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1、1,第 讲,3,函数的值域 （第二课时）,第二章 函数,2,专题四：用不等式法求函数的值域1. 求下列函数的值域：(1) (2),3,(1) 因为 所以 所以,4,当且仅当 即 时等号成立. 所以 所以原函数的值域为,5,(2)原函数可化为sinx-ycosx=1-2y， 所以 (其中 )， 所以 所以 所以3y2-4y0，所以 所以原函数的值域为,6,点评：对于求形如 或 (x-de或x-de)的值域，常用均值不等式求解，求解时注意“一正，二定，三相等”三个条件须同时成立.,7,将上题(1)中条件 改为 呢?因为 所以 所以,8,当且仅当 即 时等号成立. 所以 所以原函数的值域为,9,题型
2、五：有关值域的逆向思维问题 2. 设a0为常数， 函数 已知当xm，n(nm0)时， f(x)的值域也是m，n， 求a的取值范围.,10,因为f(x)在(0，+)上是增函数， 所以当nm0时， f(x)在m，n上是增函数. 因为当xm，n时， f(x)m，n，所以 f(m)=mf(n)=n，,11,从而m，n是关于x的方程 的两个不等正根. 由 得 所以 解得 故a的取值范围是,12,点评：解决函数的定义域与值域对应的问题，一般先根据函数的单调性，找到定义域与值域的端点值的对应关系，然后由此得出相应参数的方程(或不等式)，再求解得出参数的取值或取值范围.,13,14,15,16,17,题型六：
3、恒成立与存在性问题 3. 若不等式 对一切 成立，求a的最小值.构造函数 则 当 时，y0， 所以 在 上单调递增.,18,因为 所以 又因为af(x)恒成立a 故a的最小值为,19,点评：不等式的恒成立问题，可以构造函数，利用函数的最值问题来解决.求函数的最值的方法与求函数的值域的方法是类似的，此类题综合了函数、方程、不等式等知识，注意三者之间的相互转化与联系.,20,(原创)关于x的不等式 在区间1，2上有解， 求a的取值范围.,21,构造函数 则 当x1，2时，f (x)0， 所以f(x)在区间1，2上是减函数. 所以x1，2时，f(x)min=f(2)= 因为 在区间1，2上有解， 则
4、af(x)min= 故a的取值范围是 ，+).,22,题型 实际应用问题如图，在边长为1的正三角形ABC中，P、Q、R分别为边BC、CA、 AB上的点，且CQ=2BP， AR=3BP， 求PQR的面 积S的取值范围.,23,设BP=x，则 S=SABC-SBPR-SPCQ-SARQ又03x1，即,24,所以函数的定义域为 所以当 时， 当x=0时， 所以S的取值范围是,25,1. 求函数值域的常用方法:配方法、判别式法、换元法、不等式法、有界性法、单调性法、图象法、反函数法、几何法等. 2. 已知函数的定义域或值域，求参数的值或取值范围，关键是要将题设条件转化为关于参数的方程(组)或不等式(组
5、). 3. 对于求含参数的方程有实根的条件，若能分离参数，则可转化为函数的值域求解.,26,4. 恒成立问题： f(x)a恒成立f(x)mina; f(x)a恒成立f(x)maxa. 5. 存在性问题： 存在x，使f(x)a成立f(x)maxa； 存在x，使f(x)a成立f(x)mina.,27,第 讲,3,函数的值域,第二章 函数,28,29,30,一、基本函数的值域 1. 一次函数y=kx+b (k0)的值域为 . 2. 二次函数y=ax2+bx+c (a0)的值域：当a0时，值域为 ;当a0时，值域为 .,R,31,3. 反比例函数y=kx (x0，k0)的值域为 . 4. 指数函数y=
6、ax (a0，a1)的值域为 . 5. 对数函数y=logax (a0，a1，x0)的值域为 . 6. 正、余弦函数的值域为 ，正、余切函数的值域为 .,y|y0，yR,R+,R,-1，1,R,32,二、求函数值域的基本方法 1. 配方法常用于可化为二次函数的问题. 2. 逆求法常用于已知定义域求值域(如分式型且分子、分母为一次函数的函数).,33,3. 判别式法可转化为关于一个变量的一元二次方程，利用方程有实数解的必要条件，建立关于y的不等式后求出范围.运用判别式方法时注意对y的端点取值是否达到进行验算. 4. 不等式法几个变量的和或积的形式. 5. 导数法利用导数工具，结合函数的单调性，讨
