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1、例1. 变速直线运动的速度,物体作匀速直线运动时, 有,这一速度其实是物体走完某一段路程的平均速度，平均速度记作V.,由于匀速运动物,体的速度是不变的，因此,41 导数的概念,一、导数概念的引入,由于变速直线运动物体的速度 V(t) 是变的，因此，用这个公式算出的平均速度V不能真实反映物体在时刻 t0 的瞬时速度 V(t0).如何求V(t0)?,设一物体作变速直线运动，在0, t这段时间内所走路程为 S = S(t). 下求V(t0),如图,设物体在 t0 时，所走路程为 S(t0)，在 t0+t 时所走路程为 S(t0+t)，从而，物体在 t0, t0+t 这段时间内所走路程为,S =,S
2、(t0+t) S (t0),物体在 t0, t0+t 这段时间内的平均速度为,t越小，近似值,就越接近精确值V(t0).,当t无限变小时，近似值,就会无限接近,也就是,精确值V(t0).,例2. 曲线的切线斜率,圆的切线可定义为“与曲线(圆)只有一个交点的直线”，但对一般曲线而言. 这一定义是不合适的.如y=x2, x 轴和 y 轴与曲线都只有一个交点，以哪条直线作为切线呢？如图,又如，y = x3, 如图,又比如，y=sinx, 如图,切线的一般定义：如图,设有曲线C及C上一点M，在M点外任取C上一点N，作割线MN，当点N沿曲线C趋向点M时，如果割线MN趋向于它的极限位置MT，则称直线MT为
3、曲线C在点M处的切线.,T,M,N,C,N,下面讨论曲线C：y = f (x), 在点M(x0, y0)处的切线斜率问题.,设N的坐标为 (x0+x, y0+y), 割线MN的倾角为, 切线MT的倾角为.,如图,T,y=f (x),M,x,x0,x0+x,N,C,y0+y,y0,P,割线 MN 的斜率,当x0 时, N 沿 C 趋于M, MN MT.,从而. 因此, tgtg.,P,所以切线MT的斜率：,P,定义：设 y=f (x)在x0 的某邻域U(x0)内有定义. 如果当x0时，,的极限存在, 则称这个极限值为f (x)在x0处的导数，记作f (x0), 即,二、导数的定义,存在，则称,f
4、 (x)在x0可导(或称f (x)在 x0 的导数存在). 否则，称f (x)在x0不可导(或称 f (x)在 x0的导数不存在). 特别,注1. 若,若记x=x0+x, 当x0时, x x0,特别，取x0 = 0, 且若 f (0) = 0, 有,注2.导数定义还有其他等价形式,注3.对于例1, 有,对于例2, 曲线y = f (x)在点 M(x0, f (x0) 处切线斜率,注4.由于,称为,f (x)在x0的右导数.,称为,f (x)在x0的左导数.,有, f (x) 在x0可导 f (x)在x0的左, 右导数存在且相等.,注5.若 y = f (x)在(a, b)内每点可导，则称 f
5、(x)在(a, b)内可导.,此时，x(a, b)都有唯一确定的值f (x)与之对应，所以导数是x的函数.,称为y=f (x)的导函数,按定义，,f (x)就是x所对应的导数值，这个式子就是导函数的表达式.,而f (x0)就是f (x)在x= x0处的函数值，即,另外，求,注6.,用定义求导数一般可分三步进行.,设y = f (x)在点x处可导,(1) 求y=f (x+x) f (x),(2) 求比值,(3) 求极限,三、求导举例,例3. 求 y = C (常数)的导数.,解：(1) y = f (x+x) f (x) = C C = 0,(2),(3),故(C ) = 0, 即常数的导数为0
6、.,例4. 设 y = f (x) = xn. n为正整数，求f (x).,解：(1) y = f (x+x) f (x),= (x+x)n xn,(2),(3),即 (xn)= nx n1,比如，(x)=1,(x2)=2x,(x3)=3x2,一般，对幂函数y=x, 为实数,有 (x) = x1,比如,例5. 求y = sinx的导数.,解：(1) y = sin (x+x) sinx,(2),(3),即 (sinx) = cosx,类似 (cosx) = sinx,例6. 求y = ax的导数，其中a0, a1.,解：,从而,即 (ax) = axlna,特别，取a = e, 则 (ex)=
