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1、丽水学院 2012 届学生毕业论文1 矩阵对角化及应用理学院数学 082 缪仁东指导师：陈巧云摘 要:本文是关于矩阵对角化问题的初步研究, 对矩阵对角化充要条件的归纳, 总结 , 通过对实对称矩阵, 循环矩阵,特殊矩阵对角化方法的计算和研究, 让读者对矩阵对角化问题中求特征值、特征向量, 求可逆矩阵 , 使对角化 ,提供了简便 ,快捷的求解途征. 关键词:对角矩阵;矩阵对角化 ; 实对称矩阵 ; 特征值 ; 特征向量. 矩阵对角化是矩阵论的重要组成部分,在矩阵论中占有重要的作用,研究矩阵对角化问题很有实用价值 ,关于矩阵对角化问题的研究,这方面的资料和理论已经很多.但是他们研究的角度和方法只是
2、某个方面的研究,没有进行系统的分类归纳和总结.因此 ,我就针对这方面进行系统的分类归纳和总结 ,对一些理论进行应用和举例,给出算法 .特别给出了解题时方法的选择. 1矩阵对角化概念及其判定所有非主对角线元素全等于零的n 阶矩阵 , 称为对角矩阵或称为对角方阵.定义 1.1 矩阵A是数域P上的一个n 级方阵 . 如果存在一个P上的 n 级可逆矩阵X, 使1XAX为对角矩阵 , 则称矩阵A可对角化 . 矩阵能否对角化与矩阵的特征值特征向量密切相关. 定义 1.2 设A是一个n阶方阵 ,是一个数 , 如果方程组AXX (1) 存在非零解向量, 则称为的A一个特征值, 相应的非零解向量X称为属于特征值
3、的特征向量（1）式也可写成 , ()0EA X (2) 这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组, 它有非零解的充分必要条件是系数行列式=0EA, (3) 丽水学院 2012 届学生毕业论文2 即1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa上式是以为未知数的一元n次方程 , 称为方阵A的特征方程其左端AE是的n次多项式 , 记作( )f, 称为方阵的特征多项式111212122212( )|nn AnnnnaaaaaafEAaaa1 11nn nnaaa显然 ,A的特征值就是特征方程的解特征方程在复数范围内恒有解, 其个数为方程的次数（重根按重数计算）, 因此 ,n阶矩阵A有n个特征
4、值设n阶矩阵()ijAa的特征值为12,n,由多项式的根与系数之间的关系, 不难证明（）121122nnnaaa; （）12nA. 若为A的一个特征值, 则一定是方程=0AE的根 , 因此又称特征根, 若为方程=0AE的in重根 , 则称为A的in重特征根方程()0AE X的每一个非零解向量都是相应于的特征向量 , 于是我们可以得到求矩阵A的全部特征值和特征向量的方法如下：第一步：计算A的特征多项式EA；第二步：求出特征方程=0EA的全部根 ,即为A的全部特征值；第三步：对于的每一个特征值, 求出齐次线性方程组：()0EA X的一个基础解系12,s,则A的属于特征值的全部特征向量是1122ss
5、kkk（其中12,sk kk是不全为零的任意实数）设P是数域 , Mn (P) 是P上 n n 矩阵构成的线性空间, A Mn (P) , 1,2t,为A 的 t 个互不相同的特征值, 高等代数第二版 （北京大学数学系几何与代数教研室编）第四版（张和瑞、郝炳新编）课程中, 我们学过了矩阵可对角化的若干充要条件如：(1) A 可对角化当且仅当A 有 n 个线性无关的特征向量; (2) A 可对角化当且仅当特征子空间维数之和为n ; 丽水学院 2012 届学生毕业论文3 (3) A 可对角化当且仅当A 的初等因子是一次的; (4) A 可对角化当且仅当A 的最小多项式无重根我们知道线性变换A 的特
