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1、一、椭圆离心率的1、运用几何图形中线段的几何意义。基础题目：如图， O 为椭圆的中心， F为焦点， A 为顶点，准线L 交 OA于 B，P、Q 在椭圆上， PDL 于 D，QFAD 于 F,设椭圆的离心率为e，则 e=PF PD e=QF BFe=AO BO e=AFBAe=FO AO 评： AQP为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，。 AO =a, OF =c, 有； AO =a,BO = a2c有。题目 1：椭圆x2 a2 +y2b2=1(ab 0) 的两焦点为F1、F2，以 F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？思路： A点在椭圆外，找a、b、c 的关系
2、应借助椭圆，所以取AF2的中点 B ，连接 BF1 , 把已知条件放在椭圆内，构造 F1BF2分析三角形的各边长及关系。解： F1F2=2c BF1=c BF2=3c c+3c=2a e= c a = 3-1 变形 1：椭圆x2 a2 +y2b2=1(ab 0) 的两焦点为F1、F2，点 P在椭圆上，使 OPF1为正三角形，求椭圆离B A F2F1D B F OA P Q 心率？解：连接 PF2 , 则OF2=OF1=OP , F1PF2 =90 图形如上图， e=3-1 变形 2: 椭圆x2 a2 +y2b2=1(ab 0) 的两焦点为F1、 F2，AB为椭圆的顶点， P是椭圆上一点， 且
3、PF1X轴，PF2 AB,求椭圆离心率？解： PF1=b2aF2 F1=2c OB =b OA =a PF2 AB PF1 F2 F1= b a 又 b= a2-c2a2=5c2 e=5 5点评：以上题目， 构造焦点三角形， 通过各边的几何意义及关系，推导有关 a 与 c 的 方程式， 推导离心率。二、运用正余弦定理解决图形中的三角形题目 2：椭圆x2 a2 +y2b2=1(ab 0) ，A是左顶点， F 是右焦点， B是短轴的一个顶点，ABF=90 ，求 e? 解： AO =a OF =c BF=a AB=a2+b2F B A O B A F2F1P O OP F1F2a2+b2+a2 =(
4、a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以 a2e2+e-1=0 e=-1+5 2e=-1-5 2( 舍去 ) 变形：椭圆x2 a2 +y2b2=1(ab 0) ，e=-1+5 2, A 是左顶点， F 是右焦点， B是短轴的一个顶点，求ABF ？点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90引申：此类 e=5-1 2的椭圆为优美椭圆。性质： 1、 ABF=90 2、假设下端点为B1 , 则 ABFB1四点共圆。 3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜
5、三角形公式，列出有关 e 的方程式。题目 3：椭圆x2 a2 +y2b2=1(ab 0) ，过左焦点F1且倾斜角为60的直线交椭圆与AB两点，若 F1A=2BF1, 求 e? 解：设 BF1=m 则 AF2=2a-am BF2=2a-m 在 AF1F2及BF1F2中，由余弦定理得：a2c2=m(2a-c)2(a2-c2)=m(2a+c) 两式相除：2a-c2a+c=1 2 e=2 3题目 4：椭圆x2 a2 +y2b2=1(ab 0) 的两焦点为F1（-c ，0） 、F2(c,0) ，P是以 F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点，且PF1F2 =5 PF2F1 , 求 e? 分析：此题有角的值，
6、可以考虑正弦定理的应用。解：由正弦定理：F1F2 sin F1PF2= F1P sin F1F2P = PF2 sin PF1F2根据和比性质：F1F2 sin F1PF2= F1P+PF2sinF1F2P+sin PF1F2变形得：F1F2 PF2+F1P=sin F1PF2sin F1F2P +sin PF1F2= =2c 2a =e PF1F2 =75 PF2F1 =15 e=sin90sin75+sin15 =6 3点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知e=sin F1PF2 sin F1F2P +sin PF1F2变形 1：椭圆x2 a2 +y2b2=1(ab 0) 的两焦
7、点为 F1（-c ，0） 、F2(c,0) ，P是椭圆上一点，且F1PF2=60，求 e 的取值范围？分析：上题公式直接应用。解：设 F1F2P=，则 F2F1P=120- e=sin F1PF2 sin F1F2P +sin PF1F2=sin60 sin +sin(120 - ) = 1 2sin( +30)1212e0) F1F2为椭圆两焦点， M为椭圆上任意一点（M不与长轴两端点重合）设PF1F2 = , PF2F1 =若1 3 b 0)， 斜率为 1， 且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、 B两点，OA +OB 与a =(3,-1)共线，求 e?法一：设 A(x1,y1) ,B(x2,
8、y2) b2x2+a2y2=a2b2y=x-c(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0 x1+x2=2a2ca2+b2 y1+y2=2a2ca2+b2-2c=-2b2ca2+b2OA +OB =(x1+x2,y1+y2)与（ 3，-1）共线，则B(X2,Y2) A(X1,Y1) O - （x1+x2）=3(y1+y2)既 a2=3b2 e=6 3 法二：设 AB的中点 N，则 2ON =OA +OBx12a2+ y12 b2 =1 x22a2+ y22 b2 =1 - 得：y1-y2 x1-x2=- b2a2x1 +x2 y1+y21=- b2a2(-3) 既 a2=3b2 e=
