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1、第四章,变 换,本章主要讲解内容,一个简单的图形软件包 平移、缩放、旋转、剪切等三维变换 从三维物体到二维图形所必须经过的投影变换 图形的几个不同的显示流程 二维和三维裁剪算法,一个简单的图形软件包,图形软件包是计算机交互图形处理必不可少的的软件，它的作用就像传统绘图员的三角板和圆规一样。 简单性：在概念，使用方法方面均要求简单。 一致性：在坐标系取法，子程序名称方面做到一致。 完全性：用户能充分利用资源，能有多方面的图形功能。 随和性：对于错误，有随和的表现。,三维图形的显示流程,世界坐标系：在被显示的对象所在的空间中定义的一个坐标系。 屏幕坐标系：在图形显示器上或在绘图仪上定义的一个二维直
2、角坐标系。 窗口：在投影平面内，指定要显示的内容。 视区：在显示屏幕或绘图纸上指定显示的位置。,三维图形的显示流程,世界坐标系 的三维变换,投影,对窗口 的裁剪,窗口至视 区的变换,显示或 绘图,三维几何变换,以下变换前的坐标为(x,y,z)； 变换后的坐标为(x,y,z)。,平移变换,缩放变换,在图形软件包中用scale3(Sx,Sy,Sz)来实现缩放。但在软件包中实际的过程为：,shift(-Xp,-Yp,-Zp) 把原点平移到(Xp,Yp,Zp),Scale3(Sx,Sy,Sz) 缩放,shift(Xp,Yp,Zp) 移回到原来的点,旋转变换,绕空间任一轴旋转的基本思想,建立一个新坐标系
3、 ，使得 指向旋转轴。 找出新坐标系与老坐标系之间的变换矩阵。 在新坐标系中按 轴旋转所要求的角度，最后把坐标从新坐标系变换回老坐标系。,剪切,令 s=tg，则,A,A,B,O,C,B,s的几何意义是对y1的点在切变时沿着x轴正向平移的距离。,齐次坐标,可以采用升维的方法使平移变换和其他变换统一起来。,平移变换的齐次坐标,绕oz轴旋转变换的齐次变换,进行变换次序不同，结果也不同,原图,shift2(4,0) rotate(20) arrow,rotate(20) shift2(4,0) arrow,图形模式和空间模式的区别,投影,投影,透视投影,平行投影:,投影平面,视点,从视点发出的所有通过
4、物体的 射线和投影平面的交点形成的 对象,把视点移到无穷远处产生的投影,两种投影的图示,透视投影,平行投影,透视投影,一点透视、两点透视和三点透视,灭点：物体上任何一束不平行于投影平面的平行线的透视投影将会聚成的一点。,主灭点：坐标轴上的灭点。,N点透视：透视投影拥有主灭点的个数。,总能得到多点透视吗？,法线方向为(0,0,1),法线方向为(1,0,1),法线方向为(1,1,1),主灭点的个数和投影平面切割坐标轴的数量相对应。,投影平面是任意平面的情况,建立一个新坐标系 ，使得 指向投影平面的法线方向。 找出新坐标系与老坐标系之间的变换矩阵。 在新坐标系中按 作为投影平面进行投影，最后把坐标从
5、新坐标系变换回老坐标系。,投影平面是任意平面的一些结论,我们令 ，其中A，B为常数，是由射影变换的要求来假设的。 所以投影值为,一些结论,其中 如果去掉第三行，就是三维投影成二维图形的坐标。,一些结论,同理，平行投影也能得到相似的结论：当绘图作二维平行投影时，去掉第三行的内容即可。,裁剪,窗口：在投影平面内，指定要显示的内容。,经过投影的图形，在窗口内的部分被显示出来，窗口外的部分被“裁剪”掉。,直线、字符和多边形等其他图形的裁剪。,SutherlandCohen算法,算法思想：对于每一条线段，分为三种情况来处理：,1）线段完全在窗口内，那么就显示这条线段。,2）线段完全在窗口外，那么就不显示
6、这条线段。,3）若不满足1)和2)，则把线段分为两段，一段完全在窗口外，对剩下来的另一半线段重复以上过程，直到满足1）或2）为止。,算法要解决的几个问题,1）如何迅速判断线段是完全可见的还是完全不可见的。,2）对于线段和窗口求交点，是否应该有次序上先后。,如何解决第一个问题？,编码原则： 对线段两端落在的区域的编码进行“与”运算 结果若不为0000，则完全不可见 结果若为0000，则求交点 若两端都为0000，则完全可见,1001,1000,1010,0001,0000,0010,0101,0100,0110,对第二个问题应不应该？,编程时需要确定这样一个求交点的次序。比如按照边框的左右下上的
