的斜面与小堤的截交线。平面与平面立体相交，其截断面是一个多边形，多边形的边数取决于截平面所交到的立体表面的数量。
5、截平面与三棱锥SABC的三个棱面相交，截断面是三角形I II III。多边形的各边是截平面与平面体表面各棱面（或底面）的交线。多边形的顶点是平面体上棱线（或底边）与截平面的交点。求平面与平面体截交线的方法是求出平面体各棱线（或底边）与截平面的交点，然后依次连成多边形，其实质是求直线与平面的交点。,42 平面与平面立体相交,例4.3 三棱锥SABC被正垂面P所截，求截交线的投影和截断面的实形。 解 截交线是截平面与立体表面的共有线，截平面P为正垂面，正面投影有积聚性，故PV上的线段1234为截交线的正面投影。2、3为棱线SB、SC与截平面交点II、III的正面投影，1、4为底边AB、AC与截平面
6、交点I、IV的正面投影。在sb、sc、ab、ac上定出相应的2、3、1、4点并依次连接，即得交线的水平投影。截交线的可见性根据它所在立体表面的可见性来判断。三棱锥的三个棱面的水平投影皆为可见，而底面的水平投影为不可见，故12、23、34均可见，14为不可见。截断面的实形可用辅助投影求出。,下一节,42 平面与平面立体相交,例4.4 三棱柱与一般位置平面P相交，求截交线。 解 从图中可看出三棱柱的上、下底均未参加相交，故截交线为三角形。三角形的三条边为三棱柱棱面与平面P的交线。三角形的三个顶点为三棱柱的三条棱线与P面的交点。因棱面的水平投影有积聚性，故截交线I、II、III的水平投影与kmn重合
7、。又因截交线在平面P内，故其正面投影可用在平面P上取点线的方法求出。因棱面KN的正面投影为不可见，故13不可见。,下一节,42 平面与平面立体相交,下一节,42 平面与平面立体相交,下一节,下一节,43 曲面立体的投影及其表面上点、线的投影,曲面立体的表面没有明显的棱线，画投影时，要画出其外形轮廓线和轴线（中心线）的投影。作曲面立体的投影，一定要注重曲面形成的方式及投影轮廓线的分析。圆柱面、圆锥面、圆球面及圆环面都是由直线或圆绕一固定的轴线旋转而成的，因此称之为回转曲面。由回转曲面围成的立体称为回转体。形成这些曲面的直线或圆称为母线，母线处在曲面上任一位置时称为素线。回转曲面母线上任一点的运动
8、轨迹是一垂直于轴线的圆，称为纬圆。因此，若用一个垂直于轴线的平面截回转曲面时，截得的交线都是圆周。画回转体的投影图时，应先画轴线及圆的中心线(用细点画线表示)，再画投射为圆的投影，最后画非圆的投影。,43 曲面立体的投影及其表面上点、线的投影,一、圆柱的形成及投影圆柱是由圆柱面和上、下底面围成的立体。圆柱面是由一条直母线绕与它平行、距离不变的轴线旋转而成的。圆柱面上的所有素线都是与轴线平行的直线。,轴线垂直于H面的正圆柱的投影水平投影是圆，反映上下底面实形,圆柱面的水平投影有积聚性，与上下底面的圆周重合。圆柱的其它两投影是由上下底面的积聚投影及圆柱面上最外轮廓素线的投影围成的矩形。,下一节,4
9、3 曲面立体的投影及其表面上点、线的投影,轴线垂直于H面的正圆柱的投影正面投影的左、右两条铅直线aa1及bb1是圆柱面上最左、最右两条素线AA1、BB1的投影，这两条素线是圆柱向V面投射时的外形轮廓线。侧面投影的前、后两条铅直线cc1及dd1是圆柱面上最前、最后两条素线CC1及DD1的投影，这两条素线是圆柱向W面投射时的外形轮廓线。cc1、dd1、aa1、bb1都与轴线的投影重合。看正面投影图时，前半圆柱面的正面投影可见，后半圆柱面的正面投影不可见，其分界线为外形轮廓线AA1、BB1；看侧面投影图时，左半圆柱面的侧面投影可见，右半圆柱面的侧面投影不可见，其分界线为外形轮廓线CC1、DD1。,下
10、一节,43 曲面立体的投影及其表面上点、线的投影,下一节,43 曲面立体的投影及其表面上点、线的投影,下一节,43 曲面立体的投影及其表面上点、线的投影,二、圆锥的形成及投影圆锥是由圆锥面及底面围成的立体。圆锥面是由一条直母线绕与之相交并保持不变交角的轴线旋转而成。圆锥面上的所有素线与轴线交于一点，该点称为锥顶。,轴线垂直于H面的正圆锥的投影其水平投影为一圆，它既是底圆反映实形的投影，也是圆锥面的投影；其正、侧面投影是两个大小相同的等腰三角形，三角形的底边是底圆的积聚投影，两条腰分别是正面、侧面投射方向上的外形轮廓线的投影。,下一节,43 曲面立体的投影及其表面上点、线的投影,轴线垂直于H面的
