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1、- 1 -浙江省嘉兴一中浙江省嘉兴一中 20172017 级高三适应性测试级高三适应性测试数学试卷数学试卷 一、选择题一、选择题1. 若集合，则集合 中的元素个数为（ ）A. 9 B. 6 C. 4 D. 3【答案】D【解析】的数对共 9 对，其中满足，所以集合 中的元素个数共 3 个2. 复数 满足（其中为虚数单位） ，则复数（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】，.点睛：本题考查的是复数的运算和复数的概念，首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(a+bi)(c+di)=(acbd)+(ad+bc)i,(a,b,cR). 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 a+
2、bi(a,bR)的实部为 a、虚部为 b、模为对应点为(a,b)、共轭复数为 abi3. 已知数列中的任意一项都为正实数，且对任意，有，如果，则的值为（ ）A. B. 2 C. D. 【答案】C【解析】令，则，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，从而，因为，所以4. 已知函数，则的图象为（ ）- 2 -A. B. C. D. 【答案】B【解析】由为偶函数，排除，当时，排除C5. 随机变量X的分布列如下表，且E(X)2，则D(2X3)（ ）X02aPpA. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】C【解析】，- 3 - 点晴：本题考查的是离散型随机变量的期望,方差和分布列中各个概率之间的关系.
3、先根据概率之和为 1，求出 p 的值，再根据数学期望公式，求出 a 的值，再根据方差公式求出 D（X） ，继而求出 D（2X-3） 解决此类问题的关键是熟练掌握离散型随机变量的分布列与数学期望6. 设函数，则下列叙述中，正确的序号是（ ）对任意实数，函数在 上是单调函数；对任意实数，函数在 上都不是单调函数；对任意实数，函数的图象都是中心对称图象；存在实数，使得函数的图象不是中心对称图象A. B. C. D. 【答案】A【解析】考虑，函数的图象是由它平移得到的，因此，其单调性和对称性不变7. 已知，且，则的最小值为（ ）A. 4 B. C. D. 【答案】A【解析】且，可知，所以，当且仅当 时
4、等号成立故选 A8. 将函数（其中）的图象向右平移个单位，若所得图象与原图象重合，则不可能等于（ ）A. 0 B. C. D. 【答案】D【解析】由题意，所以，因此，从而，可知不可能等于- 4 -9. 已知是抛物线上不同的三点，且 轴，点 在边上的射影为 ，则（ ）A. 16 B. 8 C. 4 D. 2【答案】A10. 已知不等式对一切都成立，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】令，则 若 a0，则 y0 恒成立，x1 时函数递增，无最值若 a0，由 y=0 得：x=，当1x时，y0，函数递增；当 x时，y0，函数递减则 x=处取得极大值，也为最大值lna+ab2，
5、lna+ab20，blna+a2，1，令 t=1，t=，（0，e1）上，t0， （e1，+）上，t0，a=e1，tmin=1e的最小值为 1e点晴:本题主要考查用导数研究不等式恒成立问题. 解决这类问题的一种方法法是：通过变量分离将含参函数的问题转化为不含参的确定函数的最值问题，本题中 a0 时，则 y0- 5 -恒成立，x1 时函数递增，无最值a0 时 x=处取得极大值，也为最大值lna+ab20，可得 blna+a2，于是1，令 t=1，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，可得的最小值.二、填空题二、填空题11. 设，为单位向量，其中，且 在 上的投影为 ，则 _，与的夹角为_【
6、答案】 (1). 2 (2). 【解析】 ;设与夹角为 ，则 ，解得，所以故填12. 若双曲线的右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍，则双曲线的离心率为_，如果双曲线上存在一点 到双曲线的左右焦点的距离之差为 4，则双曲线的虚轴长为_【答案】 (1). 2 (2). 【解析】由于右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍，可知双曲线渐近线的倾斜角为，即，所以，因为，从而所以虚轴长为.13. 某四面体的三视图如右图所示，其中侧视图与俯视图都是腰长为 的等腰直角三角形，正视图是边长为 的正方形，则此四面体的体积为_，表面积为_.- 6 -【答案】 (1). (2). 【解析】由三视图可知，几何体为一个以正视图为
7、底面的四棱锥，将其扩充为正方体，顶点为前面的右上方的顶点，所以,.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.14. 设等差数列的前 项和为，若，则的最大_，满足的正整数_ 【答案】 (1). 6 (2). 12【解析】依题意，则
