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1、,定理4.14（泰勒定理） 设 在区域 内解析， 只要圆 含 于 , 则在 内能展成幂级数 泰勒展式 其中系数 泰勒系数 且展式是唯一的。,设函数 f(z) 在圆,内解析，那么在K内，,简单说法：,证 证明的关键是利用柯西积分公式及如下熟知的公式,定理4.1的证明：,由于当 时，,又因为,定理4.1的证明：,所以,上式的级数当,时一致收敛。把上面的展开式代入积分中，然后利用一致收敛级数的性质，得,定理4.1的证明：,其中,由于z是U内任意一点，定理的结论成立。,2 幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况 定理4.16 如果幂级数的收敛半径 且 则在收敛圆周 上至少有一奇点。 即不可能有这样的函数
2、存在，它在 内与 恒等，而在 C上处处解析。,3一些初等函数的泰勒展式 下面给出几个初等函数的泰勒展式，它们的形式与数学分析中大家熟知的形式是一致的。如,解 因 在 内解析，故展 开后的幂级数在 内收敛。已知,例. 将 在 展开成幂级数。,当 时将两式相乘得（按对角线方法）,例4.5 将 及 展为的幂级数。 解 因,同理,两式相加除以2 两式相减除以 得,例4.6 试将函数 按 的幂展开，并指明其收敛 范围。,解,第四节 零点的孤立性与唯一性原理,1. 解析函数零点的孤立性,定义4.7 设 在解析区域 一点 的值为零，则称 为解析函 数 的零点,称为 的 级零点。 若,定理4.17 不恒为零的
3、解析函数 以 为 级零点的充要条件为： 其中 在点 的邻域内解析， 且,证 必要性 由假设， 只要令 即可。充分性是明显的。,例4.7 考察函数 在原点 的性质。,解 显然 在 解析，且 为的三级零点 ，因,如在 内的解析函数 不恒为零， 为其零点，则必有 的一个邻域，使得 在其中无异于 的零点。 （简单说来就是：不恒为零的解析函数的零点必是孤立的。）,定理4.20（唯一性定理）设,（1）函数,和,在区域,内解析；,（2）,内又有一个收敛于,的点列,，在其上,和 相等。,则,和,在,内恒等。,例4.9 设 （1） 在区域 内解析； （2）在 内 ， 试证：在 内 或,证 若有 使 因 在点 连续，故存在邻域 ，使在 内 恒为零。而由题设 故必 . 由唯一性定理,定理4.23（最大模原理） 设 在区域 内解析，则 在 内任何点都不能达到最大值，除非 在 内恒等于常数。,
