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1、目录 目录 前言：泛函分析简介 第一部分：习题单列 专题之一：度量空间基本概念 专题之二：完备度量空间 专题之三：压缩映射原理 专题之四：赋范线性空间 专题之五：列紧集与紧性 专题之六：稠密性与可分性 专题之七：线性算子与泛函的基本概念 专题之八：有界线性泛函的表示 专题之九：线性泛函的延拓 专题之十：共鸣定理 专题之十一：开映射定理与闭图像定理 专题之十二：内积空间与 Hilbert空间 专题之一：度量空间基本概念 1在 n R 上，令 （）),( 21nx , （） ),( 21ny ， （） 2/1 1 2 )(),( n i ii yx， 证明：),( n R是度量空间 【注】另外，若
2、令 n i ii yx 1 1 ),(， ii ni yx 1 2 max),(， 则可以验证 n R 分别关于),( 1 yx和),( 2 yx也构成度量空间 2设X是任意的非空集合，对X中的任意元yx,，令 ),(yx ,0 ,1 yx yx 当 当 目录 证明：X关于),(yx构成度量空间 3 设 1 R 是 实 数 全 体 ， 规 定 对 1 ,Ryx， 令 |1 | ),( yx yx yx， 证 明 ： 1 R 关 于 ),(yx构成度量空间 4设X是非空集合，对任何自然数k，有XX上的函数 k ，满足 （）对任何Xyx,，0),(yx k ，0),(xx k ； （）),(),(
3、),(yzzxyx kkk ， Xzyx, 又设对一切自然数k，均有0),(yx k 时，必有yx证明：X按照 ),(1 ),( 2 1 ),( 1yx yx yx k k k k 成为度量空间，且对Xxn， n x按照距离收敛于x 的充要条件是对一切自然数 k，均有0),(xxn k)(n 5取所有有界复数列作为元素组成集合X，对每个元素),( 21n xX（简记作 )( j x） ，都存在一个实数C，使得 ),3,2,1( jC j ，按照 jj Nj yxsup),( 定义度量，令),( Xl，证明：),( Xl是度量空间 目录 6设 E是 Lebesgue 可测集，)(Em 设S是E上
4、实值（或复值）可测函数全体，当 )(tf ， )(tg 在E上几乎处处相等时，把 f 和g看做S中的同一点，且对于 Sgf , ，定 义 dt tgtf tgtf gf E )()(1 )()( ),(， 证明： （）),(gf是S上的一个度量； （）在S中，0),(ff n 的充要条件是 n f依测度收敛于 f 7设X是一个度量空间，其度量为 ),(yx ， Xyx, 证明： ),(1 ),( ),( yx yx yx ， Xyx, 是X上的另一度量，并且 是有界的 8设 ,baC 是 ,ba 上连续函数的全体， yx,baC ，定义 ),(yx )()(maxtytx bta ， 证明：,
5、baC按照),(yx构成度量空间 9设,baC是区间,ba上无限次可微函数的全体，定义 ),(gfd 02 1 r r bta max |)()(|1 |)()(| )()( )()( tgtf tgtf rr rr 证明：,baC按照),(gfd构成度量空间 目录 10设),( 0 C0)(lim),(tf，f： t 且上连续函数是在),( 0 C上 定义f),()(sup：ttf证明：（),( 0 C，）构成 Banach空间 或者等价地，令 ),(gf),()()(sup：ttgtf ， gf ,),( 0 C 证明：),( 0 C按照),(gf构成完备的度量空间 专题之二：完备度量空间
6、 1设 1与2均是 X上的度量，且存在0, ba，使得Xyx ,，有 ),(),(),( 121 yxbyxyxa 证明：),( 1 X与),( 2 X中有同样的Cauchy 列 2证明：空间l是完备的 2证明：空间 p l是完备的，其中 p1 3证明：空间,baL p 是完备的，其中p1 目录 4证明：空间 ,baL 是完备的 5证明l与 1,0(C 的一个子空间等距同构 【提示】若),( 21 xl，定义),(txT1 ,0(C， 1,0(t，且 , 1 , 1 1 , , 1 , ),( ii t i t txT i 线性 ,2, 1i 证明T是l到 1 ,0(C的子空间的一个同构映射
7、6设 ),( X 是一个度量空间证明： ),( X 是完备度量空间对X中的任何一闭球套 n BBB 21 ， 其 中),(| iii xxxB， 当0 n 时 ， 必 有 唯 一 的 1i i Bx 专题之三：压缩映射原理 目录 1设 ),( X 是一度量空间，当yx时，T：XX满足 ),(TyTx),(yx ，且T 有一不动点，证明：不动点是唯一的 2 （）设T为压缩映射，证明： n T)(Nn仍是压缩映射； （）若1n， n T 是压缩映射，证明：T不一定是压缩映射 3设 ij a ),2,1,(nji 是一组实数，满足 n ji ijij a 1, 2 )(1，其中 .,0 ,1 ji
8、ji ij 证明：代数方程组 i n j jij bxa 1 ),2, 1(ni对任何一组),( 21n bbb必有唯一解 4 （隐函数存在定理）设函数),(yxf在条形域：bxa，y上处处连 续，且处处有偏导数),( / yxf y ，且存在常数Mm，使得在条形域中有 m0),( / yxf y M，证明：方程),(yxf0在,ba上必有唯一连续解)(xy 5 设 v,baC，),(tK是 三 角 域tabtat,|),(上 的 连 续 函 数 ， 且 MtK),(，证明：对于任何常数，方程 目录 )(tx t a dxtKtv)(),()( （）。在 ,ba 上有唯一的连续函数解 )(tx
