《线性系统理论5系统的运动稳定性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性系统理论5系统的运动稳定性（58页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五章 系统的运动稳定性,5.1 Lyapunov意义下的运动稳定性,5.1.1 系统的运动与平衡,系统: ,如果存在 某个状态 ,满足:则称 为系统的一个平衡点或平衡状态。 令 则 为系统的平衡点的集合。 中的孤立 点称为系统的孤立平衡点。,5.1.2 Lyapunov意义下的运动稳定性定义,的任一初态,为Lyapunov意 义 下稳定的，如果对给定的任一实数,定义5.1.1 （Lyapunov意义下的稳定性）设:,为系统,的一个平衡状态，称,都对应地存在一个实数,使得由满足不等式,出发的受扰运动都满足不等式,的稳定等价于一致稳定，但对时变系统，,出现的受扰运动都是Lyapunov意义下为稳
2、定的。,的稳定并不意味着其为一致稳定，而且，从实际的角度而言，常要求一致稳定，以便在任一初始时刻,定义5.1.2 （Lyapunov意义下的一致稳定性）在上述Lyapunov意义下的稳定性定义中， 如果,的选取无关，则进一步称平衡状态,是一致稳定的。对于定常系统，,1、 是Lyapunov意义下为稳定的，即满足上述关于稳定的定义。,定义5.1.3 （Lyapunov意义下的渐近稳定性） 动力学系统:,的一个平衡状态,2、对,的一个平衡状态，如果以状态空间中的任一 有限点,定义5.1.5 （Lyapunov意义下的大范围渐近 稳定性） 设,都是有界的，且成立,则称系统,的平衡状态,定义5.1.6
3、 （Lyapunov意义下的不稳定定义）设,的任一初态出发的运动满足不等式,的一个平衡状态，如果对于不管取多么大的 有限实数,定义5.1.7 （指数稳定的定义）设,的一个平衡状态，如果对于任意的有限实数,使得由满足不等式,的任一初态出发的运动满足不等式,定义5.1.8 （全局指数稳定的定义） 设,的一个平衡状态，如果对于任意的有限实数,的任一初态出发的运动满足不等式,5.1.3 关于稳定性定义的几点说明,1.稳定性的主体-平衡点稳定性是动力学系统的性质,稳定性是针对系统的平衡状态而言的,只有对于具有惟一平衡点或者是其所有平衡状态为同时稳定或不稳定的系统言及系统稳定与否才有意义. 2.稳定性定义
4、中的初始时刻-一致性问题初始时刻的影响决定了稳定性是否一致的问题.,3.稳定性定义中的吸收域在渐近稳定性的定义中表征了稳定平衡状态所允许的初值扰动范围,称为平衡状态的吸收域。它决定了渐近稳定性的全局性和局部性，即当 可取为整个 维空间时，相应的稳定性便是全局稳定的，否则为局部渐近稳定的。,4.几种稳定性之间的关系,5. Lyapunov稳定性 与微分方程解关于初值的连续性依赖性在微分方程理论中,解的适定性,即解的存在性,惟一性及它对初值的连续依赖性,是一个非常重要的内容.,5.1.4 Lyapunov第二方法的主要定理,Lyapunov把动力学系统稳定性的方法归纳为本质不同的两种方法,分别称为
5、Lyapunov第一方法(间接法:通过对线性化方程的稳定性分析给出原非线性系统在小范围内稳定性的信息)和第二方法(直接法:通过构造一类似于“能量”函数,分析它及其一次导数的定号性而获得系统稳定性的有关信息),均具有一阶连续偏导数。,中包含原点,1.,2.,3.,则称,上的一个,（时变）正定函数。进一步，如果,具有无穷大性质。,1.,2.,3.对于任何,上的一个时不变正定函数。,定理5.1.1 如果存在包含原点的某邻域,有界正定函数,的全导数在,上为有界半负定的（或负定的），则该 系统的零平衡状态是一致稳定的（或一 致渐近稳定的）。,上的一个有界正定函数,内为半负定的（或负定的），则该系统的零平
