§3-4 三角网条件平差计算2 学时三角网测量的目的， 是通过观测三角形的各角度或边长，计算三角网中各未知点的坐标、边的长度及方位角等三角网按条件平差计算时，首要的问题是列出条件方程因此了解三角网的构成，总结其条件方程的种类及各种条件方程的组成规律是十分重要的三角网的种类比较多，网的布设形式也比较复杂根据观测内容的不同，有测角网、 测边网、 边角同测网等； 根据网中起始数据的多少，有自由三角网和非自由三角网自由三角网是指仅具有必要起算数据的三角网，网中没有多余的已知数据如果测角三角网中，只有两个已知点 （或者已知一个已知点的坐标、一条已知边的长度和一个已知的方位角），根据数学理论， 以这两个已知点为起算数据，再结合必要的角度测量值，就能够解算出网中所有未知点的坐标 如果三角网中除了必要的起算数据外还有其它的已知数据，或者说已知数据有冗余， 就会增加对网形的约束，从而增强其可靠性，这种三角网称之为非自由三角网无论多么复杂的三角网，都是由单三角形、大地四边形和中点多边形组合而成的在本节， 我们先讨论三角网条件平差中条件方程个数的确定问题，然后主要讨论测角三角网的条件方程的形式问题一、网中条件方程的个数三角网平差的目的，是要确定三角点在平面坐标系中的坐标最或然值。
如图3-9 所示，根据前面学到的测量基础知识，我们知道， 必须事先知道三角网中的四个数据，如两个三角点的 4 个坐标值， 或者一个三角点的2 个坐标值、 一条边的长度和一个方位角，这 4 个已知数据我们称之为三角网的必要起算数据有了必要起算数据，就可以确定三角网在平面坐标系中的位置、网的大小及其方位，就可以计算三角网中未知点的坐标要对三角网进行平差计算，还必须先知道网中的总观测数n、判定必要观测数t，从而确定了多余观测数：r = n - t 由条件平差原理知，多余观测数与条件方程数是相等的，有了多余观测数，也就确定出了条件方程的个数因此，问题的关键是判定必要观测数t1.网中有 2 个或 2 个以上已知点的情况三角网中有2 个或 2 个以上已知三角点，就一定具备了4 个必要起算数据无论是测角网、 测边网还是边角同测网，如果有 2 个已知点相邻， 要确定一个未知点的坐标，需要观测两个观测值（2 个角，或者1 条边和 1 个角，或者2 条边）也就是说，确定1 个未知点要有 2 个必要观测值；那么如果网中有p 个未知点，必要观测数应等于未知点个数的两倍t = 2 · p(3-4-1) (1) 测角网图 3-9 所示，三角网中有2 个已知点，待定点个数为p = 6。
如果三角网中观测量全部是角度时总观测值个数：n = 23 必要观测数：t = 2 · p =12 则多余观测数，即条件平差条件方程个数：r = n – t = 11 (2) 测边网在图 3-9 中，如果三角网中观测量全部是边的长度时：总观测值个数：n = 14 必要观测数：t = 2 · p =12 则多余观测数，即条件平差条件方程个数：r = n – t = 2 (3) 边角同测网在图 3-9 中，如果三角网中的所有的角度值和所有的边长值都进行观测时：总观测值个数：n = 37 必要观测数：t = 2 · p =12 则多余观测数，即条件平差条件方程个数：r = n – t = 25 2. 网中已知点少于2 个的情况有些情况下，三角网中已知点可能少于2 个，只有 1 个已知点、 1 个已知边和1 个已知方位角，或者没有已知点和已知方位角只有1 个已知边但是，不管怎样说，1 条已知边是必须已知的， 或者需要进行观测的如果没有已知点，可以假定网中的1 个未知点； 如果没有已知方位角， 可以取网中的1 个方向的方位角为某一假定值这样也就间接地等价于网中有 2 个相邻点的坐标是已知的。
1) 测角网三角网中共有p 个三角点、 1 个已知方位角（也可以没有）、1 个已知点（也可以没有已知点）和1 个已知边长S （或者也是观测得到的），并观测了所有的角度如果已知点和已知方位角都没有，就要进行必要的假设则在进行条件平差时，必要观测数为：t = 2 · ( p – 2) (3-4-2) 如图 3-10 所示，三角网中观测了所有角度值（如果没有已知边时，也观测1 条边长作为起算数据）网中三角点个数：p = 6 角度观测值个数：n = 12 必要观测数：t = 2 · ( p – 2) = 8 则多余观测数，即条件平差条件方程个数：r = n – t = 4 (2) 测边网或边角同测网若三角网中，共有p 个三角点和1 个已知点（或者也是假定的），并对所有的边长，或者角度和边长进行了观测，观测值总个数为n在进行条件平差时，由于要加上必须的起算边长，则必要观测（边或者边和角）的个数为t = 2 · ( p – 2)+1 (3-4-3) 如图 3-10 所示，网中三角点个数：p = 6 如果是测边网，则总观测值个数：n = 9 必要观测数：t = 2 · ( p – 2) +1=9 多余观测数，即条件平差条件方程个数：r = n – t = 0 如果是边角同测网，则总观测值个数：n = 21 必要观测数：t = 2 · ( p – 2) +1=9 多余观测数，即条件平差条件方程个数：r = n – t = 12 以上我们仅对几种三角网，讨论了条件平差时必要观测数及多余观测数和条件平差方程数的确定方法， 还有很多情况没有涉及到。
在实际平差计算中，应针对不同情况进行具体分析二、条件方程的形式三角网中的条件方程主要有以下几种形式：1. 图形条件方程图形条件， 又叫三角形内角和条件，或三角形闭合差条件在三角网中， 一般对三角形的每个内角都进行了观测根据平面几何知识，三角形的三个内角的平差值的和应为180?，如图 3-12 中的三角形ABP，其内角平差值的和应满足下述关系：0180???321LLL(3-4-4) 此即为三角形内角和条件方程由于三角形是组成三角网的最基本的几何图形，因此，通常称三角形内角和条件为图形条件 因此图形条件也是三角网的最基本、最常见的条件方程形式与（ 3-4-4）式相对应的改正数条件方程为0321wvvv(3-4-5) )180(321LLLw(3-4-6) 2. 水平条件方程水平条件，又称圆周条件，这种条件方程一般见于中点多边形中如图3-12 所示，在中点 P 上设观测站时，周围的五个角度都要观测这五个观测值的平差值之和应等于360?，即0360?????1512963LLLLL(3-4-7) 相应的改正数条件方程为01512963wvvvvv(3-4-8) )360(1512963LLLLLw(3-4-9) 3. 极条件方程极条件是一种边长条件，一般见于中点多边形和大地四边形中。