9、 【注】此题中的方程（）称为Volterra 积分方程考虑二阶常微分方程的初值问题 .)(,)( ),( 10 / 00 2 2 xtxxtx xtf dt xd ，则可转化为一个Volterra 积分方程 实际上对),( 2 2 xtf dt xd 两边积分两次，并代入初始条件，得 0 )(xtx 10 )(xtt t tt dduuxuf 00 )(,( 对 t tt dduuxuf 00 )(,(用分部积分，得 t tt dduuxuf 00 )(,( t t dxft 0 )(,()(， 即 0 )(xtx 10 )(xtt t t dxft 0 )(,()(， 此即 Volterra
10、 型积分方程 6 （第二类Fredholm 型积分方程）设第二类Fredholm 型线性积分方程 )(tx b a dssxstKtf)(),()(（） 其中为参数，对充分小的，则 （）当f,baC，),(stK是定义在 bsabta, 上的连续函数时，（）有 唯一的连续解)(tx,baC，而且)(tx是迭代序列)(tx n b a n dssxstKtf)(),()( 1 的极限，其中)( 0 tx可取,baC中的任意函数 （）当f, 2 baL，积分核),(stK是定义在bsabta,上的可测函数，满足 dtdsstK b a b a 2 ),(，则（）有唯一解)(tx, 2 baL 目录
11、 7 （隐函数存在定理）令U是 2 R 中的点 ),(ba的一个领域，假设f是U中的 x 和y的连 续函数，并且 y f 在U中存在，且在),(ba连续则当 （） y f ),(ba 0；（） 0),(baf 时，则在 a 的某一领域内，存在唯一的连续函数 )( 0 xy，使得0)(,( 0 xyxf 专题之四：赋范线性空间 1设X为数域K上的赋范线性空间，证明：线性运算关于范数是连续的即对 nn ,， ,K， Xyxyx nn ,，当 n ， n ，xx n ，yy n 时，有 yxyx nnnn 且当,0 n x0x时，有 x x x x n n 2设X为赋范线性空间，令 .,1 ,0 )
12、,( yxyx yx yx 证明：),( X是度量空间，但不是由范数导出的度量 目录 3设 ,baV 是 ,ba 上有界变差函数的全体，对于每个 f,baV ，定义 )()(fVaff b a ，其中，)( fV b a 为f在,ba上的全 变差，即)( fV b a n i ii afbf 1 )()(sup 这里代表 ,ba 的任意一个分割bbabaa nn11 ， ,baV 是线性空间，证明： ,baV 是赋范线性空间 4设线性空间X关于成为度量空间，而且满足 ),(),(yxyx，),(),(xx， 其中yx,是X中的任意元，是任意数证明： X按照),( xx成为赋范线性空间 5证明：
13、设),( k k X一列赋范线性空间令 1 21 ,|),( k p k kkk xXxxxxX， 用类似于数列的加法和数乘引进线性运算，并定义范数为： p k p k k p xx /1 1 ，Xx)1(p 证明：),( p X是赋范线性空间 【注】特别地，若 1 21 RXX， 范数 k 即是通常的绝对值，则上题中 最终得到的赋范线性空间就是 p l空间 6证明： 目录 （） i ni x 1 max， n n Rx),( 21 是 n R 上的范数； （） p x p b a p dttx /1 )()1(p 是,baC上的范数 专题之五：列紧集与紧性 1证明：空间 1 ,0 2 L)1
14、(p 中的集合A是相对紧集的充分必要条件是满足下列两 个条件： （）存在常数K，使得对任意Ax，有Kx，即 1 0 )( p p Kdttx； （）任给0，存在0，使得当h0时，有 h xx，即 p p h dttxtx /1 1 0 )()(，对一切成立 2证明： n R 中点集A是相对紧的充分必要条件是 A为有界集 3设X是赋范线性空间，A是X中的有界集证明：A是完全有界集的充分必要条件是 对任意0，存在有限维子空间XX，使A中每个点与 X 的距离都小于 4设X，Y是两个度量空间，映射f：XY，证明：f是连续映射对X中任何 目录 紧集 A， A f | ： AY是连续的 5设X，Y是两个度
15、量空间，映射 f ：XY是单射证明： f 是连续映射的充分必 要条件是f把X中的任何紧集映射为Y中的紧集 专题之六：稠密性与可分性 1记,baP为,ba上多项式全体所构成的线性空间，将之视为度量空间,baC的子 集，证明：,baP在,baC中稠密 2证明：空间 ),(baC 是可分的，其中 )()(max),(tytxyx bta 3证明：),( p l是可分的，其中 p k p kk yx /1 1 ),(，),( 21 x， ),( 21 y 目录 4证明：,baL p 是可分的 5设 p1 ，记 ,baB 是 ,ba 上的有界可测函数全体证明： ,baB 在,baL p 中 稠密 6设 p1 ，视 ,baC 为,baL p 的子空间证明：,baC在,baL p 中稠密 7证明： ,baB （有界函数集）是不可分的 8设),0C是),0上有界函数全体按照范数|)(|suptxx t 所构成的赋范线性空 间证明：),0C是不可分的 专题之七：线性算子与泛函的基本概念 1设线性算子T：,baL,baC，使得 目录 x a dttfxTf)()( 证明：1T 2设 ),(tsK 是定义在 ,baba