7、 ex,例7. 求y=logax 的导数，其中a0, a1, x0, 并求y|x=1.,解：,即,特别，取a = e, 则,从而,由例2知, 函数y=f (x)在x0处的导数 f (x0)就是曲线y = f (x)在点M(x0, f (x0)处切线的斜率，即 k = f (x0).,法线方程为,一般, 若f (x0)存在, 则y=f (x)在点M(x0, f (x0)处切线方程为,四、导数的几何意义,特别，(i)当f (x0)=0时，即k = 0.,从而切线平行于,x轴. 因此，法线垂直于x轴.,如图,切线方程：y = f (x0).,法线方程：x = x0.,(2) 当f (x0)=(不存在
8、). 即k = tg =. 故,从而切线垂直于x轴，而法线平行于x轴.,切线方程： x = x0.,法线方程： y = f (x0).,如图,单位圆在(1, 0)处切线方程: x = 1.,法线方程: y = 0.,又如图,由于在原点(0,0)处,x,y,0,(不存在),从而切线方程: x=0, 法线方程: y = 0.,例8. 求过点(2, 0)且与曲线y=ex相切的直线方程.,解：由于点(2, 0)不在曲线y=ex上，故不能直接用公式 y f (x0) = f (x0)(x x0).,由于(ex)=ex,因切线过点(2, 0), 代入, 得,得x0 = 3.,所求切线为y e3 = e3(
9、x3),定理. 若y=f (x)在 x0可导，则y=f (x)在 x0必连续.,证： 因f (x)在 x0可导，即,五、可导与连续的关系,由极限与无穷小量的关系，有,或,故,定理的逆命题不成立，即, 若y=f (x)在x0连续，y=f (x)在x0不一定可导.,例. 讨论f (x)=| x |在 x=0 处的可导性和连续性.,解：由于,故| x |在x=0连续.,但|x|在x=0不可导. 因f (x)=|x|=,x, x0,x, x0,实数)的导数,解： y = e lnx,例11. 求y = sinnxsinnx的导数，n为常数.,解：,定理3.若x=(y)在某区间Iy内严格单调, 可导,(
10、y) 0, 则它的反函数y=f (x)在对应区间Ix内也可导, 且,证：由于x=(y)在Iy内严格单调、连续. 从而它的反函数y=f (x)存在, 并在Ix内有相同的单调性, 同时, y=f (x)在Ix内连续.,即,下证,三、反函数求导法则,xIx, 给改变量x0, 相应的函数y=f (x)有改变量,由于 x = (y)和 y = f (x)互为反函数，,即，,即x也就是函数x=(y)的改变量.,因y=f (x)连续，故当x0时，y0，且(y) 0,例11. 证明,证：y=arc sinx是x=siny的反函数. x=siny在,内单调，可导，且(siny)=cosy 0,所以在对应区间(1
11、,1)内，有,例12. 证明,证：y=arc tgx是x=tg y在,上的反函数,x=tg y在,内单调，可导，且,例13. 设,解：,=,当 x 0且| x | a时,当x a 时,=,P106 P107,四、导数公式表,说明：公式12,(1) 当 x 0时，,(2) 当 x 0时，,综合(1)、(2)有,公式17,因为,类似得公式18,例14.,解:,例15. 设,sinx, x 0 ex1, 0 x ln3 2x2, ln3 x,求 f (x) 的导数, 并指出 f (x)的不可导点.,解: 当 x 0时, f (x) = (sinx) = cosx.,当 0 x ln3时, f (x)
12、 = (ex1) = ex.,当 ln3 x时, f (x) = (2x2) = 4x.,f (x) =,考虑分段点 x = 0, ln3处的导数.,= 1 (当x 0时, f (x) = sinx),= 1 (当 0 x ln3时, f (x) = ex1),由于 f (0) = f +(0) = 1, 故 f (0) = 1.,由于当 0x ln3时, f (x) = ex1. 当 ln3 x时, f (x) = 2x2. 故 f (ln3) = eln31 = 2.,从而,所以 f (x) = ln3 处不可导.,综合, f (x) =,cosx, x0,1, x=0,ex, 0 x ln3,4x, ln3 0,在 (, +)内可导.,解: 由于可导必连续, 故要使 f (x) 可导, 必先使 f (x)连续.,
