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1、广西工学院学士学位论文构造函数法在数学证明中的应用1 一、绪论构造函数思想是数学的一种重要的思想方法。在数学中具有广泛的应用。他属于数学思想方法中的构造法。所谓构造法，就是根据件或结论所具有的特征、性质，构造出满足条件或结论的数学模型，借助于该数学模型解决数学问题的方法。它具有两个显著的特性：直观性和可行性，正是这两个特性，在数学应用中经常运用它。 构造法的特点是化复杂为简单、化抽象为直观。构造法思想的核心是根据题设条件 的特征恰当构造一种新的形式。对培养学生的数形结合的思想、思维能力以及培养学生 的创新能力都有很大的帮助。怎样构造呢？当某些数学问题用通常办法按定势思维去解，很难凑效时，应根据
2、题设条件和结论的特征、性质展开联想，常是从一个目标联想起我们曾经使用过可能达到目的的方法，手段，进而构造出解决问题的特殊模式，就是构造法解题的思路 构造法是我们在研究有关数学问题时，需要构造并解出一个合适的辅助问题，从而 用它来求得一条通向表面看来难于接近问题的信道的一种解答问题的方法，其实质就是 把研究的数学问题经过仔细的观察，挖掘其隐含条件，再通过丰富的联想，把问题化归 为已知的数学模型，从而使问题得以解答。怎样去构造呢？常常是从一个目标联想起我 们曾经用过的某种方法、手段，借助于这些方法、手段达到目标。因此构造法体现了数 学思维的灵活性和创造性，构造法并不是独立的，它的运用需要借助于联想
3、法、化归法 等。如果我们能够掌握了构造法并能运用此方法解决数学问题，那么不但可以培养我们 的良好的思维品质，而且还可以提高我们的抽象思维能力、发散思维能力和解题能力。 构造法的方法很多，技巧性强，使用时没有固定的模式，须根据具体问题采用相应的构 造法。本文通过不同数学模型的例子介绍构造法的应用。广西工学院学士学位论文构造函数法在数学证明中的应用2 二、构造函数在微积分证明中的应用构造法是数学解题的主要方法之一，它的应用极广。随着知识的积累和增加，构造 法就越加突现重要。比如在零点定理的证明和应用上，在微积分学里的中值定理的证明 和应用上等。最典型的是拉格朗日中值定理的证明。这个定理的证明是根据
4、几何直观的 启示，构造了一个与问题有关的辅助函数，才得以运用罗尔定理解决的。这种思想方法 在数学解题中经常用到，且往往有效。 中值定理特别是拉格朗日中值定理在不等式的证明中有着重要作用，通过对不等式 的结构分析，构造某特定区间上的函数，满足定理的条件，达到证明目的。 其中，在拉格朗日中值定理的证明中利用定理公式构造了一个新的函数，再利用函 数的性质和定理合理地证明了拉格朗日中值定理。其他中值定理也如此，都是通过构造 函数来证明的。 微积分学中的四种中值定理：费马定理，罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西 中值定理。构造法都贯穿其中，起到了重要和决定性的作用。（一）构造辅助函数用零点定理证明零
5、点 定 理设 函 数( )f x在 闭 区 间 , a b上 连 续 ， 且( )f a与( )f b异 号 （ 即()()0fafb） ，那么在开区间( , )a b内至少有函数( )f x的一个零点，即至少有一点（ab）使( )0f. 零点定理的结论是： 存在( , )a b，使( )0f，结论中并未出现导数运算 . 所以不太可能利用中值定理证明. 相反，只要可以整理为： “证明存在( , )a b，使某连续函数( )x满足( )0”这种形式的命题，基本上都可以使用零点定理来证明，而辅助函数的构造更为简单 . 证明方法(1)将把要正的等式化为等价的标准形式（所有项均移到等式左边，使等式右边