6、征多项式为f ( ) , 它可分解成一次因式的乘积12 12( )() () ()irrr if则 V 可分解成不变子空间的直和其中iV = | ir i12-=sVVVV（AE）;V 引理 1.1 : 设 A, B 都是 n 阶矩阵 , 则秩 ( AB) 秩 ( A) + 秩( B) - n. 定理 1.1 : 设 A 是实数域F 上的一个 n 阶矩阵 , A 的特征根全在F 内, 若1, 2,.,K是 A 的全部不同的特征根, 其重数分别为1r, 2r,. kr, 那么() 可对角化的充要条件是ij ijEAr秩 j=1, 2,.k () 当( 1) 式成立时 , i ijEA的列空间就是
7、A 的属于特征根i的特征子子空间. 证明 : ( ) 设 A 可对角化 , 则存在可逆阵T, 使1 1122,.,kKTATdiagEEE这里右边是分块对角矩阵, jE为ir阶单位阵 , 于是有11 iii ijijijEATEATETAT秩秩秩=122,.,iKK ijEdiagEEE秩=12,.,ijijijK ijdiagEEE秩=0,0,.0,0,0,.,0ijjj ijdiagEr秩 j=1,2, k. 反之 , 若()ijEAr秩 i=1,2,.k, 反复用引理可得22ijii ijijEAEAKnnrkn秩r秩丽水学院 2012 届学生毕业论文4 ij ijnrrj=1,2,.,
8、k. 这里用到了齐次线性方程组0iEA X的解空间的维数不大于i的重数不大于jr这个结论 .于是又ii ijijEAnr秩从而iiAnr秩i=1,2,k. 这样的矩阵可以对角化 .( ) 设( ) 式成立 , 则 A 可对角化 . 故 A的最小多项式为1ki ix从而10ki iEA即0ii ijEAEA这就是说 , 列空间包含在i的特征子空间中, 但是由 (1),i ijEA的列空间的维数是n, 它正是jr的特征子空间的维数, 所以结论 ( ) 成立 .推论 : 设 A 为实数域 F上的 n阶矩阵 ,A 的特征根全为F 内, 且1, 2是 A的全部不同的特征根, 其维数分别为1r, 2r,
9、若秩12EAr, 秩21EAr, 则A 可以对角化 , 且EA的列向量组的极大无关组恰是属于2的极大线性无关的特征向量组,2EA的列向量组的极大无关组恰是属于1的极大无关的特征向量组.例1: 判断 A=460350361能否对角化 ,并求特征向量 .解: 易知 A的特征根1 =-2 , 2 =1. 1EA =660350363和2EA =360360360的秩分别为2 与 1, 故 A可对角化 . 又因为可以选取001和210为的列空间的一个基,111是属于1的特征向量 . 定理和推论把判断矩阵是否对角化的问题与求它的特征向量的问题联系起来, 给出了一个不丽水学院 2012 届学生毕业论文5
10、用解线性方程组而求得可对角化矩阵的特征向量的方法, 在矩阵的不同特征根较少时, 这个方法较方便 . 2实对称矩阵对角化的计算方法我们知道任意实对称矩阵, 总正交相似于一对角阵. 该对角阵的对角元即为实对称矩阵的特征值 , 正交相似变换矩阵的各列构成相应的特征向量. 给定一实对称阵A , 如何求正交相似变换矩阵 P , 使1TPAPPAP为对角阵 . 理论上的解决方法为: 首先利用特征方程: | I - A | = 0 求出全部特征值, 针对不同特征值求出相应的完全特征向量系, 合在一起构成实对称阵A 的完全特征向量系. 再利用施密特正交化法得到A 的规范化正交特征向量系. 以此作为列向量得到正
11、交相似变换矩阵P , 1TPAPPAP为对角阵 , 参见文献 5 . 此方法理论可行, 但在具体操作时 , 由于要事先求出实对称阵A 的全部特征值 , 操作上有如下困难: (1) 特征方程 : | I- A | = 0 给出困难 ; (2) 特征方程求根困难(5 次以上的代数方程没有统一的求根公式) . 因此有必要寻求方法 . 定义 2.1 ( 瑞雷商 ) 设A 为n 阶实对称阵 , 对于任一 n维非零列向量x , 称R ( x) =( A x , x)/( x , x) 为关于向量 x 的瑞雷商 . 引理 2.1 设 A 为 n 阶实对称阵 , 12n为 A 的特征值 . 11/0/0,ma
