单自由度系统的振动

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1、单自由度机械系统的振动Chapter 6 Vibration of Mechanical System with Single DOF,1,3,2,5,4,单自由度系统的理论模型,单自由度系统有阻尼自由振动,单自由度系统无阻尼自由振动,单自由度系统受迫振动,本章小结,1 单自由度系统的理论模型Vibration Model,A 振动的理论模型,由理想的质量m、理想的弹簧k和理想的阻尼c三个基本元件组成的系统 系统的只沿一个方向x运动 若系统受到外力的作用，则外力也只沿这一方向,能派生出哪些系统？,1 单自由度系统的理论模型Vibration Model,A 振动的理论模型,惯性力 恢复力 阻尼

2、力,1 单自由度系统的理论模型Vibration Model,B 线性系统,叠加原理,几个激励函数共同作用产生的总响应是各个响应函数的总和。这一结果叫做叠加原理，是一个系统成为线性系统的必要条件叠加原理有效，意味着一个激励的存在并不影响另一个激励的响应；线性系统内各个激励产生的响应是互不影响的,1 单自由度系统的理论模型Vibration Model,B 线性系统,这是一个非线性方程。可以证明，它不满足叠加原理，是一个非线性振动系统。,j小于何值，运动才可视为微幅振动，决定于所要求的精度,2 无阻尼自由振动Free Vibration without Damping,当阻尼很小，对系统运动的影

3、响甚微时，可略去阻尼，使c=0，系统就成为一个无阻尼单自由度系统当系统未受到外力作用时，即F(t)=0，系统就成为一个自由振动系统质量m和弹簧k是组成振动系统最基本的元件，是不可缺少的。否则就不会发生振动,2 无阻尼自由振动Free Vibration without Damping,固有频率 初始状态,A 运动方程及其求解,2 无阻尼自由振动Free Vibration without Damping,A 运动方程及其求解,2 无阻尼自由振动Free Vibration without Damping,振幅 物块离开平衡位置的最大位移 相位 决定振体在某瞬时 t 的位置 初相位 决定振体运动

4、的起始位置。 周期 每振动一次所经历的时间。 频率 每秒钟振动的次数 固有频率 振体在2秒内振动的次数。反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有参数有关。,B 各参量的物理意义,2 无阻尼自由振动Free Vibration without Damping,振幅和初相位取决于运动的初始条件,振动规律为简谐振动,周期和固有频率仅决定于系统本身的固有参数,如果系统在振动方向上受到某个常力的作用，该常力只影响静平衡点的位置，而不影响系统的振动规律,C 无阻尼自由振动的特点,2 无阻尼自由振动Free Vibration without Damping,D 弹性元件的等效刚度,2 无阻尼自由振动F

5、ree Vibration without Damping,E 系统固有频率的求法,由微分方程的标准形式求得,静变形方法,能量法,Ex 5.1.1 Page 119,2 无阻尼自由振动Free Vibration without Damping,E 系统固有频率的求法,能量法,无阻尼自由振动系统为保守系统，机械能守恒 当振体运动到距静平衡位置最远时，速度为零，即系统动能等于零，势能达到最大值 当振体运动到静平衡位置时，系统的势能为零，动能达到最大值,2 无阻尼自由振动Free Vibration without Damping,E 系统固有频率的求法,能量法,无阻尼自由振动系统为保守系统，机械

6、能守恒 当振体运动到距静平衡位置最远时，速度为零，即系统动能等于零，势能达到最大值 当振体运动到静平衡位置时，系统的势能为零，动能达到最大值,2 无阻尼自由振动Free Vibration without Damping,E 系统固有频率的求法,能量法,从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振动系统的固有频率是更为简便的一种方法,2 无阻尼自由振动Free Vibration without Damping,E 系统固有频率的求法,能量法算例,【EX】图示系统。设轮子无侧向摆动，且轮子与绳子间无滑动，不计绳子和弹簧的质量，轮子是均质的，半径为R，质量为M，重物质量m，试列出系统微幅振动微分方程

