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1、1,第六章 不等式,不等式的解法,第 讲,4,（第一课时）,2,3,4,一、一元一次不等式的解法 基本形式：axb. 当a0时，x ;当a0时，x ; 当a=0时，若b0，则_; 若b0，则_. 二、一元二次不等式的解法 1.设不等式ax2+bx+c0(a0)对应的方程ax2+bx+c=0有两个不等实根x1和x2，且x1x2，则此不等式的解集为_.,x,xR,(-,x1)(x2,+),5,2.设不等式ax2+bx+c0(a0)对应的方程ax2+bx+c=0有两个不等实根x1和x2，且x1x2，则此不等式的解集为_. 注：(i)若不等式ax2+bx+c0(或0)中，a0，可在不等式两边乘-1转化
2、成二次项系数为正的情况，然后再按上述1，2进行求解. (ii)若方程ax2+bx+c=0中，0时，可根据函数y=ax2+bx+c的图象直接写出解集. 三、简单的一元高次不等式的解法,(x1，x2),6,一元高次不等式f(x)0用根轴法(或称区间法、穿根法)求解，其步骤是： 1.将f(x)的最高次项的系数化为正数； 2.将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积； 3.将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线； 4.根据曲线显现出的f(x)的值的符号变化规律，写出不等式的解集. 四、一般分式不等式的解法,7,1.整理成标准型 0(或0)或 0 (或0)； 2.化成
3、整式不等式来解： (1) 0 _; (2) 0 _; (3) 0 _; (4) 0 _.,f(x)g(x)0,f(x)g(x)0的解集为( ) A. x|x-2或x3 B. x|x-2，或1x3 C. x|-2x1，或x3 D. x|-2x1，或1x0，此不等式的解集 为x|-23，故应选C.,10,2.不等式ax2+bx+c0的解集为x|2x3， 则不等式ax2-bx+c0的解集为( ) A. x|x-2 B. x|x3 C. x|x-2或x3 D. x|-3x-2 解:令f(x)=ax2+bx+c,其图象如下图所示，再画出f(-x)的图象即可,故解集为x|-3x-2.,D,11,3.已知
4、则不等式x+(x+2) f(x+2)5的解集是_. 解：当x+20，即x-2时， x+(x+2)f(x+2)52x+25 x ， 所以-2x ; 当x+20,即x-2时，x+(x+2)f(x+2)5x+(x+2)(-1)5 -25，所以x-2, 综上知x .,12,1. 解下列不等式： (1) (2) ax+23(a-x)(aR，为常数). 解：(1)不等式化为 即2x3，所以x .,题型1 一元一次不等式的解法,13,故不等式的解集是x|x . (2)不等式化为(a+3)x3a-2. 当a+30，即a-3时， 不等式的解集是x|x ; 当a+30，即a-3时， 不等式的解集是x|x ; 当a
5、+3=0，即a=-3时，不等式的解集是R.,14,点评：解一元一次不等式的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并、系数化为1.去分母、去括号时不要漏乘；移项时注意要变号；系数化为1时，如果系数含参注意系数为负数或为零时的情况.,15,解关于x的不等式：ax+a2bx+b2(a，bR). 解:原不等式化为(a-b)xb2-a2=(b+a)(b-a). 当ab时，则x =-a-b， 不等式的解集是-a-b，+)； 当a=b时，则0x0，xR， 即不等式的解集为R. 当ab时，则x =-a-b， 不等式的解集是(-，-a-b.,16,2. 设m为实常数，解不等式mx2+1(m+1)x. 解：不等式化
6、为mx2-(m+1)x+10， 即(mx-1)(x-1)0. 当m=0时，有-x+10，即x1; 当m0时，有(x- )(x-1)0. 若 1，即0m1，则x 或x1; 若0 1，即m1，则x1或x . 当m0时,有(x- )(x-1)0,所以 x1.,题型2 一元二次不等式的解法,17,综上分析得，当m1时， 解集为x|x 或x1； 当0m1时,解集为x|x1或x ； 当m=0时，解集为x|x1； 当m0时，解集为x| x1. 点评:解一元二次不等式通常先将不等式化为ax2+bx+c0或ax2+bx+c0(a0)的形式,然后求出对应方程的根(若存在根),再写出不等式的解集:大于0时两根之外,