7、论其值域.,34,1.设函数f(x)= 1-x2(x1)x2+x-2(x1), 则 的值为( )f(x)= 1-x2(x1) x2+x-2(x1) 故选A.,f(2)=4,35,2.函数 的值域为( ) A. (-，1) B. C. D. 故选C.,C,36,3.函数y=f(x)的值域是-,10，则函数y=f(x-10)+的值域是( ) A. -,10 B. 0,+10 C. -10,0 D. -10,因为y=f(x) 所以函数y=f(x-10)+的值域是 0,+10，故选B.,B,37,题型一：用配方法与换元法求函数的值域1. 求下列函数的值域：(1) (2) (3),38,(1)(配方法)
8、 设=-x2-6x-5(0)， 则原函数可化为 又因为=-x2-6x-5=-(x+3)2+44， 所以04，故0,2， 所以 的值域为0,2.,39,(2)(代数换元法) 设 则x=1-t2， 所以原函数可化为y=1-t2+4t=-(t-2)2+ 5 (t0)， 所以y5， 所以原函数的值域为(-,5.,40,(3)(三角换元法) 因为1-x20，所以-1x1， 故可设x=cos,0,， 则y=cos+sin= sin(+ ). 因为0,， 所以 所以 所以 所以原函数的值域为,41,点评：配方法求函数的值域时，一是注意找到相应的二次式，二是注意自变量的取值范围；运用换元法求函数的值域时，注意
9、新变元的取值范围.,42,设函数f(x)=log2(3-2x-x2)的定义域为A，值域为B，则AB= .由3-2x-x20，得-3x1， 所以A=(-3，1). 因为03-2x-x2=4-(x+1)24， 所以f(x)2， 所以B=(-，2，故AB=(-3，1).,43,题型二：用逆求法与判别式法求函数的值域2. 求下列函数的值域:(1) (2),44,(1)解法1：(逆求法) 由 解出x，得 因为2y+10， 所以函数的值域为y|y-12，且yR. 解法2：(分离常数法) 因为 又 所以y-12. 即函数的值域为,45,(2)(判别式法) 由 得yx2-3x+4y=0， 当y=0时，x=0，
10、 当y0时，由0得 因为函数的定义域为R， 所以函数 的值域为,46,点评：逆求法又称为反函数法，如形如f(x)=ax+bcx+d的函数，可以用逆求法来求解.对于定义域为R的函数式，若能变形为关于自变量x的二次方程形式，利用此方程有解，得到关于y的判别式的关系式，由此得出值域；若定义域不为R，此时还需根据根的范围来确定值域.,47,函数 的值域为 .由 ， 得 因为x0，所以 解得 所以函数的值域为,48,题型三：利用函数的单调性求函数的值域 3. (原创)已知函数 (1)若函数的定义域是-2，-1，求函数的值域； (2)若函数的定义域是 ，求函数的值域.,49,由 得 (1)当x-2，-1时
11、， 得 所以f(x)在区间-2，-1是减函数， 所以当x=-2时，f(x)max=f(-2)=3， 当x=-1时，f(x)min=f(-1)=-1， 所以函数的值域是-1，3.,50,(2)由 可得x=1. 所以当 时，f (x)0， 所以f(x)在区间 上是减函数， 同理可得f(x)在区间(1，2)上是增函数. 由 知， 当定义域为 函数的值域为3，5.,51,点评：利用函数的单调性求函数的值域，其策略是：首先判断函数的单调性或函数的单调区间，然后根据单调性求函数的最值，再得出函数的值域.,52,函数 的值域是 .函数 的定义域为因为函数 在 上为单调递增函数， 所以当 时， 故原函数的值域为,53,若存在x2，5，使等式 成立，求a的取值范围.由题设，当x2，5时，成立. 令 即x=t2+1，t1，2， 则 所以当t1，2时，a-3，-1.,54,1.要求熟记各种基本函数的值域. 2. 求函数值域时，不但要重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的作用.,55,3. 已知函数的定义域或值域，求参数的范围，是一种逆向思维.解决这类问题要求对定义域、值域的概念及函数单调性有较深刻的理解，可以变换角度后构造新的函数，把求参数的范围转化为求新的函数的值域问题.,