先看中点多边形的情况如图 3-12 所示，中心P 点为顶点，有五条边，从其中任一条边开始依次推算其它各边的长度，最后又回到起始边，则起始边长度的平差值应与推算值的长度相等在图 3-12 所示的三角网中，我们应用正弦定理，以 BP 边为起算边， 依次推算 AP、EP、DP、CP，最后回到起算边BP、，得到下式14131110875421?sin?sin?sin?sin?sin?sin?sin?sin?sin?sin??LLLLLLLLLLSSBPBP整理得0?1?sin?sin?sin?sin?sin?sin?sin?sin?sin?sin14118521310741LLLLLLLLLL(3-4-10) （3-4-10）式即为平差值的极条件方程为得到其改正数条件方程形式，可用泰勒级数对上式左边展开并取至一次项：1 sinsinsinsinsinsinsinsinsinsin1 sin?sin?sin?sin?sin?sin?sin?sin?sin?sin1411852131074114118521310741LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL2 2141185213107411 114118521310741cot sinsinsinsinsinsinsinsinsinsin cot sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinv L LLLLLLLLLLv L LLLLLLLLLL55141185213107414414118521310741cot sinsinsinsinsinsinsinsinsinsincot sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinvL LLLLLLLLLLvL LLLLLLLLLL88141185213107417714118521310741cot sinsinsinsinsinsinsinsinsinsincot sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinvL LLLLLLLLLLvL LLLLLLLLLL11 111411852131074110 1014118521310741cot sinsinsinsinsinsinsinsinsinsin cot sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinv L LLLLLLLLLLv L LLLLLLLLLL0cot sinsinsinsinsinsinsinsinsinsin cot sinsinsinsinsinsinsinsinsinsin14 141411852131074113 1314118521310741v L LLLLLLLLLLv L LLLLLLLLLL化简，即得极条件的改正数条件方程：01414131311111010887755442211wvctgLvctgLvctgLvctgLvctgLvctgLvctgLvctgLvctgLvctgL (3-4-11) 13107411411852sinsinsinsinsinsinsinsinsinsin1 LLLLLLLLLLw(3-4-12) 在大地四边形中的极条件方程与中点多边形稍有不同。
如图3-11 所示，可以取D 点为极点，以BD 为起始边，依次推算AD、CD 再回到 BD 边仿照中点多边形的极条件方程，由正弦定理，得大地四边形的极条件平差值方程01?sin)??sin(?sin?sin?sin)??sin(74314287LLLLLLLL整理得01 ?sin)??sin(?sin)??sin(?sin?sin74318742LLLLLLLL(3-4-13) 相应的改正数条件方程0)())(())(()(887778744343432211wvLLctgvctgLLLctgvLLctgctgLvLLctgvctgLvctgL (3-4-14) )sin(sinsinsin)sin(sin 187427431LLLLLLLL w(3-4-15) 4. 方位角条件方程前面讨论的三种条件方程在三角网中比较常见如果三角网中的起始数据有了变化，起算数据不相邻，或者已知数据有冗余，还会增加一些限制条件，产生其它类型的条件方程，如方位角条件方程、边长条件方程、坐标条件方程等这些类型的条件方程常见于非自由三角网中如图 3-13 所示，为一个非自由三角网，有 4 个已知点、 2 个未知点和12 个角度观测值。
必要观测个数t = 2 × 2 = 4，多余观测数r = n – t = 12 - 4 = 8 ，即共有 8 个条件方程， 其中图形条件方程有4 个，没有极条件， 也没有水平角条件，那么另 4 个是什么类型的呢？由于三角网中有4 个已知点， 每个已知点有2 个坐标值， 共计 8 个已知数据， 超过了 4 个必要起算数据， 从而产生 4 个冗余的已知数据这 4 个多余的已知数据必然会导致4 个矛盾， 进而产生 4 个条件方程方位角条件， 严格地说是方位角附合条件，是指从一个已知方位角出发，推算至另一个已知方位角后，所得推算值应与原已知值相等如从 4 个已知点可以反算出AB 和 EF 两边的边长值和方位角值，。