8、，所以，即满足的正整数 15. 电影院一排 10 个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有_种【答案】40【解析】除甲、乙、丙三人的座位外，还有 7 个座位，共可形成六个空，三人从 6 个空中选三位置坐上去有种坐法，又甲坐在中间，所以乙、丙有种方法，所以他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有 种.16. 在 且，函数- 7 -的最小值为，则的最小值为_【答案】【解析】在中, 为钝角, ,函数的最小值为.函数,化为恒成立.当且仅当时等号成立,代入得到,.当且仅当时, 取得最小值,的最小值为.17. 已知点 是平面区域：内的任意一点
9、， 到平面区域的边界的距离之和的取值范围为_【答案】【解析】设平面区域：围成，由题意， 到平面区域的边界的距离之和 就是 到三边的距离之和，设 到边界的距离分别为因为，因为，所以，从而，又，所以，因此 的取值范围为三、解答题三、解答题- 8 -18. 已知（1）求函数的单调递增区间；（2）设的内角 满足，而，求边的最小值。【答案】 （1）。 （2）【解析】试题分析：（1）化简可得 由可得单调递增区间为。（2）由向量的数量积，余弦定理结合基本不等式可得边的最小值.试题解析：（1）由得，故所求单调递增区间为。（2）由得， ，即，又中，19. 如图，在三棱锥中，底面， ， ，- 9 -分别是，的中点
10、， 在上，且（1）求证：平面；（2）在线段上上是否存在点 ，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由【答案】 （1）见解析; （2）点 存在，且 【解析】试题分析：第（1）问证明 平面，基本思路是证明平面内的两条相交直线垂直，注意合理利用题设条件给出的数量关系和图形关系；第（2）问应抓住两点找到问题的求解方向：一是点 的预设位置，二是二面角 的位置涉及空间二面角的问题，可以从两个不同的方法上得到求解，即常规法和向量法试题解析：（1）由，是的中点，得因为底面，所以 - 10 -在中，所以因此，又因为，所以，则，即 因为底面，所以，又，所以底面，则又，所以平面 （2）方法一：假设满
11、足条件的点 存在，并设过点 作交于点，又由，得平面作交于点 ，连结，则于是为二面角的平面角，即，由此可得 由，得，于是有，在中，即，解得于是满足条件的点 存在，且 - 11 -（2）方法二：假设满足条件的点 存在，并设以 为坐标原点，分别以，为 ， ，轴建立空间直线坐标系，则，由得所以， 设平面的法向量为，则，即，取，得，即设平面的法向量为，则，即，取，得，即由二面角的大小为，得，化简得，又，求得 于是满足条件的点 存在，且点晴：本题考查的是线面垂直的证明和二面角的求解.第（1）问证明 平面，基本思路是证明平面内的两条相交直线垂直，注意合理利用题设条件给出的数量关系和图形关系；第（2）问应抓住
12、两点找到问题的求解方向：一是点 的预设位置，二是二面角 的位置涉及空间二面角的问题，可以从两个不同的方法上得到求解，即常规法和向量法- 12 -20. 已知函数（1）设，试讨论单调性；（2）设，当时，任意，存在，使，求实数 的取值范围.【答案】 （）见解析;（2）【解析】试题分析：(1)直接利用函数与导数的关系,求出函数的导数,再讨论函数的单调性;(2)利用导数求出的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出在闭区间上的最大值,然后解不等式求参数.试题解析：（）函数的定义域为，令，则，（）舍去令，则，令，则 所以当时，函数单调递增；当时，函数单调递减（2）当时，由（1）可知的两根分别为，令，则或
13、，令，则可知函数在上单调递减，在上单调递增， - 13 -所以对任意的，有， 由条件知存在，使，所以即存在，使得 分离参数即得到在时有解，由于（）为减函数，故其最小值为， 从而，所以实数 的取值范围是21. 如图，已知中心在原点，焦点在 轴上的椭圆的一个焦点为，是椭圆上的一个点（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的上、下顶点分别为，（）是椭圆上异于的任意一点，轴， 为垂足，为线段中点，直线交直线于点 , 为线段的中点，如果的面积为，求的值【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：(1)设椭圆方程为,由题意,得,再由是椭圆上的一个点,即可求出椭圆方程;- 14 -(2)根据题意,求出直线AB的方
14、程、点M,C,N的坐标,计算,可得,再利用,结合椭圆方程,求解可得结果.试题解析：（1）设椭圆方程为，由题意，得 因为，所以又是椭圆上的一个点，所以，解得或（舍去） ，从而椭圆的标准方程为所以 因此，=从而因为，所以在中，因此从而有，解得- 15 -22. 已知数列满足:（1）当时，求数列的通项公式；（2）在（1）的条件下,若数列满足为数列的前 项和，求证:对任意.【答案】 （1）. （2）见解析.【解析】试题分析：（1）当时，得知是以 1 为首项、1 为公差的等差数列.（2）经计算知当时，当时，根据得到令利用“错位相减法”证得.试题解析：（1）当时，所以是以 1 为首项、1 为公差的等差数列，从而.（2）所以当时，当时，因为令两式相减得- 16 -综上所述，对任意考点：1.等差数列的通项公式；2.数列的求和、 “错位相减法”.(本文来自微传网：)
