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1、第五章动态电路的时域分析 90 5.9 激励为任意波形的响应与卷积积分 5.9.1 卷积积分 首先，设两个相同函数)( 1 tf和)( 2 tf， 且0t时两函数的值均为零，则)( 1 tf与)( 2 tf的 卷积通常用)()( 21 tftf来表示，并由下列积分形式来定义： dftftftf t )()()()( 2 0 121 （5-65 ） 1. 交换律 如果令t，则dd，则有 dtftftft tt f 0 212 0 1 )()()()( dftf t )()( 1 0 2 =)(*)( 12 tt ff 即)()()()( 1221 tftftftf（5-66 ） 2. 分配律 )
2、()()()()()()( 3121321 tftftftftftftf（5-67 ） 3. 结合律 )()()()()()( 321321 tftftftftftf（5-68 ） 4. 卷积的微分 dt tdf tf dt tdf tf dt tftfd)( )( )( )( )()( 1 2 2 1 21 （5-69 ） 卷积的积分 dffdftfdff ttt )()()()()()( 122121 （5-70 ） )()()(* )( 212 1 tftfdf dt tdf t （5-71 ） 5.9.2 任意输入的零状态响应 如果电路的激励)(te的波形如图5-52 所示，定义的时间
3、区间是（ 0 t，t） ，表示从 0 t 到t之间的任意时刻。对于任意输入电路的激励作用，可以看成是一系列冲激强度不同的时 间上依次延迟dt的冲激激励波的叠加。首先用一系列具有相同宽度的矩形脉冲来近似表示 )(e 。 把 时 间 区 间 ( 0 t，t) 分 成 相 等 的 几 段 ， 每 段 宽 度 为 ， 即 kk tttttt 11201 。因此)(e可以用图示中的阶梯曲线来近似表示， 即可看成一系列的矩形脉冲的合成。这一系列的矩形脉冲可以通过单位脉冲函数和延迟的单 第五章动态电路的时域分析 91 位脉冲函数，即)( p和)( k tp来表示。因此，可以用上述的矩形脉冲表示)(e，即 )
4、()()()()()()( 221100 tptetptetptee )()(.)()(. 11nnkk tptetpte )()( 1 0 k n k k tpte（5-78） e 0 t 1 t 1n t t o 图 6-52 )(e 的阶梯形近似描述 放电在单位矩形脉冲)( p激励下的零状态响应为)（h，对每一延迟的矩形脉冲 )( k tp, 在时刻t观察到的相应的响应将为）（ k tth ，根据线性电路的齐次定理对 )()( kk tpte的响应将是)()( kk tthte。所以按叠加定理，式（5-78 ）的激励所产生 的响应为 1 0 )()()( n k kk tthtetr 为
5、了保证)(e的阶梯矩形近似更接近真实)(e，令 0 t到t区间内的脉冲数不断的增加。当 t时，0 ，每个单位矩形脉冲变成冲激函数， h 变成了冲激响应h ， e 变成了 原来的激励)(te，响应)(tr则变成电路对应原激励的零状态响应)(tr，同时上式的求和也 变成了积分， k t变成了连续变量，则变成了d。于是有 dthtetr t t k )()()( 0 其中 0 t为任意激励施加的时刻，t为待求响应所对应的时刻。特别地，当0 0 t时，有 dthtetr t k )()()( 0 （5-79 ） 或dhtetr t 0 )()()(（5-80 ） 式（ 5-79）和式（ 5-80 ）所示的积分就是卷积的积分。因此只要知道电路的冲激响应，对于 任意的激励函数)(te的作用，都可根据卷积的积分求电路的零状态响应。
