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1、第七章 梁的弯曲,第一节 平面弯曲的概念,一、弯曲和平面弯曲,1. 弯曲:,以弯曲变形为主的构件通常称为梁。,受力特点：杆件受到垂直于杆件轴线方向的外力或在杆轴线所在平面内作用的外力偶的作用。变形特点：杆轴线由直变弯。,弯曲内力,弯曲内力,房屋建筑中的楼（屋）面梁、挑梁,弯曲内力,2. 平面弯曲,工程中常见的梁，其横截面大多为矩形、工字形、T形、槽形等,弯曲内力,二、梁的类型,凡是通过静力平衡方程就能够将梁的支座反力全部求出的梁，统称为静定梁。,梁的三种基本形式,悬臂梁,简支梁,外伸梁,弯曲内力,第二节 梁的弯曲内力,一、梁的内力剪力和弯矩,弯曲内力,V,M,M,V,弯矩M ：构件受弯时，横截
2、面上其作用面垂直于截面的内力偶矩。,C,C,Y=0 FAyV=0V=FAy () MC=0 FAy x+M=0M=FAy x (),剪力V ：构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。,弯曲内力,剪力绕脱离体产生顺时针转动趋势时为正,剪力绕脱离体产生逆时针转动趋势时为负,剪力：,二、剪力和弯矩的正负号规定,弯曲内力,外力使脱离体产生下部受拉时为正,弯矩：,外力使脱离体产生上部受拉为负,弯曲内力,三、用截面法求指定截面上的剪力和弯矩截面法是求梁的内力的最基本的方法。 其步骤为(1) 求支座反力。 (2) 用假想的截面将梁从要求剪力和弯矩的位置截开。(3) 取截面的任一侧为隔离体，作出其受力图
3、，列平衡方程求出剪力和弯矩。,弯曲内力,例7-1 试用截面法求图示悬臂梁1-1、2-2截面上的剪力和弯矩。已知：q=15kN/m，FP =30kN。,解 由于悬臂梁具有一端为自由端的特征，所以在计算内力时可以不求其支座反力。,弯曲内力,（1）求1-1截面的剪力和弯矩,取1-1截面的右侧为隔离体。1-1截面上的剪力和弯矩都按照正方向假定。,Y=0 FPq1V1=0V1= FPq1=30151=45kN,M1=0 M1 q12.5 FP3=0M1=q12.5FP3=1512.5303=127.5kNm,计算结果为负，说明1-1截面上弯矩的实际方向与图中假定的方向相反，即1-1截面上的弯矩为负值。,
4、计算结果为正，说明1-1截面上剪力的实际方向与图中假定的方向一致，即1-1截面上的剪力为正值。,弯曲内力,（2）求2-2截面上的剪力和弯矩,取2-2截面的右侧为隔离体。,Y =0 V2FPq1=0V2= FPq1=30151=45kN (正剪力),M2=0 M2 q10.5 FP1=0M2=q10.5FP1=1510.5301 =37.5kNm (负弯矩),弯曲内力,例7-2 用截面法求外伸梁指定截面上的剪力和弯矩。,MB=0,解 （1）求支座反力,(),Y=0 FBy=25kN (),弯曲内力,（2）求1-1截面上的剪力和弯矩列平衡方程,Y=0 V1 FP=0V1=FP=100kN (负剪力
5、),M1=0 M1FPa=0M1=FP a= 1001.5=150kNm (负弯矩),弯曲内力,（3）求2-2截面上的剪力和弯矩Y=0 V2 FPFBy=0V2=FPFBy =100125=25kN (正剪力)M2=0 M2 FPa=0M2=FP a=1001.5= 150KNm (负弯矩),弯曲内力,（4）求3-3截面的剪力和弯矩Y=0 V3FBy=0V3=FBy=25kN (正剪力)M3=0 M3MFBya=0M3=MFBya = 75251.5=112.5kNm (负弯矩),（5）求4-4截面的剪力和弯矩Y=0 V4FBy=0V4= FBy=25kN (正剪力)M4=0 M4 FBya=
