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1、第四章 向量组的线性相关性, 1 向量组及其线性组合 2 向量组的线性相关性 3 向量组的秩 4 线性方程组的解的结构 5 向量空间,定义1,分量全为复数的向量称为复向量.,分量全为实数的向量称为实向量，,一、 维向量的概念,1 向量组及其线性组合,例如,二、 维向量的表示方法,维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用 等表示，如：,维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 等表示，如：,注意,行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量；,行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算；,当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.,向 量,三、向量空间,空 间,叫做
2、维向量空间,时， 维向量没有直观的几何形象,叫做 维向量空间 中的 维超平面,确定飞机的状态，需 要以下6个参数：,飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z),机身的水平转角,机身的仰角,机翼的转角,所以，确定飞机的状态，需用6维向量,维向量的实际意义,若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组,例如,四、向量、向量组与矩阵,向量组 , , ， 称为矩阵A的行向量组,反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.,线性方程组的向量表示,方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应,定义,线性组合,向量 能 由向量组 线性表示,定理1,定义,从而,定理2,定理3,向量组 能由向量
3、组,向量组与矩阵的对应关系,向量组 能由向量组,线性表示，则存在矩阵 使,也即方程 有解；反之亦然。,线性表示，则,向量的表示方法：行向量与列向量；, 向量空间：解析几何与线性代数中向量的联系与区别、 向量空间的概念；,向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方 程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念,四、小结, 维向量的概念，实向量、复向量；,2 向量组的线性相关性,注意,定义,一、线性相关性的概念,则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关,定理 向量组 （当 时）线性相关 的充分必要条件是 中至少有一个向 量可由其余 个向量线性表示,证明,充分性,设 中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表
4、示.,即有,二、线性相关性的判定,故,因 这 个数不全为0，,故 线性相关.,必要性,设 线性相关，,则有不全为0的数 使,因 中至少有一个不为0，,不妨设 则有,即 能由其余向量线性表示.,证毕.,线性相关性在线性方程组中的应用,结论,定理4,下面举例说明定理的应用.,证明 （略）,解,例,解,例,分析,证,定理5,证明,说明,说明,. 线性组合与线性表示的概念；,. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性 在线性方程组中的应用；（重点）,. 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 两个定理（难点）,三、小结,思考题,证明 （）、（）略,（）充分性,必要性,思考题解答,05真题, 3 向量组的秩
5、,定义,一、最大线性无关向量组,定理,二、矩阵与向量组秩的关系,4,结论,说明,事实上,定理,三、向量组秩的重要结论,推论1,推论2,思考,证一,证二,注意,最大线性无关向量组的概念：最大性、线性无关性, 矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵行向量组的秩, 关于向量组秩的一些结论：一个定理、三个推论, 求向量组的秩以及最大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换,四、小结,思考题, 4 线性方程组解的结构,解向量的概念,设有齐次线性方程组,若记,（1）,一、齐次线性方程组解的性质,则上述方程组（1）可写成向量方程,若,称为方程组(1) 的解向
6、量，它也就是向量方程 (2)的解,齐次线性方程组解的性质,证明,（2）若 为 的解， 为实数，则也是 的解,证明,由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 的解空间,证毕.,基础解系的定义,二、基础解系及其求法,线性方程组基础解系的求法,现对 取下列 组数：,依次得,从而求得原方程组的 个解：,下面证明 是齐次线性方程组解空 间的一个基,所以 个 维向量 亦线性无关.,由于 是 的解 故 也是 的 解.,所以 是齐次线性方程组解空间的一个基.,说明,解空间的基不是唯一的,解空间的基又称为方程组的基础
7、解系,若 是 的基础解系，则 其通解为,定理1,解,对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩 阵，有,例2 解线性方程组,解,对系数矩阵施 行初等行变换,即方程组有无穷多解，,其基础解系中有三个线性无关的解向量.,所以原方程组的一个基础解系为,故原方程组的通解为,例3,证,证明,非齐次线性方程组解的性质,三、非齐次线性方程组解的性质,证明,证毕,其中 为对应齐次线性方程 组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特 解.,非齐次线性方程组的通解,非齐次线性方程组Ax=b的通解为,与方程组 有解等价的命题,线性方程组 有解,线性方程组的解法,（1）应用克莱姆法则,（2）利用初等变换,特点：只适用于系
8、数行列式不等于零的情形， 计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可 用来证明很多命题,特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有 无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数 表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效 的计算方法,例4 求解方程组,解,解,例5 求下述方程组的解,所以方程组有无穷多解.,且原方程组等价于方程组,求基础解系,令,依次得,求特解,所以方程组的通解为,故得基础解系,另一种解法,则原方程组等价于方程组,所以方程组的通解为,齐次线性方程组基础解系的求法,四、小结,（1）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为 最简形,由于,令,（2）得出 ，同时也可知方程组的一 个基础解系含有
9、个线性无关的解向量,故,为齐次线性方程组的一个基础解系., 线性方程组解的情况,思考题,思考题解答,(069 分）已知非齐次方程组,有三个线性无关的解., 5 向量空间,说明,2 维向量的集合是一个向量空间,记作 .,一、向量空间的概念,定义1 设 为 维向量的集合，如果集合 非空， 且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合 为向量空间,1集合 对于加法及乘数两种运算封闭指,例2 判别下列集合是否为向量空间.,解,解,试判断集合是否为向量空间.,定义2 设有向量空间 及 ，若向量空间 ， 就说 是 的子空间,实例,二、子空间,设 是由 维向量所组成的向量空间，,三、向量空间的基与维数
10、,定义3 设 是向量空间，如果 个向量 ，且满足,（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基,说明,（3）若向量组 是向量空间 的一 个基，则 可表示为,（2）若把向量空间 看作向量组，那末 的基 就是向量组的最大无关组, 的维数就是向量组的 秩.,四、基变换公式与过渡矩阵,那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什 么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐 标如何改变呢？,问题：在 维线性空间 中，任意 个线性 无关的向量都可以作为 的一组基对于不同的 基，同一个向量的坐标是不同的,称此公式为基变换公式,由于,矩阵 称为由基 到基 的过 渡矩阵,过渡矩阵 是可逆的,若两个基满足
11、关系式,五、坐标变换公式,则有坐标变换公式,或,证明,向量空间的概念：向量的集合对加法及数乘两种运算封闭；由向量组生成的向量空间,子空间的概念,向量空间的基和维数：求向量空间基和维数的方法,四、小结,4向量空间中基的过渡和坐标转换,思考题,思考题解答,考研大纲-向量组的线性相关性,考试内容：向量的概念 向量的线性组合和线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大线性无关组 向量组的秩 向量组等价向量组的秩与矩阵的秩之间的关系,考研大纲-向量组的线性相关性,考试内容：线性方程组解的性质和解的结构 齐次线性方程组的基础解系和通解 解空间 非齐次线性方程组的通解向量空间以及相关概念 n维向量空
12、间的基变换和坐标变换 过渡矩阵,考试要求：1. 理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法 2. 理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩3. 理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系4. 了解n维向星空间、子空间、基底、维数、坐标等概念,了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵,考研大纲-向量组的线性相关性,考试要求：5. 理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法.6. 理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念7. 掌握用初等行变换求解线性方程组的方法,考研大纲-向量组的线性相关性,
