ykn随机过程课件

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1、随机数学的数学建模,易昆南中南大学 Ykn_ Tel: 265664313787317587,目录,1、引例： 2、随机过程的定义 3、齐次 Markov链 4、随机过程的数学建模 5、数学建模案例研究,5.1 健康与疾病 5.2 钢琴销售的存贮策略 5.3 基因遗传 5.4 等级结构,7、数学建模案例研究 零件的参数设计,6、正交试验设计,5.1 健康与疾病 5.2 钢琴销售的存贮策略 5.3 基因遗传 5.4 等级结构,7、数学建模案例研究 零件的参数设计,6、正交试验设计,需要m与n同为奇偶数。所求概率为,(当n|m|且m与n同为奇偶数时)，否则概率为0。,研究随机试验,要有 (，F，P

2、)，它称为概率空间，,随机过程的定义：,研究对象是随时间演变的随机现象。,例2随机相位正弦波X(t)=Acos(t+)，t(，+)；U(0，2),例2以X(t)表示电话交换台在时间间隔0，t内接到的呼叫的次数， 是一随机过程。,例3独立地连续掷一骰子，设 为第n次独立地掷一骰子所出现的点数，则 为一相互独立同分布的随机序列(过程)，其指标集为T1，2，3，；状态空间为S1，2，3，4，5，6；如果把序列3，2，3，4，6，5，l，3，称为的一条轨道，它表示第1，3，8次掷得“3”点，第2次掷得“2”点，第4次掷得“4”点，第5次掷得“6”点，,定义1设(，F，P)是一个概率空间，一族随机变量

3、称为一个随机过程，其中T称为指标集，对T中的每个t，X(t)是一个随机变量X(t，)，对每个固定的， 是一个定义在T上，和X(t)有同样取值范围的实值函数，称之为随机过程X的一条(样本)轨道,二、随机过程的定义,对所有固定的t，X(t)的全体可能的取值，称为X的状态空间，对离散随机变量的随机过程，状态空间都可认为是正整数集，因为任何可数集与一正整数集是一一对应的把全体状态编号，以其编号代表状态就行了。我们常常把t解释为时间一般来说，T是一个无限集合，如果它是可数集合，如T0，1，2，此时称X为离散参数的随机过程，或随机序列，当T0，+)或(，+)则称X为连续参数的随机过程。,例4在上例中，如果

4、根据每次掷得的点数决定一个粒子在平面格点上作如下运动：如果掷得l，2，3，4点，则分别向上、下、左、右移动1步，如果掷得“5”或“6”，点，则不动。如果粒子从原点(0，0)出发，记在第n步粒子所在位置为(X(n)，y(n)，则我们就得到两个随机过程X(n)；n0，1，以及Y(n)；n0，1，这个随机模型称为2-维随机徘徊。,X的全体有限维联合分布族称为X的概率分布。,例5 无限制地抛掷一枚硬币，并按照每次抛掷结果是正面或反面，让一个粒子在直线上分别向右或向左走一步。如果我们要研究，这样走下去，最终随机运动的趋向等问题，就需要将无穷多步粒子各自所在的位置作为一个整体来考虑，找出它取值的统计规律。

5、为此，我们先要考虑无限制地抛掷硬币所得结果这一随机序列，因为它完全决定了粒子的走法。假设每次抛掷得到正面的概率是p，这个试验的全部可能的结果组成的集合是,于是，我们就有了概率空间(，F，P)若将第n步粒子所在的位置记为Sn， 那么，在这里我们就需要研究一连串随机变量之间的动态关系，即同时研究这无穷个随机变量作为整体时，它取值的统计规律。,(其中“1”表示正面，“0”表示反面)。,令,又因为各次抛掷是独立的，我们有,显然，这里的 是一列同分布的随机变量序列：,可见 又是相互独立的，所以， 是一列相互独立同分布的序列(简记为iid序列),P(Xn1)p， P(Xn0)1p (n1，2，),5.1

6、健康与疾病 5.2 钢琴销售的存贮策略 5.3 基因遗传 5.4 等级结构,7、数学建模案例研究 零件的参数设计,6、正交试验设计,上述这样的随机序列 是一个最简单的随机过程，称之为贝努利序列。我们称的取值范围S0, 1为随机过程 的状态空间。对每一个固定的 ， 就是一个取值为“0”或“1”的无穷序列，称之为X的一条轨道(或样本轨道)。X的一条典型的样本轨道如图2所示我们称 为随机徘徊，它的一条轨道是一个取值为整数的无穷序列，它的状态空间是全体整数。它的与图2相对应的一条轨道如图3所示。,图2,注意到,两式相加，可得,因此,必为偶数，因此，若n为偶数，则 也为偶数；若n为奇数，则 也为奇数。,

7、5.1 健康与疾病 5.2 钢琴销售的存贮策略 5.3 基因遗传 5.4 等级结构,7、数学建模案例研究 零件的参数设计,6、正交试验设计,下面我们来考察x的最重要的统计特征有限维联合分布，这里我们先讨论简单的情形(2维的情形)，我们要求的概率是,解 由上式知,它们各自是s组相互独立的随机变量的和，因此它们也相互独立而且对任意s个互不相交的区间，都有上述的独立性。随机过程的这种性质称为独立增量性。,5.1 健康与疾病 5.2 钢琴销售的存贮策略 5.3 基因遗传 5.4 等级结构,7、数学建模案例研究 零件的参数设计,6、正交试验设计,过程。,命题1设 是一个独立增量过程，我们增补定义 ，则全