6、为零）. (2)将等式左边的表达式（将换成 x）作为辅助函数即可 . 例1 设( )f x在闭区间0,a上的非负连续函数，并且(0)0f， 证明： 对于任意的0，0，都存在( , )a b，使得( )()ff a. 证明：只要证( )()0ff a，即可. 为此，设( )( )()xf xf ax. 显然( )x广西工学院学士学位论文构造函数法在数学证明中的应用3 在闭区间0,a上连续，并且20a(0)(0)( )( )0ff af a，( )( )(0)( )0af aff a. （1） 若( )0f a，则0，a都满足方程；（2） 若( )0f a， 则由(0)0，( )0b及零点定理知，
7、必有( , )a b， 使得( )0；因而，对于任意的0，0，都存在( , )a b，使得( )()0ff a，即( )()ffa. 构造辅助函数利用零点定理可以证明根的存在性，下面我们通过例子来验证：例 2 设实数10a，20a，30a，123. 证明方程3121230aaaxxx分别在区间12(,)和23(,)有且仅有一个实根 . 证明：设312123( )aaaF xxxx123213312123()()()()()()()()()axxaxxaxxxxx，记123213312( )()()()()()()f xa xxa xxa xx；易见，( )f x是一个二次函数，它在(,)内连续
8、，当然在12,和23, 上都连续，并且111213()()()0fa，222123()()()0fa，333132()()()0fa. 所以由零点定理知，必存在112(,) 与223(,) ，使得1()0f，2()0f；然而( )fx是一个二次函数， 最多有两个零点， 因此( )0f x分别在区间12(,)和23(,)有且仅有一个实根 . 另一方面， 由于123( )( )()()()f xF xxxx，所以( )0F x当且仅当( )0f x，因而( )0F x也分别在区间12(,)和23(,)有且仅有一个实根. 广西工学院学士学位论文构造函数法在数学证明中的应用4 （二）构造辅助函数用罗尔
9、定理证明罗 尔 中 值定 理如果 函数( )fx在 闭区 间 , a b上 连 续 ,在 开区 间( , )a b内 可 导 ,且( )( )f af b,那么至少存在一点( , )a b,使得( )0f. 对于含有抽象函数( )f x及其导数( )fx的方程或关于的等式，在证明时，应构造 辅助函数，用罗尔定理证明。此时构造函数的一般方法是，查找原函数，其步骤为： 1若证的是含有的等式，先把改为 x，使等式成为方程； 2把方程看作是以( )fx为未知函数的微分方程，然后解微分方程；3求出解后，把任意常数c移到一端，另一端即为所要构造辅助的函数; 4对于形式简单的方程或含的等式，则可用观察法求出
10、辅助函数. 下面我们用罗尔定理来证明一些重要的定理：拉格朗日中值定理设函数( )fx满足条件：（1）( )fx在闭区间 , a b上连续； （2）( )f x在开区间( , )a b内可导。则至少存在一点( , )a b，使()() ()fbfafba（1.1）我们要证（ 1.1）式，即要证( )( )( )0f bf afba，即()() () 0Xfbfafxba. 故我们可以从几何意义上来考虑：拉格朗日中值定理的几何意义如图1 1所示，函数( )f x的图像在 , a b区间上为图中的弧段AB ， AB上点点存在不与oy轴平行的切线。那么，结论是在( , )a b内存在点，使相应于这一点
11、的弧AB 上C点处的切线平行于弦AB。图1 1因此在证明拉格朗日中值定理中，故我们想到作辅助函数( )( )( )( )f bf axf xxba广西工学院学士学位论文构造函数法在数学证明中的应用5 我们所做的辅助函数( )( )( )( )f bf axfxxba实际上分两部分：1( )yf x 和2( )( )f bf ayxba，容易验证，它们在闭区间 , a b连续，在开区间),(ba内可导，此时易知( )( )ab( )( )bf aaf bba容易验证，( )x在 , a b上满足罗尔定理的条件 . 因而存在( , )a b，使( )=0，即( )( )( )0f bf afba成