7、，求出其固有频率。,2 无阻尼自由振动Free Vibration without Damping,E 系统固有频率的求法,还可以用机械能守恒来求解,2 无阻尼自由振动Free Vibration without Damping,F 位移时间图像,Any questions？,3 有阻尼自由振动 Free Vibration with Damping,在实际系统中总存在着阻尼，总是有能量的散逸，系统不可能持续作等幅的自由振动，而是随着时间的推移振幅将不断减小。这种自由振动叫做有阻尼自由振动。,粘性阻尼 (Viscous Damping) 库仑阻尼 (Coulomb Damping，干摩擦阻尼)

8、 结构阻尼,阻尼的定义：使振动能量随时间或距离逐步耗损的因素。如振动系统内部质点间相对运动的阻碍及外部介质摩擦等。,3 有阻尼自由振动 Free Vibration with Damping,A 振动规律,c 阻尼系数 Damping coefficient,衰减系数 Attenuation quotient,特征根,阻尼比 相对阻尼系数 Relative damping factor,临界阻尼系数,Critical damping coefficient,3 有阻尼自由振动 Free Vibration with Damping,A 振动规律,当 时,不是一个周期函数，不是振动,过阻尼 ov

9、erdamping,如何理解,3 有阻尼自由振动 Free Vibration with Damping,A 振动规律,当 时,也不是一个周期函数，仍然不是振动,临界阻尼 critical damping,如何理解,3 有阻尼自由振动 Free Vibration with Damping,B 临界状态,3 有阻尼自由振动 Free Vibration with Damping,C 衰减振动,当 时,是一个周期函数，是一个典型的振动过程。但振幅随时间衰减。,小阻尼 或称欠阻尼 underdamping,衰减振动,3 有阻尼自由振动 Free Vibration with Damping,C 衰

10、减振动的特点,与无阻尼比较，振动周期变大，频率减小,振幅按几何级数衰减,3 有阻尼自由振动 Free Vibration with Damping,D 欠阻尼系统算例,【算例】质量弹簧系统，W=150N，st=1cm ， A1=0.8cm，A21=0.16cm。求阻尼系数c 和振动的固有频率。,4 受迫振动 Forced Vibration,振动系统在周期性的外力作用下，其所发生的振动称为受迫振动。这个外来的周期性力叫驱动力(强迫力，激振力)。,机械振动系统中的三种典型情况 负载变化的激励 系统本身的不平衡 基础或支承运动,ex 扬声器的发声 汽车在路面的颠簸 洗衣机的甩干动作 etc,4 受

11、迫振动 Forced Vibration,A 简谐激振力下的受迫振动,通解,特解,初始条件,完全解,4 受迫振动 Forced Vibration,A 简谐激振力下的受迫振动,完全解,受迫振动,与激振力有关的伴随自由振动,与激振力无关的有阻尼自由振动,与初始状态有关，衰减,与初始状态无关，衰减,瞬态振动,稳态振动,过渡历程,4 受迫振动 Forced Vibration,B 阻尼对受迫振动的影响,稳态振动部分,动力放大系数,4 受迫振动 Forced Vibration,B 阻尼对受迫振动的影响,稳态振动部分,Bmax？,准静态区,共振 阻尼区,惯性区,准静态区 可忽略阻尼的影响 惯性区 可忽

12、略阻尼的影响 共振区 阻尼的影响显著,共振频率！,幅频特性,4 受迫振动 Forced Vibration,B 阻尼对受迫振动的影响,稳态振动部分,无阻尼时,4 受迫振动 Forced Vibration,B 阻尼对受迫振动的影响,稳态振动部分,相频特性,共振点,有阻尼强迫振动相位总比激振力滞后一相位角，称为相位差。,1) 总在0至 区间内变化。 2) 相频曲线是一条单调上升的曲线。 随 增大而增大。 3) 共振时 =1，曲线上升最快，阻尼值不同的曲线，均交于这一点。 4) 1时， 随 增大而增大。当1时，反相。,4 受迫振动 Forced Vibration,C 周期激振力的受迫振动,周期函数,各阶谐波的合成,满足Dirichlet条件时,各阶谐波激励的响应,各阶响应的合成,系统满足线性条件时,4 受迫振动 Forced Vibration,C 周期激振力的受迫振动,Summary,基本概念平衡位置，往复运动危害及利用振动运动学描述简谐振动，准周期振动速度和加速度合成与分解,本章小结,构成振动系统的要素惯性，恢复性，阻尼性自由度和广义坐标自由度约束独立坐标机械振动的分类自由振动、受迫振动、自激振动,