8、部随机变量 ， (mn)的概率分布 就决定了随机过程X的概率分布如果X还是时齐的，则全部随机变量 (n0)的分布就决定了随机过程X的分布,显然，简单随机徘徊就是一个时齐的独立增量过程。,对独立增量过程，容易知道有如下的结论：,三、齐次 Markov链,例1 某商店每月考察一次经营情况，其结果用销路好或销路坏这两种状况中的一种表示。已知如果本月销路好，下月仍销路好的概率为0.5；如果本月销路坏，下月转变为销路好的概率为0.4，试分析假若开始时商店处于销路好的状况，那么经过若干月后能保持销路好的概率有多大？假若开始时商店处于销路坏的状况呢？,解：,销路好,销路坏,第n月处于状态i 的概率,状态转移

9、概率,，,(1),(2),三、齐次 Markov链,在物理学中，很多确定性现象遵从如下演变原则：由时刻 系统或过程所处的状态，可以决定系统或过程在时刻 所处的状态，而无需借助于 以前系统或过程所处状态的历史资料。,例如，我们考虑一在直线上作对称随机徘徊的粒子，以 表示粒子在时刻n时的位置，则其状态空间为Z(全体整数组成的集合)，若在n时刻粒子位于i (即 i)，那么，粒子在下,一时刻n1，或者以0.5的概率跳到i 1，或者以0.5的概率跳到i1在这一模型中，最有趣的现象是：粒子在n1时刻的位置：只依额于它在n时刻的位置，而不依赖于它在n时刻前的位置。这一性质就是所谓的Markov性(这个名字由

10、它的首创者俄国数学家Markov而得名)。具有Markov性的随机过程称为Markov过程，它是一类广泛适用于各种领域的重要的随机过程。 定义3一随机过程 称为一个离散参数的Markov链，如果,(nl，2，3，,)，其中S为一个有限或可数集合(称为此Markov链的状态空间)，并且对任意的都有,称条件概率 为该Markov链的(一步)转移概率；并记为 ，若 与n无关，则称Markov链为齐次的。,例7 (随机徘徊) 对简单随机徊 ，其状态空间为S=Z，由 的定义,其中 若为独立同分布随机变量序列，满足 ， ，这里 表示一个粒子分别以概率p、q向右与向左走一步。前面所讲简单对称随机徘徊就是这里

11、p=0.5的情况。由于,都是,的,部分和，因此，它们和 相互独立，故,从而：,故简单随机徘徊 是一齐次Markov链且：,例8(两端反射壁的随机徘徊)，在上例中，如果在位置a与b(ab)分别设立一个反射壁，即当粒子到达a与b时，下一步以概率1分别反射到a+1与b-1，于是粒子运动仍然是一Markov链，其它统计规律和例7相同，只是,例9 (品牌选择)市场上销售A，B，C，D四种牌子的牙膏。根据市场调查表明，可近似地认为，消费者购买哪一种品牌的牙膏，仅与他前一次购买的品牌有关，而与这之前购买的品牌无关。记 为某消费者最初所购买的牙膏的品牌， 分别表示他在这之后各轮所购买的牙膏的品牌，则 为一Ma

12、rkov链，其状态空间为S A，B，C，D ，它的转移概率矩阵可以从市场调查中获得，比如说为,在这个问题中，我们感兴趣的是这四种品牌的牙膏的市场占有率随时间的推移而发生的变化情况。,例10 (赌博模型，两端吸收壁随机徘徊)设某赌徒有赌本i(i 1)元，其对手有赌本ai0元，每赌一次该赌徒均以p的概率赢一元，以,q1 p的概率输一元。赌博一直到两赌徒中有一人破产才告结束，因此，赢的赌徒最终有总赌资a元，求该赌徒的破产概率。解 记 为该赌徒在n时刻时的赌金，那么，容易验证 是一齐次Markov链，它的状态空间为S 0，1，2，a1， a ，其转转移概率为,状态0和N有特殊的含义，一旦进入这两个状态

13、后，再也不能从这些状态中出来了，我们称这样的状态为吸收态(称 的状态i为吸收态)这一Markov链与前例的简单随机徘徊非常类似，只是在0和N分别设置了吸收壁，因而我们称之为两端带吸收壁的有限状态随机徘徊。此时，其转移概率矩阵为,在这个模型中，我们关心的是Markov链进入吸收态的概率(即所谓的赌徒输光概率) 。,马氏链模型,系统在每个时期所处的状态是随机的,从一时期到下时期的状态按一定概率转移,下时期状态只取决于本时期状态和转移概率 已知现在，将来与过去无关（无后效性）,描述一类重要的随机动态系统（过程）的模型,马氏链 (Markov Chain) 时间、状态均为离散的随机转移过程,5.1 健

14、康与疾病 5.2 钢琴销售的存贮策略 5.3 基因遗传 5.4 等级结构,7、数学建模案例研究 零件的参数设计,6、正交试验设计,通过有实际背景的例子介绍马氏链的基本概念和性质,5.1 健康与疾病,人的健康状态随着时间的推移会随机地发生转变,保险公司要对投保人未来的健康状态作出估计, 以制订保险金和理赔金的数额,若某人投保时健康, 问10年后他仍处于健康状态的概率,例1. 人的健康状况分为健康和疾病两种状态，设对 特定年龄段的人，今年健康、明年保持健康状态的概 率为0.8, 而今年患病、明年转为健康状态的概率为0.7，,Xn+1只取决于Xn和pij, 与Xn-1, 无关,状态与状态转移,状态转移具有无后效性,设投保时健康,给定a(0), 预测 a(n), n=1,2,