6、衡点为局部稳定（或渐近稳定）的。,定理5.1.3 如果在原点的某邻域,内存在一个正定函数,，它沿着系统,的全导数在,定理5.1.4 如果在原点的某邻域,内存在一个正定函数,，它沿着系统,的全导数,在,内为半负定的，但在,内,在系统,的非零解上非零，则该系统的零平衡点 为渐近稳定。,定理5.1.6 如果在原点的某邻域,内为正定，则 该系统的零解为不稳定的。,5.2 线性时变系统的稳定性判定,5.2.1 线性系统稳定性的特殊性,命题5.2.1 如果线性系统,的零平衡点稳定，则其一切其它非零平衡 点亦稳定。,的零解为渐近稳定的，则其必为全局渐近 稳定。,命题5.2.2 如果线性系统,命题5.2.3
7、线性系统,的指数稳定性与全局指数稳定性等价。,上有界，即存在正常数,5.2.2 直接判据,定理5.2.1 设,的状态转移矩阵，则系统,为：,1.稳定的充要条件是,2.一致稳定的充要条件是,上一致有界，即存在与,无关的正常数,，使得,例5.2.1 考虑下述时变系统,从而由定理5.2.1显见该系统为渐近稳定的。 下面将考察该系统的一致渐近稳定性。 据定理5.2.1，如果该系统为一致渐近稳定， 则存在正数,由于上式右端是一个正数，而左端收敛到,因而为一个矛盾不等式。此即说明该系统为 非一致渐近稳定的。,一致渐近稳定。,上的一个分段连续的实对称矩阵函数， 它称为是一致有界和一致正定的，如果 存在正实数
8、,5.2.3 Lyapunov定理,定义5.2.1 设,为定义在,，使成立,收敛，且为下述矩阵微分方程,有唯一的实对称、一致有界和一致正定 的矩阵解,的元均为分段连续，一致有界的实函数。 则原点平衡状态为一致渐近稳定的充要 条件是对任意给定的一个实对称、一致 有界和一致正定的时变矩阵 。,定理5.2.3 考虑线性时变系统,5.3 线性定常系统的稳定性,5.3.1直接判据与Hurwitz定理,定理5.3.1 对于系统,有以下结论：1.该系统稳定的充要条件是矩阵A的所有 特征值均具有非正实部，且其具有零实部 的特征值为其最小多项式的单根，也即在 矩阵A的Jordan标准型中，与A的零实部特 征值相
9、关联的Jordan块均为一阶的。2.该系统渐近稳定的充要条件是矩阵的 所有特征值均具有负实部。,，则 1.矩阵A称为Hurwitz稳定的，如果矩阵A的所有特征值均具有负实部。 2.矩阵A称为临界Hurwitz稳定的，如果矩阵A是非Hurwitz稳定的，但它的所有特征值均具有非正实部，且其具有零实部的特征值为其最小多项式的单根。,定义5.3.1 设,均大于0。这里， 。,5.3.2 Lyapunov定理,定理5.3.2 定常线性系统,为渐近稳定的充要条件是矩阵方程,对任意给定的正定对称矩阵,都有唯一正定对称解,推论5.3.1 矩阵方程,有唯一正定对称解,的充要条件，是矩阵,的特征值都有负实部。,
10、阶正定对称矩阵,渐近稳定的充要条件是，对任意给定的,，当,事实5.3.1 存在具有正实部特征值的 阶 实矩阵 和具有互异特征值的 阶反对称 矩阵 ，使得对于任何 均有,事实5.3.2 对于任何具有正实部特征值 的 阶实矩阵 和具有互异特征值的 阶 反对称矩阵 ，系统,5.4 二阶动力学系统的稳定性,5.4.1 二阶动力学系统的状态空间描述,二阶动力学系统 的稳定性由其自由系统的稳定性完全决定。如果令 系统的状态空间描述,5.4.2 预备引理,则系统,渐近稳定。,5.4.3 充分判据,定理5.4.1 二阶动力系统:,渐近稳定的充分条件是:,5.5 线性系统的外部稳定性,5.5.1 有界输入有界输出稳定性及其判据,则称此因果系统是外部稳定的，也即是有 界输入有界输出稳定的，并简称为BIBO 稳定。,定理5.5.1 （时变情况）对于零初始条件 的线性时变系统，表,矩阵，则系统为BIBO稳定的充要条件是， 存在一个有限常数,，,均满足关系式,定理5.5.2 （定常情况）对于零初始条件 的线性定常系统，设初始时刻,则系统为BIBO稳定的充要条件是，存在一 个有限常数,为其脉冲响应矩阵，,为其传递函数矩阵，,为真的有理分式函数,5.5.2 内部稳定性与外部稳定性的关系,是内部稳定的，则其必是BIBO稳定的。,为能控和能观测，则其内部稳定性与外部 稳定性必是等价的。,