11、正圆锥的投影正面投影的左、右两条轮廓线s a及s b是圆锥面上最左、最右两条素线SA、SB的投影，这两条素线是圆锥向V面投射时的外形轮廓线。侧面投影的前、后两条轮廓线sc及sd是圆锥面上最前、最后两条素线SC及SD的投影，这两条素线是圆柱向W面投射时的外形轮廓线。sc、sd、sa、sb都与轴线的投影重合。看正面投影图时，前半圆锥面的正面投影可见，后半圆锥面的正面投影不可见，其分界线为外形轮廓线SA、SB；看侧面投影图时，左半圆锥面的侧面投影可见，右半圆锥面的侧面投影不可见，其分界线为外形轮廓线SC、SD。,下一节,43 曲面立体的投影及其表面上点、线的投影,下一节,43 曲面立体的投影及其表面
12、上点、线的投影,下一节,43 曲面立体的投影及其表面上点、线的投影,三、圆球的形成及投影圆球的表面是由圆母线绕其任一直径旋转而成的。球面上没有直线。,圆球的投影球的三个投影都是圆，其直径都等于球的直径。,下一节,43 曲面立体的投影及其表面上点、线的投影,圆球的投影各投影面上外形轮廓线的投影是球面上平行于相应投影面的最大圆，这些圆在其余两投影面上的投影均为直线段，且与该投影面上圆的中心线重合。如V面投影的外形轮廓线圆ABCD，在H面投影中与水平中心线重合，在W面投影中与竖直中心线重合，都不画实线，仅画出各圆的中心线即可。 球面上平行于V、H、W面的三个最大圆，将球面分为前、后半球，上、下半球，
13、左、右半球，所以它们分别是球面上正面投影、水平投影、侧面投影可见部分与不可见部分的分界线。,下一节,43 曲面立体的投影及其表面上点、线的投影,下一节,43 曲面立体的投影及其表面上点、线的投影,四、圆环的形成及投影圆环的表面是以圆周为母线，以圆周平面上不与圆周相交的直线为轴线旋转而成的。,轴线垂直于H面的圆环的投影小圆ABCD为母线。离轴线远的半圆BAD旋转一周形成外环面；离轴线近的半圆BCD旋转一周形成内环面。点画线圆是母线圆圆心旋转轨迹的投影，内、外环面分界圆（上下两个水平圆）的水平投影与它重合。分析圆环两投影中外形轮廓线的空间位置及其投影特点可知：水平投影中上半环面可见，下半环面不可见
14、；正面投影中前半外环面可见，内环面及后半外环面都不可见。,下一节,43 曲面立体的投影及其表面上点、线的投影,已知圆环面上点K、N的正面投影求水平投影时。可利用圆环面上的纬圆作辅助线。因k可见，点K应在前半外环面上，k只有唯一解；n不可见，点N可能在内环面上，也可能在后半外环面上，故n有三解。,圆环面上取点,下一节,44 平面与曲面立体相交,一、 截交线的形状平面与曲面体相交时，截交线在一般情况下是一条封闭的平面曲线，或者是由平面曲线和直线组合而成的图形。截交线的形状取决于曲面体表面的形状及其与截平面的相对位置。圆柱被平面所截时，截交线有矩形、圆、椭圆三种情况。,下一节,44 平面与曲面立体相
15、交,一、 截交线的形状圆锥被平面所截时，截交线有五种情况：平面通过锥顶时，截交线为三角形，三角形的两腰是两条素线；截平面垂直于圆锥的轴线时，截交线为圆；截平面倾斜轴线且与底面倾角小于素线与底面倾角时，截交线为椭圆；,下一节,44 平面与曲面立体相交,一、 截交线的形状截平面平行于圆锥素线时，截交线为抛物线；截平面平行于轴线或截平面与底面倾角大于素线与底面倾角时，截交线为双曲线。,下一节,44 平面与曲面立体相交,一、 截交线的形状圆球与任意方向的平面截交时，其截交线的空间形状均为圆。当截平面平行于投影面时，截交线圆在该投影面上的投影反映圆的实形；当截平面垂直于投影面时，截交线圆在该投影面上的投
16、影为长度等于该圆直径的直线段；当截平面倾斜于投影面时，截交线圆在该投影面上的投影为椭圆。,圆环被平面所截时，截交线有三种情况：圆环的与垂直于轴线的平面截交时，截交线是两个同心圆；圆环与通过轴线的平面截交时，截交线是两个纬圆；圆环与其它位置平面截交时，截交线形状比较复杂，一般是四次曲线。,下一节,44 平面与曲面立体相交,求截平面与曲面体表面共有点的一般方法是：在曲面上取若干直素线或平行于投影面的纬圆，求出它们与截平面的交点。为使所求截交线的形状准确及作图快捷，应尽可能先求出对截交线的投影起控制作用的点（简称控制点），包括：曲面外形轮廓线上的点；曲面边界上的点；反映截交线特征的点；极限位置点，即截交线上的最高、最低、最左、最右、最前、最后点。求出各控制点后，只要再适当补充几个中间点，即可连线得到截交线。,二、 截交线的求法求平面与曲面立体的截交线时，首先应根据曲面体表面的性质及其与截平面的相对位置分析截交线的形状，并根据它们与投影面的相对位置分析截交线投影的形状及求法。当交线为多边形时，应定出多边形各顶点的投影；当交线的投影为圆时，应定出圆心及直径；当截交线的投影为非圆曲线时，应求出截平面与曲面体表面的若干共有点，再依次连成光滑曲线，并区别可见性。,