6、0M4=FBya=251.5=37.5kNm (负弯矩),弯曲内力,总结与提示截面法是求内力的基本方法。(1) 用截面法求梁的内力时，可取截面任一侧研究，但为了简化计算，通常取外力比较少的一侧来研究。(2) 作所取隔离体的受力图时，在切开的截面上，未知的剪力和弯矩通常均按正方向假定。(3) 在列梁段的静力平衡方程时，要把剪力、弯矩当作隔离体上的外力来看待，因此，平衡方程中剪力、弯矩的正负号应按静力计算的习惯而定，不要与剪力、弯矩本身的正、负号相混淆。,弯曲内力,第三节 用内力方程梁的内力图,通常情况下，梁上不同截面上的剪力和弯矩值是不同的，即梁的内力（剪力和弯矩）随梁横截面的位置而变化。对梁进
7、行强度和刚度计算时，除了要计算指定截面上的内力外，还必须知道内力沿梁轴线的变化规律，从而找到内力的最大值以及最大内力值所在的位置。,弯曲内力,剪力和弯矩一般是随横截面的位置而变化的。横截面沿梁轴线的位置用横坐标x表示，则梁内各横截面上的剪力和弯矩就都可以表示为坐标x的函数，即V=V（x）和 M=M（x） 以上两函数分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。,弯曲内力,一、剪力方程和弯矩方程,为了形象地表明沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化情况，通常将剪力和弯矩在全梁范围内变化的规律用图形来表示，这种图形称为剪力图和弯矩图。作剪力图和弯矩图最基本的方法是：根据剪力方程和弯矩方程分别绘出剪力图和弯矩图。,绘
8、图时，以平行于梁轴线的横坐标x表示梁横截面的位置，以垂直于x轴的纵坐标（按适当的比例）表示相应横截面上的剪力或弯矩。,弯曲内力,二、剪力图和弯矩图,在土建工程中，对于水平梁而言，习惯将正剪力作在x轴的上面，负剪力作在x轴的下面，并标明正、负号；正弯矩作在x轴的下面，负弯矩作在x轴的上面。即弯矩图总是作在梁受拉的一侧。对于非水平梁而言，剪力图可以作在梁轴线的任一侧，并标明正、负号；弯矩图作在梁受拉的一侧。,弯曲内力,FP,FPl,V图,M图,例7-5 作图8示悬臂梁在集中力作用下的剪力图和弯矩图。,解 (1) 列剪力方程和弯矩方程。将坐标原点假定在左端点A处，并取距A端为x的1-1截面的左侧研究
9、。剪力方程为：V =FP (0xl)弯矩方程为：M =FP x (0xl),(2) 作剪力图和弯矩图当x=0时 MA=0 当x=l时 MB=FP l,弯曲内力,例7-6 作图示简支梁在集中力作用下的剪力图和弯矩图。,MB=0 FAy lFP b=0 FAy= (),MA=0 FP aFB y l=0 FB y = (),解 （1）求支座反力,（2）列剪力方程和弯矩方程,弯曲内力,AC段：距A端为x1的任意截面1-1以左研究,CB段：距B端为x2的任意截面2-2以右研究,弯曲内力,V图,M图,在梁上无荷载作用的区段，其剪力图都是水平线，在集中力作用处，剪力图突变，突变的绝对值等于集中力的数值，而
10、弯矩图是斜直线，在集中力作用处，弯矩图发生转折，出现尖角现象。,弯曲内力,例7-7 作图示简支梁在集中力偶作用下的剪力图和弯矩图。,解 （1）求支座反力,（2）列剪力方程和弯矩方程,FBy M / l,FAy - M / l,弯曲内力,AC段：距A端为x1的任意截面1-1以左研究,CB段：距B端为x2的任意截面2-2以右研究,弯曲内力,V图,M图,在集中力偶作用处，剪力图无变化；弯矩图不连续，发生突变，突变的绝对值等于集中力偶的力偶矩数值。,弯曲内力,例 7-8 作图示简支梁在满跨向下均布荷载作用下的剪力图和弯矩图。,MB=0 FAy lFP b=0 FAy= (),MA=0 FP aFB y