12、立.柯西中值定理设函数( )f x和( )g x满足条件：（1）( )f x,( )g x均在闭区间 , a b上连续；（2）( )fx, ( )g x均在开区间( , )a b内可导 ; （3） 对(, ) ,xab( )0g x. 则存在( , )a b，使 ()()() ()()()ffbfagg bg a（2.1）我们要证（ 2.1）式，即要证( )( )( )( )( )( )0g bg aff bf ag,也就是( )( ) ( )( )( ) ( )|0Xg bg af xf bf a g x.故我们想到作辅助函数( )( )( )( )( )( )( )xg bg afxf b
13、f ag x. 容易验证，( )x在 , a b上满足罗尔定理的条件。因而存在( , )a b，使( )( )( )( )( )( )0g bg aff bf a g. 因( )0g x（( , )xa b）故( )( )0g bg a，( )0g，得( )( )( )( )( )( )ff bf agg bg a柯西定理证毕 . 广西工学院学士学位论文构造函数法在数学证明中的应用6 （三）构造辅助函数用拉格朗日中值定理证明证明方法根据拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理：若函数)(xf满足下列条件：（I ）)(xf在闭区间,ba上连续；（ II ）)(xf在 开 区间),(ba内 可导 ，则 在
14、开 区间),(ba内 至 少 存 在 一 点， 使得abafbff)()()(. 拉格朗日中值定理反映了函数或函数增量和可导函数的一阶导数符号之间的关系. 对于常值不等式或函数不等式，通过恒等变形后，若出现函数差值与自变量之差之 比，符号拉格朗日中值公式的形式，则用拉格朗日中值定理证明之. 此时，所要构造的 辅助函数可观察得出 . 证明步骤为： 1辅助函数，找到相应的区间I； 2验证该函数在区间I满足拉格朗日中值定理的条件； 3写出拉格朗日中值公式；4由满足的不等式，对( )f放大或缩小，从而消去，得到所要证明的不等式 . 例 1 证明：当xxxxx)1ln(1,0. 分析：所证不等式中的函数
15、)1ln(x的导数为x11，即所证不等式中含有函数及其导数，因而可用拉格朗日中值定理证之. 由于01ln，因此可构造函数的改变量1ln)1ln(x，则相应自变量的改变量为x，原不等式等价于：11)1(11)1ln(11xnxx，由不等式中间部分的形式可知，可利用拉格朗日中值定理去证明. 证明： 构造函数ttfln)(， 因)(tf在1,1 x (0)x上连续，在(1,1)x上可导，)(tf在)0(1 ,1 xx上满足拉格朗日条件，于是存在)1 , 1(x，使1)(1)1()1()1(fxfxf，因11(1)ln(1)ln1ln(1),11fxxx，所以1ln(1)11xxx. 即ln(1) 1
16、xxxx，(0)x. 适用范围 当所证的不等式中含有函数值与一阶导数，或函数增量与一阶导数时，可用拉格朗广西工学院学士学位论文构造函数法在数学证明中的应用7 日中值定理来证明 . ( 四) 构造辅助函数用柯西中值定理证明证明方法根据柯西中值定理 柯西中值定理反映了两个函数或两个函数增量与它们一阶导数之间的关系. 证明方法构造两个辅助函数)(xf和)(xg，并确定它们施用柯西中值定理的区间,ba；对)(xf与)(xg在,ba上施用柯西中值定理；利用与ba,的关系，对柯西公式进行加强不等式. 例 2：设 20 ,yxea，证明aayxaaxxyln)cos(cos. 分析：原不等式可等价于aaxyaaxxy lncoscos. 可看出不等式左边可看成是函数tatf)(与ttgcos)(在区间,yx上的改变量的商，故可用柯西中值定理证明之. 证明：原不等式等价于aaxyaaxxy lncoscos，