12、x,min,nnx RxRAx xAx xx xx x定义 2.2设 w 为 n 维列向量 , 且Tw w= 1 , 则 n 阶矩阵 H = I - 2Tww称为 Householder 阵. 引理 2.2Householder 矩阵具有如下性质: (1) THH(2) TTHHHHI ( H 是正交阵 ) . 引理 2.3设 x , y nR, x y , XY, 则存在 Householder 矩阵 H, 使 Hx = y. 其中22/THIxyxyxy定理 2.1设 A 是实对称矩阵, , x (2X = 1) 是 A 的一个特征值和相应的特征向量,丽水学院 2012 届学生毕业论文6
13、则存在 P 为一个正交阵, 使 Px =1e = 1,0,0.,0T. 且TPAP的第一行和第一列的第一个元素为, 其余元素均为零. 证 设 A 是实对称矩阵, 12.n为 A 的特征值 . 根据引理2.1 ,利用多元函数求极值的拉格朗日乘数法, 可求得1及相应的规范化特征向量1X . 不妨假设1X = 1 , 由引理 2.3 ,存在1P为一个正交阵 , 使11P X=1e=1,0,0,.,0T. 且TPAP的第一行和第一列的第一个元素为1 , 其余元素均为零. 设1 11 100TPAPA, 为对称阵 , 故1A也为对称阵 , 设2及2X为1A最大特征值及相应的规范化特征向量, 则根据引理2
14、.3 ,存在2Q为一个正交阵 , 使2211,0,0,.,0TQ xe. 且212TQ AQ的第一行和第一列除2外其余元素均为零. 令2 2100PQ, 容易验证2P亦为正交阵 , 满足 : 1 1 21122 212 200000000TT TP P AP PQ A QA依此类推 , 存在正交阵1p,2p , ?,1np, 使得1np.2p1p121.TTT nApppD, 则TPAP=D, 其中D 为对角阵 , 令121PPPPn, 则TPAPD,P即为将实对称阵对角化的正交相似变换矩阵 . 例 2:设矩阵210210582811A, 123为 A的特征值 . 按上面的算法进行对角化 ,
15、求出正交矩阵P及特征根和特征向量. 解: (1) 利用瑞雷商和多元函数求极值的拉格朗日乘数法, 可求得1 = 18 ,相应的特征向量为1122,333Tx(2) 计算正交矩丽水学院 2012 届学生毕业论文7 1p=211112/TpIxexexe=122333 221333 212333, 满足1 111,0,0Tp xe且111800090009TP AP,至此已实现对角化. 借此可求得 = 2=9 , 3= - 9. 相应的特征向量分别为2212,333T x, 3221,333T x. 3循环矩阵对角化方法的研究在复数域C 上 , 形如012110121230.nnnaaaaaaaaA
16、aaaa的矩阵 , 称关于元素列011,.,na aa的循环矩阵. 已 知n 阶循环矩阵010.0001.0.100.0K, 并令i iKK(1,2, )in, 称121,nE KKK为循环矩阵基本列( 其中E= nK为单位矩阵 ). 循环矩阵基本列有如下特点: 121,.,nE KKK都是循环矩阵; n iiKK , 即n iiKK; n 阶循环矩阵K有 n 个特征根 : cossinmmxmxinn(0,1,1)mn 关 于 元 素 列0121, . ,naaaa的n 阶 循 环 矩 阵A 可 用 循 环 矩 阵 基 本 列 表 示 为丽水学院 2012 届学生毕业论文8 21 0121.n nAa Ea Ka KaK, 反之 , 能用循环矩阵基本列线性表示的矩阵, 则一定是循环矩阵