11、 l=0 FB y = (),解 （1）求支座反力,弯曲内力,距A端为x的任意截面C以左研究,（2）列剪力方程和弯矩方程,弯曲内力,在水平梁上有向下均布荷载作用的区段，剪力图为从左向右的下斜直线，弯矩图为开口向上（下凸）的二次抛物线；在剪力为零的截面处，弯矩存在极值。,由弯矩方程可知：弯矩为x的二次函数，弯矩图为一条二次抛物线，至少需要确定三个控制截面的数值。 当 x时 MA=0 当 xl 时 MB=0 当 xl/2 时 MC =,V图,M图,弯曲内力,一、M(x)、V(x)、q(x)之间的微分关系,对dx 段进行平衡分析，有：,第四节 弯矩、剪力和荷载集度之间的微分关系及其应用,q(x),q
12、(x),M(x)+d M(x),V(x)+d V(x),V(x),M(x),dx,C,y,剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。,Fy =0 V(x)+q(x) dx V (x)+d V(x)=0,弯曲内力,弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。,弯矩与荷载集度的关系是：,C,弯曲内力,二、用M(x)、V (x)、q(x)三者之间的微分关系说明内力图的特点和规律,弯曲内力,弯曲内力,弯曲内力,三、应用规律绘制梁的剪力图和弯矩图,用规律作剪力图和弯矩图的步骤(1) 求支座反力。对于悬臂梁由于其一端为自由端，所以可以不求支座反力。(2) 将梁进行分段梁的端截面、集中力、集中力偶
13、的作用截面、分布荷载的起止截面都是梁分段时的界线截面。(3) 由各梁段上的荷载情况，根据规律确定其对应的剪力图和弯矩图的形状。(4) 确定控制截面，求控制截面的剪力值、弯矩值，并作图。,弯曲内力,控制截面是指对内力图形能起控制作用的截面。当图形为平行直线时，只要确定一个截面的内力数值就能作出图来，此时找到一个控制截面就行了；当图形为斜直线时就需要确定两个截面的内力数值才能作出图来，此时要找到两个控制截面；当图形为抛物线时就需要至少确定三个截面的内力数值才能作出图来，此时至少要找到三个控制截面；一般情况下，选梁段的界线截面、剪力等于零的截面、跨中截面为控制截面。,弯曲内力,第五节 梁的正应力及正
14、应力强度计算,弯曲应力,一、梁横截面上的正应力,弯曲应力,中性层,中性层：梁的下部纵向纤维伸长，而上部纵向纤维缩短，由变形的连续性可知，梁内肯定有一层长度不变的纤维层，称为中性层。中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴，,由于荷载作用于梁的纵向对称面内，梁的变形沿纵向对称，则中性轴垂直于横截面的对称轴。梁弯曲变形时，其横截面绕中性轴旋转某一角度。,弯曲应力,计算时公式中代入M和y的绝对值。的正负可由弯矩的正负和所求点的位置来判断.,弯曲应力,例 简支梁受均布荷载q作用，试完成：(1) 求距左端为m的C截面上a、b、c三点的正应力。(2) 求梁的最大正应力值，并说明最大正应力发生在何处。(3)
15、作出C截面上正应力沿截面高度的分布图。,弯曲应力,解 （1）求指定截面上指定点的应力,先求出支座反力,由对称性,C截面积的弯矩,矩形截面对中性轴z的惯性矩,MC=(5.2513.510.5)kNm=3.5kNm,弯曲应力,计算C截面上a、b、c三点的正应力：,弯曲应力,(2) 求梁的最大正应力值，及最大正应力发生的位置。,梁的最大正应力发生在最大弯矩Mmax所在的上、下边缘处。由梁的变形情况可以判定，最大拉应力发生在跨中截面的下边缘处；最大压应力发生在跨中截面的边缘处。其最大正应力的值为,弯曲应力,(3) 作C截面上正应力沿截面高度的分布图。,弯曲应力,一般情况下，最大正应力 发生于弯矩最大的横截面上矩中性轴最远处。,式中WZ仅与截面的几何形状及尺寸有关，称为截面对中性轴的抗弯截面模量。单位：m3或mm3 。,令：,三、梁的正应力强度计算,1. 梁的最大正应力,习惯上把产生最大应力的截面称为危险截面，产生最大应力的点称为危险点。,