9、6 3 四、由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围。题目 6：椭圆x2 a2 +y2b2=1(ab 0) 的两焦点为 F1（-c ，0） 、F2 (c,0)，满足MF1MF2 =0 的点 M总在椭圆内部，则 e 的取值范围？分析：MF1MF2 =0以 F1F2为直径作圆， M在圆 O上，与椭圆没有交点。解： c2c2 0b 0) 的两焦点为F1（-c ，0） 、F2(c,0) ，P为右准线 L 上一点， F1P的垂直平分线恰过 F2点，求 e 的取值范围？F2M F1O 分析：思路 1, 如图 F1P 与 F2M 垂直，根据向量垂直，找a、b、c 的不等关系。思路 2：根据图形中的边长之间
10、的不等关系，求e 解法一： F1（-c ，0） F2 (c,0) P(a2c ,y0 ) M(a2c -c2 ,y0 2 ) 既(b22c , y0 2 ) 则PF1 =-( a2c +c, y0 ) MF2 =-( b22c -c, y0 2 ) PF1MF2 =0 ( a2c +c, y0 ) ( b22c -c, y02 )=0 ( a2c +c)( b22c -c)+ y022 =0 a2-3c20 3 3eb0)，F1、F2是两个焦点，对于给定的角0，探求在 C 上存在点 P，使21PFF的条件。尽量让学生得到：存在点P的条件可相应得到：21BFF。(B 为椭圆短轴的一个端点) 设计
11、意图：要学生养成仔细审题的习惯，就必须从课堂开始训练。问题 2：怎样改动，使上面不是一个错题？改动一： P是椭圆1 4522yx上的点， Fl，F2是椭圆的焦点，若 621PFF，则21FPF的面积等于 _。改动二： P是椭圆1 422 yx上的点， Fl，F2是椭圆的焦点，若 321PFF，则21FPF的面积等于 _。问题 3：改动的依据是什么？（2121BFFPFF,B 为短轴的一个端点）设计意图：自己编题，体会题目如何来，要考什么。题 4：若1F、2F是椭圆)0( 12222 babyax的两个焦点，P是椭圆上一点， 且21PFF，求椭圆的面积。解： 设mPF1，nPF2，由 余弦定 理
12、得2221224cos2cFFmnnm由椭圆定义得anm2由得： cos12cos1)(2222bcamn2tancos1sinsin212221bbmnSPFF性质三：若1F、2F是椭圆)0(12222 ba byax的两个焦点，P是椭圆上一点， 且21PFF，则 2tan221bSPFF。继续看题 2： 已知1F、2F是椭圆)0( 12222 ba byax的两个焦点，椭圆上一点P使9021PFF，求椭圆离心率e的取值范围。思路二：利用焦点三角形性质，从面积角度考虑不妨设短轴一端点为B则2245tan 21bbSPFFbcbcSBFF22121bc2b2c22ca2c22 2ace 21故
13、 22e1当然，若用公式去解同学们编制的题目，将是易如反掌的。如果把图形特殊化，使PF1F1F2, 我们可以得到：性质四： 过椭圆焦点的所有弦中通径( 垂直于焦点的弦 ) 最短，通径为 ab22。题 5：已知椭圆1C：22221(0)yxabab的右顶点为(1,0)A，过1C的焦点且垂直长轴的弦长为1求椭圆1C的方程；这就是 09 年浙江省高考理科试题。展示评分标准。设计意图：从高考角度出现，进一步体现实用价值。问题：考察两个定点的位置还有哪些可能。定点可以是长轴顶。恒、中心、短轴顶点，甚至可能是坐标轴上任一点或椭圆内的一点。【课堂测试】1. 已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且。若的面积
14、为9，则. 9 （09 上海）2. 已知1F、2F是椭圆的两个焦点，满足120MFMF的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ C ）（09 江西）12F、F2222:1(0)xyCababpC12PFPF12PF FbA(0,1) B1(0,2C 2(0,)2D 2,1)23. 已知椭圆2 2 21(1)xyaa的两个焦点分别为1F,2F,P为椭圆上一点, 且1260F PF, 则12| |PFPF的值等于4（ 选 做 ） 设 椭 圆22221(0)xyabab的 左 、 右 焦 点 分 别 为12FFA， ，是 椭 圆 上 的 一 点 ，212AFF F，原点O到直线1AF的距离为1
15、13OF证明2ab；椭圆中焦点三角形的性质及应用定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。与焦点三角形的有关问题有意地考查了定义、三角形中的的正(余)弦定理、内角和定理、面积公式等. 一焦点三角形的形状判定及周长、面积计算例 1 椭圆1 121622yx上一点P到焦点21,FF的距离之差为2，试判断21FPF的形状 . 解：由椭圆定义：3| ,5|.2| ,8|212121PFPFPFPFPFPF. 又4|21FF，故满足：,|2 12 212 2PFFFPF故21FPF为直角三角形 . 性质一 ： 已知椭圆方程为),0( 12222 ba byax两焦点分别为,21FF设焦点三角形21FPF中,21PFF则2tan221bSPFF。性质二 ：已知椭圆方程为),0(12222 ba byax左右两焦点分别为,21FF设焦点三角形21FPF，若21PFF最大，则点P为椭圆短轴的端点。证明：设),(ooyxP,由焦半径公式可知：oexaPF1，oexaPF1在21PFF中，2122