7、小于0时两根之间;或者利用二次函数的图象来写出一元二次不等式的解集.,18,19,20,3. 解下列不等式： (1)2x3-x2-15x0; (2)(x+4)(x+5)2(2-x)30. 解：(1)原不等式可化为x(2x+5)(x-3)0. 把方程x(2x+5)(x-3)=0 的三个根x1=0，x2=- ， x3=3顺次标在数轴上.,题型3 高次不等式的解法,21,然后从右上方开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图的阴影部分. 所以原不等式的解集为x|- x0或x3. (2)原不等式等价于其解集如图的阴影部分. 所以原不等式的解集为 x|x-5或-5x-4或x2.,22,点评：解高次不等式的思路
8、是降次，降次一般有两种方法，一是因式分解，二是换元法.用因式分解法解高次不等式时，先把高次不等式化为几个一次或二次不等式的积，然后可求得其对应方程的根，再通过“数轴标根法”写出解集.,23,已知函数f(x)= (a、b为常数),且方程f(x)-x+12=0有两个实根为x1=3,x2=4. (1)求函数f(x)的解析式； (2)设k1,解关于x的不等式f(x) 解: (1)将x1=3,x2=4分别代入方程 得 解得 所以f(x)=,24,(2)由(1)知不等式即为 可化为 即(x-2)(x-1)(x-k)0. 当1k2时，解集为(1，k)(2，+); 当k=2时，不等式为(x-2)2(x-1)0
9、， 解集为(1，2)(2，+); 当k2时，解集为(1，2)(k，+).,25,1. 高次不等式与分式不等式的解法通常是：使不等式一边为零，另一边分解为一次因式(一次项系数为正)或二次不完全平方式的积与商的形式(注意二次因式恒正恒负的情况)，然后用数轴标根法写出解集(尤其要注意不等号中带等号的情形). 2. 掌握一元二次方程的根，一元二次不等式的解集与二次函数的图象三者之间的关系，熟练运用函数、方程、不等式思想解题.,26,3. 解含参数的不等式时，一要考虑参数总的取值范围，二要用同一标准对参数进行划分，三要使得划分后，不等式的解集的表达式是确定的.,27,第六章 不等式,不等式的解法,第 讲
10、,4,（第二课时）,28,题型4 分式不等式的解法,1. 解下列不等式:,29,解: (1)不等式化为 即(x-3)(x-1)x0，且x2. 其解集如图阴影部分， 所以不等式的解集是x|0x1或x3. (2)不等式化为 即 即 所以(x-1)(x+1)(x+2)(x+3)0(x-1,-2,-3).,30,其解集如下图阴影部分，所以不等式的解集是x|x -3或 -2x -1或x1. 点评：求解分式型不等式主要是先通分，然后转化为 (或0),再用数轴标根法求解.,31,解关于x的不等式 解：由 得 即 此不等式与x(ax-1)0同解. 若a0，则 x0;若a=0，则x0; 若a0，则x0或x .
11、综上,当a0时,原不等式的解集是( ，0); 当a=0时,原不等式的解集是(-,0); 当a0时,原不等式的解集为(-,0)( ,+).,32,2. 解下列不等式： (1)36x+22x+827x; (2)lg(10x+5)-1lg(x2+2x-1)-lg(x-2). 解：(1)原不等式化为(23)2x+42x+833x， 即2x-434-x1，即( )x-41. 所以x-40，即x4， 所以不等式的解集是(-，4).,题型5 指数、对数不等式的解法,33,(2)不等式化为lg(10x+5)+lg(x-2) lg(x2+2x-1)+1， 即lg(10x+5)(x-2)lg10(x2+2x-1), 即 即 即 即x2. 所以原不等式的解集为(2，+).,34,点评：指数、对数型不等式求解过程中，一是注意底数的限制与讨论；二是注意利用指数函数、对数函数的单调性质转化；三是注意对数式中真数大于0这一隐含条件.,35,36,37,3. 设a0,且为常数,若不等式 的解集为(2，+)，求a的值. 解：不等式化为 即 所以(x+3)(x-2)(ax+1)0. 因为a0，所以(x+3)(x-2)(x+ )0. 因为不等式的解集为(2，+)， 所以 =3，故a= .,