7、次序或者上下右左的次序。,裁剪算法的实质,裁剪的实质就是找到被裁线段和窗口四个边框的交点。 如果找不到这样的交点的话，则是显然可见或是显然不可见。,中点分割算法,此算法的优点就是不必直接求和窗口边框的交点，而采用逼近的方法求得。,P0,P1,Pm,|P0Pm|e,梁友栋-Barsky算法,算法思想：从A，B，P0中找到离P1最近的点；从C，D，P1中找到离P0最近的那个点，这两个点之间的部分就是线段在窗口内的部分。,A,B,P0,P1,C,D,快速算法,在实际绘图中，常出现大部分线段是显然可见，或者是显然不可见。因而用最少的操作去判断被裁剪的线段是否属于这两种情况则可以提高裁剪的效率。 此外，
8、尽量减少比较和四则运算，也是提高效率的重要措施。,快速算法,算法思想：把窗口边框看成线段而不是直线，并且考虑到所有可能的情况，用IFTHENELSE来找到和窗口边框上的交点。,其他图形的裁剪,对字符的裁剪,对多边形的裁剪,对字符的裁剪,把字符的每一笔看成是直线， 然后对每一条直线进行裁剪。,ABCDE,ABCDE,对多边形的裁剪的特殊性,1）对多边形裁剪的结果仍要求是多边形。,2）原来在多边形内部的点还应在多边形内部。,多边形裁剪的SutherlandHodgman算法,算法思想： 保存多边形的第一个点 用窗口的四条边框对多边形裁剪四次 对于每一次裁剪，都把多边形的边一条一条裁剪和显示过来 对
9、于最后一条边，不须判断顶点是否在窗口边界的可见侧,快速多边形裁剪算法,算法思想：采用直线裁剪的快速算法对多边形的每一条边进行裁剪。,算法优点：由于快速算法可以找到线段的终点对窗口的相对位置，所以能找到了下一条要裁剪的多边形边的起点。这样可以避免每一次都判断线段起点相对于窗口的位置。,快速多边形裁剪算法需要处理的问题,需要判断采用哪一部分窗口作为多边形的新边界。,A,B,C,D,E,F,R,R,判断原则是取有奇数个交点的一边作为边界。,以上两种多变性裁剪算法的共同缺点,裁剪后的多边形上常出现一些不属于这个多边形的边。如图中的线段AB。,A,B,三维图形的裁剪,x,y,z,x=0,x=1,y=0,
10、y=1,z=0,z=1 平行投影时的单位立方体视域,x,y,z,x=z,x=-z,y=z,y=-z,z=zmin, z=1 透视投影时的棱台视域,SutherlandCohen算法推广到三维,编码扩展为6位编码 点在视域上面，第一位为1 点在视域下面，第二位为1 点在视域右面，第三位为1 点在视域左面，第四位为1 点在视域后面，第五位为1 点在视域前面，第六位为1,梁友栋-Barsky算法扩展到三维,当视域为单位立方体时，算法没有什么变化，所要做的只是简单地升维增加变量而已。,当视域为透视棱台时，要重新假设：其中,窗口到视区的变换,窗口：在投影平面内，指定要显示的内容。 视区：在显示屏幕或绘图
11、纸上指定显示的位置。,WYT,WYB,WXL,WXR,VYT,VYB,VXL,VXR,窗口,视区,窗口到视区变换的数学表达式,窗口中任一点(xw,yw)和视区中对应点(xv,yv)的对应关系为：,其中：,如果窗口边不和坐标轴平行，怎么办？,还要求有一个转角，使得窗口转过- 角度后与坐标轴平行，变换式为：,其中：,图形显示流程的进一步说明,比较简单的图形处理流程：,z方向深度裁剪,世界坐标变换T1,4X4矩阵，包括 旋转，缩放， 平移等,投影T2,4X3矩阵,窗口至视区 的变换T3,3X3矩阵,至物理设备 变换T4,3X3矩阵,裁剪,显示,更一般的图形变换的三个流程,模型变换,取景变换,图像变换
12、,把要输出的图形变为单位立方 体中，这样做可以不去考虑具 体设备的特殊性,图像变换和模型变换之间的变换,在标准设备中的变换。目的是 为了实现实时动态图形。不包 括裁剪，可将几何变换合并成 为一次矩阵乘法。,CORE系统,从世界坐标系输 出的图形元素,对视域的裁剪,投影,变换至 视区,标准设备坐标,图像变换,至物理设备的变换,CORE系统的优点,用户可以在世界坐标中定义投影平面及其他投影参数，对用户十分直观。,CORE系统的缺点,世界坐标中窗口形状和大小很不一致，对三维裁剪来说要困难一些。 用图像变换实现的实时动态图形只能对某一个取景变换后的图形来实施，不能用取景变换来直接生成实时动态图形。,GKS3D系统,来自世界坐标,至规范化坐标 空间的变换,对视见体 的裁剪,由视见体变 至三维视区,正交投 影变换,至物理设备 坐标的变换,显示或绘图,GKS-3D系统的优点,先把图形放置到规范化空间中进行几何变换，而不是经过取景变换后再做几何变换。 对裁剪后的图形变回到三维视区进行投影变换，规范化工作比较早的进行，有利于后续变换的实施，减少了计算量，加快了速度。,
